202 - Dipartimento di Economia e Statistica

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193Rispetto alla sensibilità ai cambiamenti, la deviazione media non reagisce a modifiche compensative su uno deilati della media aritmetica. In effetti, se consideriamo due modalità minori della media aritmetica: x i
194c) La deviazione media interviene nel taglio delle offerte estreme nelle gare pubbliche di appalto. In altre parole, per stabilire la dittaaggiudicatrice di una gara con offerte al ribasso si elimina il 20% delle offerte. Supponiamo che siano state effettuale le offerte: {13, 14, 15,16, 17, 19, 20, 21, 22, 28}. Per ottenere la soglia di esclusione occorre scartare il 10% più alto ed il 10% più basso (con arrotondamentoall’intero superiore). Nell’esempio si esclude il 13 ed il 28 ottenendo una media potata pari ad un ribasso del 18%. A questo punto occorrecalcolare un fattore correttivo dato dalla deviazione media sulle offerte rimaste dopo la potatura (e non su quelle originali visto che alcunesono già state escluse) che superano la media aritmetica: |19-18|+|20-18|+|21-18|+|22-18|)/4=2.5 che porta ad una soglia di esclusione del20.5% per cui sono anomale le offerte “21” e “22”; la gara è aggiudicata alla ditta che ha offerto un ribasso del 20%. Se lo scarto fosse statocalcolato su tutte le offerte superiori alla media la correzione sarebbe stata di (10+|28-18|)/5=4 con soglia pari al 22% e l’appalto sarebbestato vinto dalla ditta che ha offerto proprio un ribasso del 22%. Il problema è controverso e, allo stato attuale della legislazione, prevalel’esclusione dei valori anomali sia dalla media potata che dalla deviazione media. Provate infine a pensare ad una gara in cui tutte le ditteancora in gara presentino ribassi dell’x%. Quale che sia il ribasso questo sarà giudicato valido se si considerano anomale solo leofferte strettamente superiori alla media.Esercizio_SD71: un gruppo di bambini è sottoposto ad un test di apprendimento.Per ciascuno è stato rilevato il tempo (in minuti) resosi necessario per imparare adeffettuare un semplice compito. Giudicate -in base alle formule di Beesack- se iltempo di 25 minuti è un valore remoto.10 12 10 14 11 11 9 14 1115 14 13 11 9 10 12 11 1313 15 11 9 11 14 10 10 1510 15 14 13 14 13 14 12 2515 20 15 13 10 12 13 9 8Le differenze medieLa variabilità può essere misurata considerando il confronto di una modalità con tutte le altre indipendentementedalla sequenza con cui sono state rilevate ovvero valutando l’entità della variazione che in media si dovrebbeapplicare se ogni modalità dovesse essere resa uguale a tutte le altre. Un indice sintetico di variabilità basato suquest’idea è la differenza media di ordine α:nn1α⎡α ⎤⎢ ∑ ∑ X i − X j ⎥∆ α i=1j=1R = ⎢⎢ n 2 ⎥⎥⎣⎢⎦⎥n−1⎡α ⎤⎢2 ∑ ∑ X i − X j ⎥; ∆ α i=1 j=i+1= ⎢⎥⎢ nn− ( 1)⎥⎣⎢⎦⎥che misura il valor medio dello scarto tra due modalità qualsiasi. Il pedice R indica che il calcolo avviene “conripetizione” cioè si considerano i confronti di una modalità con sé stessa anche se il contributo alla variabilitàè nullo. Se è opportuno escluderli, la differenza media è “senza ripetizione” e si considerano meno confronti.Le differenze medie rispecchiano l’unità di misura delle variabili su cui si calcolano e si annullano se solose le modalità sono tutte uguali.n1αEsempio:Produzione di acciaio grezzo in migliaia di tonnellate. Calcolo della differenza media per α=1.∆R = 737068= ∆ = 73706815' 042;4942= 17549Paese ProduzioneSpagna 12444Regno Unito 18733Francia 19061Italia 25179Germania 51078Giappone 58743USA 97943In media, la produzione di acciaio tra due Paesi qualsiasi (anche uguali) differisce di 15’042 tonnellate. Se i paesi a confronto debbonoessere diversi, allora in media le produzioni differiscono di 17’549 tonnellate.Le differenze medie si basano sul confronto diretto di tutte le modalità senza riferimento ad un fittizio termine diparagone perciò sviluppano un’idea di variabilità diversa rispetto agli scostamenti da un valor medio: in questi siquantifica l’ammontare delle modifiche da apportare alle modalità per renderle uguali alla media; nelle differenzemedie, il ruolo dello standard è interpretato, a turno, da tutte le modalità. Tale questione appassionò gli statistici tra il1912 ed il 1935, e si concluse con l’osservazione di V. Castellano (1935) che sottolineò come ogni indice misurasseun aspetto diverso della variabilità ed era inutile dibattere su quale fosse il migliore da usare in tutte le occasioni.La differenza media che ha trovato più applicazioni è la differenza semplice media con α=1 il cui calcolopuò essere molto semplificato. Infatti, tenuto conto cheX() iX( j) X() iX( j) 2 Min X() i, X( j)− = + − { }
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