202 - Dipartimento di Economia e Statistica

190Esempi:a) Vendite di motocicli in Italia per cilindrata.Cilindrata Moto ci fi c ifi2°c 3°c 4°c50 80 615 65 0.0054 0.35 753.9 -281'351.4 105'000'337.181 125 41250 103 0.3631 37.39 40'792.6 -13'673'667.7 4'583'413'400.3126 250 5642 188 0.0497 9.34 3'108.5 -777'757.2 194'594'849.2251 380 348 315.5 0.0031 0.97 46.1 -5'658.0 694'235.0381 500 12251 440.5 0.1078 47.50 0.6 1.3 3.0501 800 36994 650.5 0.3256 211.80 14'675.1 3'115'518.3 661'424'543.6800 1000 16519 900 0.1454 130.85 31'005.6 14'318'402.8 6'612'238'423.3113619 1.0000 438.20 90'382.4 2'695'488.2 12'157'365'791.6Il 1° momento dall’origine (la media aritmetica) non presenta problemi di interpretazione: la cilindrata è, in media, 438. Il momento2° centrato è la varianza. Gli errori di arrotondamento incidono meno sui momenti rispetto alla media aritmetica per gli effetti dibilanciamento propri di questo indice.b) Koop (200, pp. 27) discute un data set relativo al prezzo delle abitazioni in Canada. Nella tabella che viene fornita su floppy diskabbiamo selezionato 136 rilevazioni relative alle abitazioni con due stanze da letto ed altrettante abitazioni con tre camere da letto.Bedrooms Min Max µ Std.Dev.µ '3σ 3 µ '4σ 42 25000 101000 51886.03 14343.20 0.8901 4.43693 25000 128000 59288.20 21814.02 1.3591 5.0643Le due distribuzioni sono effettivamente diverse: non solo nella media e nella deviazione standard, ma anche rispetto ai momenti 3°e 4° che qui, per ridurne l’ordine di grandezza, abbiamo rapportato allo scarto quadratico medio.Esercizio_SD64: distribuzione secondo le ore di lavoro giornaliero dei bambini in età compresa tra i 12 ed i 15anni impiegati nelle fabbriche italiane nel 1913.Ore di lavoro Fanciulli FanciulleFino a 8 3090 15888-8.5 668 7888.5-9 3661 22499-9.5 1800 17919.5-10 15199 2429610-10.510.5-1111-12.012 e più6401 272894985 19889162 524294 37936260 78793a) Calcolare i primi quattro momenti delle distribuzioni;b) Quali evidenze mostrano i momenti nel confronto tra le due distribuzioni?Lo scarto assoluto medianoNel paragrafo 3.1 si è visto come in certe occasioni sia necessario esprimere la centralità con la mediana inveceche con la media aritmetica. In questi casi sembra corretto quantificare la variabilità con gli scarti dalla mediana.La misura che si è affermata in questo senso è lo scarto assoluto mediano:che usa gli scarti in modulo dalla mediana.kS Me = ∑ X i − M e f i ;i =1Esempi:a) Spesa in pubblicità per l’olio di oliva in alcuni Paesi della Comunità europea. Valori in miliardi.Me= X( 6)= 240; SMe= 125.1Paese Spesa Paese Spesa Paese SpesaItalia 512 R.U. 240 Olanda 128Francia 240 Benelux 128 Irlanda 80Grecia 240 Spagna 640 Danim. 80Germ. 384 Portog. 256In media i Paesi deviano dalla mediana di 125 miliardi. Da notare che la mediana minimizza la somma assoluta degli scarti.b) Un campione di frutti è stato classificato per numero di semi.Semi Frutti f i F i |X i -Me|f i0 1 0.0070 0.0070 0.04201 4 0.0280 0.0350 0.13992 6 0.0420 0.0769 0.16783 9 0.0629 0.1399 0.18884 16 0.1119 0.2517 0.22385 31 0.2168 0.4685 0.21686 76 0.5315 1.0000 0.0000143 1.0000 0.9790L’applicazione della formula è semplice: in media le modalità differiscono di un seme (circa) dalla mediana.