202 - Dipartimento di Economia e Statistica

187A nalisi della varianzaLa scomposizione della varianza prelude ad una tecnica statistica -l’analisi della varianza- che qui accenniamosolo fugacemente per riprenderla in fasi più avanzate del corso. In pratica ci occupiamo solo di un indice cheesprime l’effetto della divisione in gruppi sulla variabilità. Tale indice è dato dal rapporto tra la devianza dellemedie parziali e la devianza nei gruppi.g( ) 2∑ n i µ i −µF = s 2 2i=12s = ( g − 1)g n i 1∑ ∑ x ij −µ ii=1j=1( ) 2( n − g)( )( )= n − gg − 1g∑i=1g n in i ( µ i −µ ) 2∑ ∑( x ij −µ i ) 2i=1j=1La statistica F è un indice non negativo ed invariante rispetto a trasformazioni lineari. La suddivisione non avràavuto alcun effetto se le medie parziali sono tutte uguali: µ 1=µ 2=…=µ ge quindi il numeratore sarà nullo e qualunquecausa abbia determinato la categorizzazione è da ritenersi ininfluente sul fenomeno. Se invece le medie di gruppo sonodiverse allora la suddivisione in gruppi è una fonte di variabilità ed è tanto più forte quanto più cresce il numeratorerispetto al denominatore. La F, infatti, tende ad infinito man mano che la differenza tra le medie di gruppo diventa l’unicafonte di variabilità e cioè ogni gruppo presenta la stessa modalità al suo interno distinta dalla modalità presentata daglialtri gruppi: X ij=µ iper j=1,2,…,n i; i=1,2,…,g. Ne consegue che i valori grandi di F saranno dovuti ad una o più medieparziali piuttosto lontane dalle altre e la classificazione in categorie distinte può effettivamente dare un contributoalla comprensione del fenomeno: in breve, la classificazione è significativa. Se ci si aspetta omogeneità per i livellimedi e si scopre che la variabilità “within” è maggiore della “between” allora i dati contrastano l’ipotesi dipartenza; se accade il contrario questo non deve necessariamente essere considerato una conferma, ma un contributoa supporto dell’ipotesi di sostanziale uguaglianza tra le medie aritmetiche dei vari gruppi. La statistica F,tuttavia, non è in grado di dirci quale gruppo abbia contribuito di più e quale meno alla variabilità: ci informa chei gruppi non hanno lo stesso livello medio, ma non si pronuncia sull’ordinamento tra le medie rinviando adulteriori indagini l’accertamento sulle singole medie. I calcoli per la F sono riassunti nella tabella che segue:Variabilità Devianze Gradi di libertà Scarto mediogg∑ n i µ i −µTra gruppi ∑ n i ( µ i −µ ) 22g − 1 s 2 = i=1i=1( g − 1)g n i∑ ∑ xg n ij −µ iiNei gruppi ∑ ∑ ( x ij −µ i ) 22 i=1 j=1n − g s 1 =i=1 j=1( n − g)g n iTotale ∑ ∑ ( x ij −µ ) 2 n − 1 F = s 2 22i=1 j=1s 1( ) 2( ) 2Esempio:I punteggi di alcuni candidati a posti di responsabile della comunicazione di impresa sono stati suddivisi in tre gruppi: laurea scientifica,laurea umanistica, laurea in economia.Ec Sc Um86 75 9277 77 9084 74 8787 78 8291 80 7589 89 7292 7382Totalin i8 7 6 21T i688 546 498 1732µ i86 78 83 µ=82.48(µ i-µ) 2 n 99.3373 140.2546 1.6462 241.2381i∑(X ij-µ i) 2 172 176 332 680Il valore della F è 3.1929 . I valori elevati della F sono da considerarsi una evidenza contro l’ipotesi che la classificazione abbia introdottocategorie effettivamente distinte, almeno dal punto di vista della media aritmetica. Poiché F è basso, la suddivisione per laurea nonsembra costituire motivo di attendersi una diversità sui punteggi medi.