202 - Dipartimento di Economia e Statistica

181Lo scarto quadratico medioE’ la misura più classica di variabilità (nota anche come deviazione standard):k( ) 2 f iσ = ∑ X i −µ ; µ= ∑ X i f ii=1ki=1Esempi:a) Tariffe di interconnessione telefonica per minuto al 1997 (valori in centesimi di ECU).Paese Tariffa Paese Tariffa Paese TariffaGran Bretagna 0.64 Finlandia 1.84 Italia 1.80Spagna 1.51 Danimarca 0.98 Belgio 2.78Francia 0.71 Olanda 2.00 Austria 7.61Germania 1.00 Svezia 1.68Le modalità prossime alla media producono scarti di entità piccola (Olanda, Italia, Finlandia). Scarti elevati si determinano per modalitàdiscoste dalla media: sono queste che contribuiscono maggiormente alla formazione del valore di σ (l’Austria, ad esempio):22.5538.0152µ= = 205 . ; σ = = 1.8591111Il quadrato dello scarto quadratico medio: σ 2 , detto varianza, è spesso richiamato come indicatore di variabilità anche se non èespresso nella giusta unità di misura: una distanza in metri ha una varianza in metri quadri.b) Un profilo (circa 37.2 metri) di suolo è stato suddiviso in sezioni di 31 centimetri. Per ogni sezione si è rilevato il numero di eventirari nell’epoca geologica in esso rappresentata. In media, in ogni sezione si registrano 2 eventi rari con scarto pari a 1.48 (la formuladello scarto quadratico medio è espressa in una forma giudicata spesso più semplice).Eventi Sezioni f i X if i2X i if0 16 0.1333 0.0000 0.00001 31 0.2583 0.2583 0.25832 34 0.2833 0.5667 1.13333 22 0.1833 0.5500 1.65004 9 0.0750 0.30005 4 0.0333 0.16676 3 0.0250 0.15007 1 0.0083 0.0583120 1.0000 2.05001.20000.83330.90000.40836.3833⎛ k2 2⎞σ = ⎜ ∑ x f −µ ⎟ = − =i i 6. 3833 4. 2025 1.48⎝i=1 ⎠Sia µ che σ sono grandezze continue che si applicano male alle variabili discrete e necessitano di forzature per essere interpretate.c) Parco macchine per percorrenza (migliaia di Km).Percorrenza Auto c i f i f i*c i(c 2i -µ) f i10 19.9 6 14.95 0.0462 0.6900 10.636720 24.9 16 22.45 0.1231 2.7631 7.261325 29.9 48 27.45 0.3692 10.1354 2.653930 34.9 33 32.45 0.2538 8.2373 1.365135 39.9 18 37.45 0.1385 5.1854 7.417140 49.9 9 44.95 0.0692 3.1119 15.2033130 1.0000 30.1231 44.5374Si ignorano i valori di dettaglio e per il calcolo si utilizzano i valori centrali delle classi. La percorrenza media è di 30 mila chilometricon un σ =√44.5374=6.67 mila chilometri. Il risultato è approssimato come è naturale in un quadro di informazione così incompleto,ma fornisce elementi sufficienti per capire come si comporta il fenomeno.d) Talvolta le misure di riferimento del boxplot sono la media aritmetica ed alcuni valori di soglia espressi come distanze da µproporzionali allo scarto quadratico medio: ±σ, ±1.96σ, ±2.58σ. Prodotto interno lordo procapite per 89 Paesi. Analisi con il boxplot.4035302520151002250450067 5090 0011 25 0135001575018 00 0408 837 1606 2774 4645 12000 15518496 914 1689 2830 4799 12618 15887514 952 1721 3068 4890 12653 16362514 956 1869 3075 5185 12721 16471527 978 1876 3332 5208 12724 16798530 1029 2092 3380 5746 12955 17945547 1085 2102 3569 6167 13281569 1104 2173 3622 6253 13484608 1162 2178 3685 7082 13918634 1282 2215 3807 9203 13986711 1385 2240 3826 9637 14091734 1432 2247 3882 9802 14458740 1493 2250 3942 9843 14709762 1510 2719 4253 11363 15105