202 - Dipartimento di Economia e Statistica

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173Queste proprietà fanno pensare ad un modello di riferimento costituito dalla piatta uniformità delle unità rispettoal fenomeno, cioè tutte presentano la stessa modalità. In questo caso l’indice di variabilità deve valere zero. Viavia che aumentano gli scostamenti dall’uguaglianza generale l’indice dovrà crescere. A parità di altre condizioni,se due distribuzioni hanno un diverso indice di variabilità, quella con l’indice più grande sarà giudicata piùdispersa.Esercizio_SD45: l’istogramma riguarda le misurazioni del peso in milligrammi di un prodotto fornito dall’esterno.Un controllo di qualità accerta che le misure rientrino nei limiti di tolleranza, tuttavia i valori risultanosorprendentemente variabili (si ricorda che qui è proprio la variabilità il nemico da vincere).0.160.120.080.04Quale potrebbe essere la causa?0.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.123.2.1 Indici posizionali di variabilitàDerivano dallo scarto tra quantili in posizioni equidistanti dalla mediana. La formula è data da Parzen (1979):D p = X 1−p − X p ; 0 di fornire soglie di controllo che fanno poi scattare allarmi ed interventi allorché siano superate.Campo di variazione (range).E’ il più semplice degli indici di variabilità e si ottiene dalla differenza tra la modalità più grande e la più piccola(D pper p→0). Di quest’indice si possono dare diverse formule:∑[ ]n( n) ( 1) { i j } =( i) −( i−1)i=21) R = X − X ; 2) R = Max X − X ; i, j = 12 , ,…, n ; 3)R X XCome mostrano le definizioni, R è un indice basato sul confronto di tutte le modalità e non solo di quelle estreme.Esempio:Variazioni dell’indice di borsa MIB rispetto al giorno precedente.2.3% 1.8% -0.7% 0.2% 1.4% 2.2% -1.9% -0.5% 1.9%1 2 3 4 5 6 7 8 9Una volta ordinate le modalità si ottiene R=2.3 - (-1.9) = 5.2. Il calcolo effettivo dice però meno di quanto non si riesca a comunicareesprimendo R con i suoi termini: da -1.9 a 2.3Il campo di variazione è espresso nella stessa unità di misura del fenomeno cui è applicato: la differenza tra chilometrio litri è espressa in chilometri o litri e può essere confrontata con il campo di variazione dello stesso fenomeno in altrecircostanze. L’indice, inoltre, rispetta il primo requisito richiesto alle misure di variabilità perché è nullo solo secoincidono X (1)e X (n)cioè se le modalità sono tutte uguali. Rispetto al secondo requisito R è carente in quantoinsensibile ad alterazioni delle modalità o all’aggiunta di nuovi valori o cancellazione di già esistenti che noncoinvolgano i due estremi.
174Esempio:A 12 15 18 21 24 27 30 33 36B 12 24 24 24 24 24 24 24 36C 12 13 13 13 24 27 35 35 36Le tre rilevazioni in tabella hanno un identico campo di variazione pur in presenza di una struttura di variabilità molto diversa.Esercizio_SD46: PIL per abitante delle regioni italiane.Regione PIL x ab.Piemonte 19853.0 Friuli V.G. 18913.6Val d’Aosta 22026.5Lombardia 55538.8Trentino 19716.0Veneto 19533.1Molise 12090.1Campania 11255.8Puglia 11965.9Sicilia 11552.1Marche 17950.6Lazio 19452.1 Sardegna 12539.5Abruzzi 14323.9 Liguria 19709.9Emilia R. 20977.8Toscana 19150.6Umbria 15510.0Basilicata 9873.0Calabria 9524.0Calcolate il campo di variazione per il Nord-Centro (fino al Molise) e del Sud (Sardegna inclusa). Dove c’èmaggiore variabilità?Poiché R è strettamente legato ai valori estremi può dare indicazioni fuorvianti: basta una sola modalità atipicaper alterarne significativamente il valore. Pertanto, il campo di variazione è utilizzabile per controllare soloprocessi stabili in cui la presenza di un valore fuori norma implichi il verificarsi di una situazione abnorme.Esercizio_SD47: extracomunitari rispetto al riconoscimento della cittadinanza.Mese Regol. Iscriz. Mese Regol. Iscriz. Mese Regol. Iscriz.Gennaio - Maggio 24 13 Settembre 12 8Febbraio 11 19 Giugno 29 24 Ottobre 26 2Marzo 28 55 Luglio 28 8 Novembre 11 2Aprile 62 146 Agosto 10 5 Dicembre 12 1a) Calcolare il campo di variazione delle due serie storiche;b) Lo scarto mensile tra le due serie potrebbe essere considerato una misura di variabilità?Uno dei difetti di R è che il suo ordine di grandezza non è legato alla numerosità della rilevazione. Per eliminarequesta carenza si può adoperare il campo di variazione medio:R * =Rn −1 =n∑ [ X ( i ) − X ] ( i −1 )i =2Esempio:Le due serie che seguono riguardano il mercato dei titoli di stato in Europa in due anni diversi. Il confronto della variabilità attraversoil range diventa meno epidermico se si tiene conto della diversità nel numero di unità rilevate:n −1R97 = 1164. 5 − 0. 9 = 1163. 6; R96= 1202. 9 − 0.9 = 1202* 1163.6* 1202R97 = = 116. 36; R96= = 120.1010Paese Imp.1997 Paese Imp.1996Germania 793.0 ermania 859.8Francia 660.4 rancia 669.5Italia 1164.5 talia 1202.9Spagna 275.2 pagna 296.0Belgio 252.4 Belgio 269.9Olanda 183.9 ustria 74.8Austria 70.6 inlandia 54.8Finlandia 51.0 rlanda 31.1Olanda 186.1 ussemburgo 0.9Irlanda 27.7 ortogallo 56.8Lussemburgo 0.9 recia 107.6Esercizio_SD48: se i dati sono raggruppati in classi, si potrebbe adoperare la formula R = U k- L 1(supponendoperò noti i limiti delle classi estreme).Modalità Frequenze-10 -5 12-5 -3 19-3 2 212 6 146 8 571a) Calcolate R ed R* per la distribuzione in tabella: b) Qual’è l’efficacia di R per dati raggruppati in classi?
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