202 - Dipartimento di Economia e Statistica
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173Queste proprietà fanno pensare ad un modello <strong>di</strong> riferimento costituito dalla piatta uniformità delle unità rispettoal fenomeno, cioè tutte presentano la stessa modalità. In questo caso l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> variabilità deve valere zero. Viavia che aumentano gli scostamenti dall’uguaglianza generale l’in<strong>di</strong>ce dovrà crescere. A parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni,se due <strong>di</strong>stribuzioni hanno un <strong>di</strong>verso in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> variabilità, quella con l’in<strong>di</strong>ce più grande sarà giu<strong>di</strong>cata più<strong>di</strong>spersa.Esercizio_SD45: l’istogramma riguarda le misurazioni del peso in milligrammi <strong>di</strong> un prodotto fornito dall’esterno.Un controllo <strong>di</strong> qualità accerta che le misure rientrino nei limiti <strong>di</strong> tolleranza, tuttavia i valori risultanosorprendentemente variabili (si ricorda che qui è proprio la variabilità il nemico da vincere).0.160.120.080.04Quale potrebbe essere la causa?0.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.123.2.1 In<strong>di</strong>ci posizionali <strong>di</strong> variabilitàDerivano dallo scarto tra quantili in posizioni equi<strong>di</strong>stanti dalla me<strong>di</strong>ana. La formula è data da Parzen (1979):D p = X 1−p − X p ; 0 < p ≤ 0.5La loro finalità è <strong>di</strong> fornire soglie <strong>di</strong> controllo che fanno poi scattare allarmi ed interventi allorché siano superate.Campo <strong>di</strong> variazione (range).E’ il più semplice degli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> variabilità e si ottiene dalla <strong>di</strong>fferenza tra la modalità più grande e la più piccola(D pper p→0). Di quest’in<strong>di</strong>ce si possono dare <strong>di</strong>verse formule:∑[ ]n( n) ( 1) { i j } =( i) −( i−1)i=21) R = X − X ; 2) R = Max X − X ; i, j = 12 , ,…, n ; 3)R X XCome mostrano le definizioni, R è un in<strong>di</strong>ce basato sul confronto <strong>di</strong> tutte le modalità e non solo <strong>di</strong> quelle estreme.Esempio:Variazioni dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> borsa MIB rispetto al giorno precedente.2.3% 1.8% -0.7% 0.2% 1.4% 2.2% -1.9% -0.5% 1.9%1 2 3 4 5 6 7 8 9Una volta or<strong>di</strong>nate le modalità si ottiene R=2.3 - (-1.9) = 5.2. Il calcolo effettivo <strong>di</strong>ce però meno <strong>di</strong> quanto non si riesca a comunicareesprimendo R con i suoi termini: da -1.9 a 2.3Il campo <strong>di</strong> variazione è espresso nella stessa unità <strong>di</strong> misura del fenomeno cui è applicato: la <strong>di</strong>fferenza tra chilometrio litri è espressa in chilometri o litri e può essere confrontata con il campo <strong>di</strong> variazione dello stesso fenomeno in altrecircostanze. L’in<strong>di</strong>ce, inoltre, rispetta il primo requisito richiesto alle misure <strong>di</strong> variabilità perché è nullo solo secoincidono X (1)e X (n)cioè se le modalità sono tutte uguali. Rispetto al secondo requisito R è carente in quantoinsensibile ad alterazioni delle modalità o all’aggiunta <strong>di</strong> nuovi valori o cancellazione <strong>di</strong> già esistenti che noncoinvolgano i due estremi.