202 - Dipartimento di Economia e Statistica

173Queste proprietà fanno pensare ad un modello di riferimento costituito dalla piatta uniformità delle unità rispettoal fenomeno, cioè tutte presentano la stessa modalità. In questo caso l’indice di variabilità deve valere zero. Viavia che aumentano gli scostamenti dall’uguaglianza generale l’indice dovrà crescere. A parità di altre condizioni,se due distribuzioni hanno un diverso indice di variabilità, quella con l’indice più grande sarà giudicata piùdispersa.Esercizio_SD45: l’istogramma riguarda le misurazioni del peso in milligrammi di un prodotto fornito dall’esterno.Un controllo di qualità accerta che le misure rientrino nei limiti di tolleranza, tuttavia i valori risultanosorprendentemente variabili (si ricorda che qui è proprio la variabilità il nemico da vincere).0.160.120.080.04Quale potrebbe essere la causa?0.000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.123.2.1 Indici posizionali di variabilitàDerivano dallo scarto tra quantili in posizioni equidistanti dalla mediana. La formula è data da Parzen (1979):D p = X 1−p − X p ; 0 < p ≤ 0.5La loro finalità è di fornire soglie di controllo che fanno poi scattare allarmi ed interventi allorché siano superate.Campo di variazione (range).E’ il più semplice degli indici di variabilità e si ottiene dalla differenza tra la modalità più grande e la più piccola(D pper p→0). Di quest’indice si possono dare diverse formule:∑[ ]n( n) ( 1) { i j } =( i) −( i−1)i=21) R = X − X ; 2) R = Max X − X ; i, j = 12 , ,…, n ; 3)R X XCome mostrano le definizioni, R è un indice basato sul confronto di tutte le modalità e non solo di quelle estreme.Esempio:Variazioni dell’indice di borsa MIB rispetto al giorno precedente.2.3% 1.8% -0.7% 0.2% 1.4% 2.2% -1.9% -0.5% 1.9%1 2 3 4 5 6 7 8 9Una volta ordinate le modalità si ottiene R=2.3 - (-1.9) = 5.2. Il calcolo effettivo dice però meno di quanto non si riesca a comunicareesprimendo R con i suoi termini: da -1.9 a 2.3Il campo di variazione è espresso nella stessa unità di misura del fenomeno cui è applicato: la differenza tra chilometrio litri è espressa in chilometri o litri e può essere confrontata con il campo di variazione dello stesso fenomeno in altrecircostanze. L’indice, inoltre, rispetta il primo requisito richiesto alle misure di variabilità perché è nullo solo secoincidono X (1)e X (n)cioè se le modalità sono tutte uguali. Rispetto al secondo requisito R è carente in quantoinsensibile ad alterazioni delle modalità o all’aggiunta di nuovi valori o cancellazione di già esistenti che noncoinvolgano i due estremi.