202 - Dipartimento di Economia e Statistica

1723.2 La variabilitàLe medie forniscono informazioni sul centro della distribuzione ovvero individuano la modalità dominante onormale cioè quella che dovrebbe essere scelta se si volesse rappresentare con un solo valore tutte quelle rilevate.Tuttavia, è tipico dei fenomeni che interessano la Statistica di presentare valori o attributi diversi (in verità, tuttele scienze si interessano dei cambiamenti) e dunque le medie potranno assolvere il loro compito di sintesi in modopiù o meno efficace secondo la variabilità presente nel fenomeno. In questo paragrafo studieremo il concetto ela misura della variabilità per variabili metriche sia in termini assoluti che relativi. Discuteremo anche la misuradella variabilità per le variabili nominali ed ordinali (mutabilità).Concetto di variabilitàLa variabilità è la tendenza a differenziarsi della variabile. E’ cioè frutto dell’assenza o dell’annullamento di forzeche spingono ad un valore o una categoria costante in tutte le rilevazioni (ad esempio la velocità della luce rispettoalla sua fonte). Un fenomeno ha più variabilità quanto maggiore è la gamma di modalità che presenta confrequenza non nulla e quanto minore è la diversificazione tra le frequenze con cui le modalità del suo dominiosi verificano.Esempio:Distribuzione "1" Distribuzione "2" Distribuzione "3"Xi niX niXi ni1 1 1 1 1 53 23 2 2 2 55 1 3 19 3 525 4 2 4 55 1 5 525 25Distribuzione "4"Xin i3 2525La “1” ha meno variabilità della “2” e “3” perché, a parità di unità, è minore il numero di modalità che presenta (tre rispetto a cinque).La “3” ha maggiore variabilità della “2” perché, a parità del numero di modalità e del numero di unità, sono minori le differenze trale frequenze. La “4” è un caso estremo- detto distribuzione degenere- in cui si presenta una sola modalità e la variabilità è assente.Da notare che le quattro distribuzioni hanno in comune moda, mediana e media aritmetica e quindi, dal punto di vista della centralitàsono indistinguibili; lo diventano solo se si allarga il confronto estendendolo ad altri aspetti oltre che la tendenza centrale.La variabilità è una caratteristica tanto evidente e generale che A. Costanzo (1969, p. 9) considera confermatal'opinione di molti statistici del passato che l'indagine statistica altro non sia che un insieme di tecniche rivolteallo studio della variabilità. Graficamente la variabilità corrisponde alla forma più o meno assottigliata delpoligono o della densità di frequenza ed alla estensione più o meno vasta dell’arco dei valori. Consideriamo ledistribuzioni del rendimento di due fondi di investimento.BALa curva B è maggiormente addensata intorno al suo centro; le code della A sono più spesse. La distribuzioneB è meno variabile della A Gli investitori in B rischiano meno, ma pure guadagnano meno; in A c’è più rischioe le perdite possono essere gravi, ma sono anche possibili alti guadagni.Requisiti degli indici di variabilitàGli indici di variabilità V(x 1,x 2,…,x n) esprimono l’attitudine a variare delle modalità (cfr. Castellano, !962).Qualunque sia lo schema di costruzione e la scala di misurazione del dominio, un indice di variabilità dovrà:1) Essere nullo se e solo se le modalità sono tutte uguali;2) Aumentare se e solo se aumenta la diversificazione tra le modalità.