202 - Dipartimento di Economia e Statistica

171D’altra parte, è ben nota la sensibilità della media aritmetica ai valori più grandi ed è perciò inappropriata nei casi incui tali manifestazioni rivestano un ruolo marginale: se si guarda agli atenei per numero di iscritti, l’inclusione di Roma“La Sapienza” porterà molto in alto il numero medio di iscritti. Se il caso fosse unico allora si potrà escluderlo , se invecenon è caso isolato oppure si vuole tenerne esplicitamente conto, la media aritmetica ridiventa ammissibile.Un discorso a parte meritano le medie lasche: moda e mediana in particolare. La prima è l’unica a poter essereutilizzata anche per variabili nominali e la seconda a partire dalle variabili su scala ordinale ed hanno, quindi, un raggiod’azione più ampio delle medie di potenze. Non solo, le medie lasche sono determinabili anche in distribuzioni concode spesse, causa più verosimile dei valori remoti. La moda, nei casi in cui esiste una frequenza relativa che svettadecisamente sulle altre, è l’indice più indicato: nessuna altra media potrebbe aggiungere informazioni significative.Peraltro, le mediana è l’unica a poter essre calcolata con una certa accuratezza allorché gli estremi della primoe/o dell’ultima classe sono indeterminati.Esempio:Un campione di titoli è raggruppato in base ai giorni mancanti per la maturazione della cedola.Giorni Investimenti20 29 230 39 440 49 350 59 860 69 3170 79 980 89 690 99 265La classe “60-69” comprende da sola quasi il 50% delle rilevazioni. Ogni modalità ad essa interna è una candidata legittima comeindice di centralità e qualunque sia la media (ragionevole) scelta ben difficilmente si andrà al di fuori di tale intervallo.La moda ha però difetti che ne complicano l’uso: non è sempre calcolabile oppure -se calcolabile- non è sempresignificativa: nelle distribuzioni plurimodali ad esempio insorgono incertezze su quale modalità debba considerarsi“moda”. Inoltre, risente molto della strutturazione in classi e non sfrutta una parte delle informazioni. Questo difettoè condiviso dalla mediana che non coinvolge puntualmente le modalità, ma solo il loro ordinamento. Le medie lasche,in effetti, possono tornare utili allorché il poligono di frequenza presenti asimmetrie fortissime e inaspettate, verosimilmenteda attribuire a distorsioni nei dati.Esempi:a) Una strada ad alta intensità di traffico è stata suddivisa in tratti regolari e in ognuno è stato rilevato il numero di incidenti.Incident Tratti fi F i0 229 0.3969 0.39691 211 0.3657 0.76262 93 0.1612 0.92373 35 0.0607 0.98444 7 0.0121 0.99655 2 0.0035 1.0000577La moda non può essere utilizzata in quanto indicherebbe lo “0” ignorando il verificarsi di incidenti che è l’oggetto della rilevazione. La mediaaritmetica µ=0.94, ci informa che, in media, in ogni tratto è avvenuto circa un incidenti, ma può trattarsi di una informazione inutile. La medianaM e =1 è un indice più chiaro: sulla metà dei tratti è avvenuto almeno un incidente.b) In un negozio si è rilevato il numero di clienti serviti per ogni giorno di apertura.Clienti Giorni ci f0 10 9 5.00 0.029611 20 21 15.50 0.069121 25 39 23.00 0.128326 30 88 28.00 0.289531 35 66 33.00 0.217136 40 42 38.00 0.138241 50 27 45.50 0.088851 60 12 55.50 0.0395304 1.00000.300.250.200.150.100.050.000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60La moda (28.76), la mediana (29.77) e la media aritmetica (30.92) differiscono poco e questo accade se il poligono di frequenza èsimmetrico intorno alla mediana.Esercizio_SD44: per distribuzioni unimodali e simmetriche o anche moderatamente asimmetriche dovrebbevalere la relazione: (mediana-moda)=3(media-mediana) cioè, la mediana è posta, rispetto a “µ”, ad un terzodella distanza cui è posta la moda.a) Verificare l’uguaglianza (anche approssimativa) per i dati dell’esempio precedente;b) Perché non è valida nelle distribuzioni a “L”, a “J” e ad “U”?