202 - Dipartimento di Economia e Statistica
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171D’altra parte, è ben nota la sensibilità della me<strong>di</strong>a aritmetica ai valori più gran<strong>di</strong> ed è perciò inappropriata nei casi incui tali manifestazioni rivestano un ruolo marginale: se si guarda agli atenei per numero <strong>di</strong> iscritti, l’inclusione <strong>di</strong> Roma“La Sapienza” porterà molto in alto il numero me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> iscritti. Se il caso fosse unico allora si potrà escluderlo , se invecenon è caso isolato oppure si vuole tenerne esplicitamente conto, la me<strong>di</strong>a aritmetica ri<strong>di</strong>venta ammissibile.Un <strong>di</strong>scorso a parte meritano le me<strong>di</strong>e lasche: moda e me<strong>di</strong>ana in particolare. La prima è l’unica a poter essereutilizzata anche per variabili nominali e la seconda a partire dalle variabili su scala or<strong>di</strong>nale ed hanno, quin<strong>di</strong>, un raggiod’azione più ampio delle me<strong>di</strong>e <strong>di</strong> potenze. Non solo, le me<strong>di</strong>e lasche sono determinabili anche in <strong>di</strong>stribuzioni concode spesse, causa più verosimile dei valori remoti. La moda, nei casi in cui esiste una frequenza relativa che svettadecisamente sulle altre, è l’in<strong>di</strong>ce più in<strong>di</strong>cato: nessuna altra me<strong>di</strong>a potrebbe aggiungere informazioni significative.Peraltro, le me<strong>di</strong>ana è l’unica a poter essre calcolata con una certa accuratezza allorché gli estremi della primoe/o dell’ultima classe sono indeterminati.Esempio:Un campione <strong>di</strong> titoli è raggruppato in base ai giorni mancanti per la maturazione della cedola.Giorni Investimenti20 29 230 39 440 49 350 59 860 69 3170 79 980 89 690 99 265La classe “60-69” comprende da sola quasi il 50% delle rilevazioni. Ogni modalità ad essa interna è una can<strong>di</strong>data legittima comein<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> centralità e qualunque sia la me<strong>di</strong>a (ragionevole) scelta ben <strong>di</strong>fficilmente si andrà al <strong>di</strong> fuori <strong>di</strong> tale intervallo.La moda ha però <strong>di</strong>fetti che ne complicano l’uso: non è sempre calcolabile oppure -se calcolabile- non è sempresignificativa: nelle <strong>di</strong>stribuzioni plurimodali ad esempio insorgono incertezze su quale modalità debba considerarsi“moda”. Inoltre, risente molto della strutturazione in classi e non sfrutta una parte delle informazioni. Questo <strong>di</strong>fettoè con<strong>di</strong>viso dalla me<strong>di</strong>ana che non coinvolge puntualmente le modalità, ma solo il loro or<strong>di</strong>namento. Le me<strong>di</strong>e lasche,in effetti, possono tornare utili allorché il poligono <strong>di</strong> frequenza presenti asimmetrie fortissime e inaspettate, verosimilmenteda attribuire a <strong>di</strong>storsioni nei dati.Esempi:a) Una strada ad alta intensità <strong>di</strong> traffico è stata sud<strong>di</strong>visa in tratti regolari e in ognuno è stato rilevato il numero <strong>di</strong> incidenti.Incident Tratti fi F i0 229 0.3969 0.39691 211 0.3657 0.76262 93 0.1612 0.92373 35 0.0607 0.98444 7 0.0121 0.99655 2 0.0035 1.0000577La moda non può essere utilizzata in quanto in<strong>di</strong>cherebbe lo “0” ignorando il verificarsi <strong>di</strong> incidenti che è l’oggetto della rilevazione. La me<strong>di</strong>aaritmetica µ=0.94, ci informa che, in me<strong>di</strong>a, in ogni tratto è avvenuto circa un incidenti, ma può trattarsi <strong>di</strong> una informazione inutile. La me<strong>di</strong>anaM e =1 è un in<strong>di</strong>ce più chiaro: sulla metà dei tratti è avvenuto almeno un incidente.b) In un negozio si è rilevato il numero <strong>di</strong> clienti serviti per ogni giorno <strong>di</strong> apertura.Clienti Giorni ci f0 10 9 5.00 0.029611 20 21 15.50 0.069121 25 39 23.00 0.128326 30 88 28.00 0.289531 35 66 33.00 0.217136 40 42 38.00 0.138241 50 27 45.50 0.088851 60 12 55.50 0.0395304 1.00000.300.250.200.150.100.050.000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60La moda (28.76), la me<strong>di</strong>ana (29.77) e la me<strong>di</strong>a aritmetica (30.92) <strong>di</strong>fferiscono poco e questo accade se il poligono <strong>di</strong> frequenza èsimmetrico intorno alla me<strong>di</strong>ana.Esercizio_SD44: per <strong>di</strong>stribuzioni unimodali e simmetriche o anche moderatamente asimmetriche dovrebbevalere la relazione: (me<strong>di</strong>ana-moda)=3(me<strong>di</strong>a-me<strong>di</strong>ana) cioè, la me<strong>di</strong>ana è posta, rispetto a “µ”, ad un terzodella <strong>di</strong>stanza cui è posta la moda.a) Verificare l’uguaglianza (anche approssimativa) per i dati dell’esempio precedente;b) Perché non è valida nelle <strong>di</strong>stribuzioni a “L”, a “J” e ad “U”?