202 - Dipartimento di Economia e Statistica

1703.1.7 Uso dei valori mediI valori medi danno conto del centro della distribuzione che può essere visto sia come il punto da cui le modalità distanomeno che come la modalità tipica o riscontrata in una posizione tipica della distribuzione. Il loro uso non può esseredisgiunto dall’apporto informativo di altre statistiche e dall’essere riferiti ad una rilevazione campionaria o totale, percui le considerazioni qui svolte saranno incomplete. La compatibilità con la scala di misurazione è un requisitoessenziale: la media aritmetica (e le medie potenze) richiedono la scala metrica: è vero che in diverse indaginile scale ordinate o parzialmente ordinate sono tradotte in numeri (un esempio del genere è, come abbiamo visto,il calcolo del voto medio sugli esami sostenuti), ma è arbitrario ed ogni altro insieme di numeri che producesseuna media antagonista non potrebbe essere contestata. Il principio di Chisini è un buon ausilio per scegliere lamedia: l’idea che essa sia funzionale alla preservazione di un aspetto particolare fornisce un’indicazione immediatae comprensibile su come orientarsi ed abbiamo visto varie circostanze in cui era preferibile ora l’una oral’altra media di potenze. C’è da notare però che tali medie stanno tra di loro in una relazione d’ordine ed è difficileche conclusioni tratte ad esempio sulla base della media aritmetica siano sconvolte o sostanzialmente alteratedall’uso della media geometrica o armonica. D’altra parte se manca una finalità da inquadrare nel principio difunzionalità, qualsiasi media di potenza potrebbe essere la prescelta.Esempi:a) Monari (1981) scrive: “...Scegliere la media aritmetica come misura di sintesi equivale a ritenere ugualmente probabili gli errori diuguale ammontare in eccesso o in difetto. Quando invece vi è ragione di ritenere ugualmente possibili gli errori che danno luogo arapporti di uguale ammontare in eccesso o in difetto, la misura di sintesi più conveniente diventa la media geometrica.”b) Yule e Kendall (1968, p.114-115) ritengono che, se la rilevazione trattata è parte di una indagine più ampia che prevede lacombinazione di più rilevazioni, allora la media aritmetica è quella che si presta meglio alla aggregazione diretta degli indici di centralità(ciò non è possibile per la mediana e per la moda) ed è algebricamente più complesso per le altre medie di potenze.c) Un vecchio metodo per il calcolo della ricchezza privata di una nazione quando non si disponeva di rilevazioni più specifiche sibasava sull’ammontare dei beni trasmessi in eredità in un singolo anno moltiplicato per la durata media dell’intervallo tra duesuccessivi trapassi: il cosiddetto intervallo devolutivo medio (Boldrini, 1968, p. 457, De Finetti, 1966/1990). A questo fine era utilizzatala media aritmetica degli anni che intercorrono tra la morte dei genitori e quella dei figli, ma si trattava di un errore: l’intervallo medionon interessa come durata, ma come velocità di trasferimento dei patrimoni per cui doveva essere usata la media armonica. Si abbiano“n” patrimoni i cui valori siano v 1 , v 2 , …,v n e che siano trasferiti -per donazione o lascito- con gli intervalli temporali in anni t 1 , t 2 , …,t n ;la quantità di ricchezza annualmente trasferita per l’i-esima persona è r i =v i /t i . L’uguaglianza tra la somma dei valori patrimonialitrasferiti v i e la somma dei prodotti delle r i per il comune intervallo devolutivo comporta:n∑ vn ni∑ v i = ∑ r i I d ⇒I d = i=1ni=1 i=1 ∑ r ii=1n∑ v i= i=1n∑ itii=1vd) Nel mercato d’arte non è la qualità che fa il prezzo, ma, almeno fino ad un certo punto, è il prezzo che fa la qualità; perciò, volendoriassumere con un unico dato il valore dei quadri di De Chirico battuti da Southeby’s conviene servirsi della media quadratica (a=2) che riflettemaggiormente i prezzi superiori. (Boldrini ed al. 1962, p.101).Più attraente è l’idea delle medie troncate e delle medie di quantili come guida all’uso di misure meno sensibiliai valori anomali che possono affacciarsi nelle rilevazioni e che, in mancanza di una spiegazione della loroesistenza o di un preciso vincolo di completezza si preferisce emarginare dai calcoli.Valori anomali ed ampiezza della rilevazioneUn’altra scelta, pure dotata di una certa attrattiva, è la winsorizzazione dei valori troppo piccoli o troppo grandicioè la loro sostituzione con valori meno selvatici. Una strada che, alla luce di ciò che si è detto sui valori anomali,deve essere percorsa con prudenza: i valori anomali o remoti sono tali solo se si ha una conoscenza adeguata dellospettro dei valori riscontrabili in un fenomeno. Di solito, le modalità osservate sono troppo poche rispetto a quellepotenzialmente rilevabili e questo può indurre a valutazioni errate sull’anomalia.Esempio:Nelle rilevazioni piccole si può avere il seguente paradosso: nel primografico la A sembra anomala. Nella rilevazione più grande, la A risultaperfettamente allineata, ma è il resto della prima rilevazione che puòessere considerato anomalo. Certi suoni a frequenza molto bassa omolto alta sono “remoti” rispetto al nostro udito che infatti non li percepisce;questo però non significa che non esistono, anzi sono fondamentaliper la sopravvivenza di altri esseri.Rilevazione piccolaARilevazione grande