202 - Dipartimento di Economia e Statistica

162Esercizio_SD31: si consideri il seguente triangolo:2 2Sia: OP = m 1 ; OQ = m 2 . La lunghezza del terzo lato, grazie al teorema di Carnot, è: m = m + m − 2m m cos( θ)3 1dove θ è l’angolo tra i due lati di lunghezza nota. Supponiamo di cercare una “media”, M, dei due lati che diacomunque lo stesso valore m 3una volta sostituita alle lunghezze dei lati, cioè:2 2 2M + M − 2M cos( θ) = ma) Calcolare M ; b) Cosa si può dire sulla condizione di internalità?321 2La media geometricaE’una misura di centralità adatta per fenomeni evolutivi (andamento esponenziale) in cui le modalità si realizzanoproporzionalmente al livello già raggiunto:k∑fG = X i fi = X 1 f1 * X 2 f2 *…*X k k = e f iLn( X i )i=1∏i=1L’uso dei logaritmi evita il prodotto nell’argomento che potrebbe produrre valori troppo grandi (o troppo piccoliin caso di modalità frazionarie). La base “e” non è obbligatoria e possono essere scelti i logaritmi in qualsiasi base.kEsempi:a) I laboratori di analisi specificano la concentrazione di una sostanza misurata per diluizioni successive con espressioni del tipo x i =2 i c,i=0,1,2,… dove “c” è una costante. Ne deriva una distribuzione su diversi livelli, la cui centralità è meglio misurata dalla media aritmeticadei logaritmi (considerando poi l’antilogaritmo). Infatti, la successione dei logaritmi è equispaziata cioè due logaritmi consecutividifferiscono per la stessa costante: Log(x i+1 ) -Log(x i ) =Log(2 i+1 c) -Log(2 i c)=(i+1)Log(2)+log(c)-iLog(2)-Log(c)=(i+1-i)Log(2)=Log(2).b) Un risparmiatore investe una certa somma A in una attività a rendimento variabile X i . Indichiamo con T i il reddito accumulato allafine del periodo i-esimo si avrà, per ogni “i”:T1 = A+ X1A= A( 1+X1) ; T2 = T1 + X2T1 = T1( 1+X2)= A( 1+X1) ( 1+X2) ; …kTi = Ti−1 + XiTi−1 = Ti−1( 1+Xi)= A( 1+X1) ( 1+X2)… ( 1+Xi)⇒ R= A∏ ( 1+Xi)i=1Se il rendimento fosse costante, diciamo G, nei “k” periodi, dopo l’ultimo di essi si avrebbe un capitale pari a R=A(1+G) k . Uguagliandole due espressioni di R si ottiene:1A ( 1 + G) k k⎡ k ⎤ k= A ∏ ( 1 + X i )⇒ ( 1 + G)= ⎢ ∏ ( 1 + X i ) ⎥i=1⎣i=1⎦La media geometrica dei fattori di capitalizzazione è quel valore (1+G) che, sostituito a tutti gli altri, lascerebbe inalterato l’importo.c) I logaritmi sono meno soggetti a variazioni rispetto ai valori originari e quindi la loro media aritmetica (che corrisponde alla mediageometrica) è più stabile ovvero meno influenzata da valori grandi. Infatti, nella progressione geometrica in ragione “2” si ha:Xi 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 204.6Log(X i) 0.3010 0.6021 0.9031 1.2041 1.5051 1.8062 2.1072 2.4082 2.7093 3.0103 1.6557 45.2548con una media geometrica, G=45.25 che supera ed è superata dallo stesso numero di valori rispetto ad una media aritmetica: µ=204.6che ne supera sette ed è superata solo da tre.d) Numero di casse attive su 7 in un supermercato rilevate in n=110 spot temporali. Anche in questo caso conviene calcolare la mediaaritmetica dei logaritmi per poi calcolare la media geometrica come antilogaritmo:G = e 0.4284 = 1.5348Attive Lotti f Ln(Xi)f1 70 0.6364 0.00002 14 0.1273 0.08823 8 0.0727 0.07994 7 0.0636 0.08825 6 0.0545 0.08786 3 0.0273 0.04897 2 0.0182 0.0354110 1.0000 0.4284Da notare che µ=1.93 e ciò desterebbe un maggiore allarme sullo stato del processo.