202 - Dipartimento di Economia e Statistica

1596) La media aritmetica è associativa. Supponiamo di individuare “g” gruppi di unità all’interno delle nostre unità(si parla di miscuglio). Le modalità hanno due indici: il primo per il gruppo ed il secondo per le unità del gruppo.Gruppi Valori UnitàniG1 X11 X12 X1nn1 1Xg∑ ijj = 1G2 X21 X22 X2nn2 2 ∑ ni= n; µi= ; i = 12 , ,…,gi=1niMG X X X ng g1 g2gnggµ iè la i-esima media aritmetica parziale. La proprietà associativa consente di ricavare la media aritmeticacomplessiva µ da quelle dei singoli gruppi:µ=g n i∑ ∑ X iji=1j=1n=n i∑ Xg ijj=1∑ n ii=1 n in=g∑ n i µ ij=1ng= ∑µ i f ij=1Ne consegue che si può calcolare la media globale a partire dalle medie di gruppo anche ignorando i valori dellesingole osservazioni.Esempio:Per tre diverse aree si è considerato il consumo medio annuo per famiglia di zucchero.Aree Unità MedieZona_ A 647 115Zona_ B 173 80Zona_ C 435 75totale 1255 ?µ= 647 173 435*115 + *80+1255 1255 1255 *75= 96.31Note le µ i e le numerosità, il calcolo della media aritmetica globale non presenta ostacoli. La media aritmetica del miscuglio è pari allamedia aritmetica dei singoli gruppi; se poi le medie di gruppo sono uguali a µ, allora anche la media del miscuglio è pari a µ comeè evidente dalla sua espressione (cfr. Olivieri, 1995, pp.44-45).Esercizio_SD26: la variabile Z è data dalla somma di “m” variabili:Z = ∑ X ; i = 12 , ,…,kSi può ricavare la media aritmetica di Z se sono note le medie delle “m” variabili {X i}?imj=1ijEsercizio_SD27: la distribuzione dei redditi in euro in un Paese è stata divisa in quintili e le medie aritmetichedei percettori di reddito ricadenti nelle varie categorie sono: µ 1=6217, µ 2=18374, µ 3=25701, µ 4=31498,µ 5=43533,. Qual’è la media aritmetica globale?La media aritmetica per dati in classiSe fossero disponibili le medie e le frequenze per ciascuna delle classi il calcolo di µ sarebbe semplice: mediaaritmetica delle medie parziali. Il fatto è che le medie aritmetiche di classe -solitamente- non sono note ed occorrestimarle. L’accorgimento più immediato e ricorrente è l’uso del valore centrale delle classi:Ui+ Liµ i = ; i = 12 , ,…,k2Qualora uno degli estremi fosse indeterminato, il valore centrale potrà essere calcolato con le formule viste nelparagrafo 2.2.4 o altra procedura ritenuta opportuna.