202 - Dipartimento di Economia e Statistica

158k2 2( ) + ( µ− ) + ( µ− ) ∑( −µ )= ∑ X −µ f ∑ A f 2 A X fi=1ki i i i ii=1i=12k2i i ii=1( ) + ∑( µ− )= ∑ X −µ f A fi=1kkIl terzo termine della prima relazione risulta nullo per la proprietà già dimostrata della media aritmetica diannullare la somma degli scarti semplici. Proseguendo lo sviluppo si ottiene:k( X i −µ ) 2 kf i + ( µ−A ) 2 k= ( X i −µ ) 2 f i + ( µ−A ) 2 k k∑ ∑ ∑∑ f i = ∑ X i −µi=1i=1i=1i=1 i=1( ) 2 f i + ( µ−A ) 2Nell’ultima relazione possiamo tralasciare il primo addendo perché non dipende da A per considerare solo ilsecondo. Questo è semplicemente un quadrato che ha il minimo nello zero, raggiunto per A=µ.Esempio:Le prime (per fatturato) cento società estere per numero di sedi operative in Italia.12∑(X-A) 2i10Sedi Società f i X if i1 46 0.4600 0.460083 24 0.2400 0.720064 18 0.1800 0.72007 5 0.0500 0.350048 4 0.0400 0.3200210 2 0.0200 0.2000µ12 1 0.0100 0.12000A100 1.0000 2.89000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5L’andamento parabolico della somma degli scarti raggiunge il minimo se il riferimento è la media aritmetica. Tale proprietà consenteun’ulteriore interpretazione della media aritmetica (cfr. Frosini, 1987, pp. 82-83): se con lo scarto al quadrato si misura un aspettonegativo: una perdita, un rischio, un costo, etc. µ è il valore che lo mantiene al minimo (se gli scarti sono in valore assoluto talecaratteristica è della mediana).4) Riproducibilità rispetto a trasformazioni lineari. Supponiamo che la variabile X sia trasformata lineare:Vediamo che succede alla media aritmetica.Y = a+ bX i = 12 , ,…,nii( ) =µ = ∑ Y f = ∑ a + bX f ∑ af + b∑X f = a + bµykkki ii i i i i xi= 1 i= 1 i=1 i=1La media aritmetica segue la stessa sorte della variabile subendo una uguale trasformazione.kEsempio:Bilancio delle principali squadre di calcio di serie A (in milioni).Squadre Lire DollariJuventus 1847 947.18Milan -27093 -13893.85Inter -21442 -10995.90Roma 504 258.46Parma -25418 -13034.87Lazio 251 128.72Fiorentina -10579 -5425.13Sampdoria -879 -450.77Bologna -8822 -4524.10µ=-10181.22 -5221.14Conversione in migliaia di dollari. Ipotizzando un rapporto di conversione 1000: 1950, la media in lire µ=-10’181.22 diventa µ=-10’181.22/1950=-5’221.14 in migliaia di dollari che coincide con la il calcolo diretto della media in tale unità di misura.Esercizio_SD25: è stata calcolata la media aritmetica di n=20’000 misurazioni comprese tra 1 e 1000 ottenendoun valore di µ=199; prima di pubblicare i risultati ci si accorge che i dati erano in realtà dei decimali in cuiera stato omesso lo “0.”; si può recuperare la media aritmetica dei valori originali?