202 - Dipartimento di Economia e Statistica

157Se ogni modalità attrae il fenomeno in forza del suo valore e della frequenza relativa, la media aritmetica è il puntoin cui le forze operanti alla sinistra e quelle a destra si bilanciano tenendo il sistema in equilibrio stabile.Esempi:a) Numero di figli maschi in famiglie di otto figli.Figli Famiglie f X * f0 161 0.0044 0.00001 152 0.0041 0.00412 3957 0.1071 0.21433 7603 0.2058 0.61754 10263 0.2779 1.11145 8498 0.2301 1.15036 4984 0.1349 0.80967 1055 0.0286 0.19998 264 0.0071 0.057236937 1.0000 4.1643Per calcolare la media aritmetica si forma una colonna con i prodotti delle modalità per le frequenze relative e si sommano i risultati(per limitare gli errori di arrotondamento si potrebbero anche moltiplicare le modalità per le frequenze assolute e poi dividere il totaleper “n”). L’esito non è un intero nonostante il tipo di dominio della variabile lo richiederebbe: la media aritmetica è tra quattro e cinquefigli, ma con prevalenza del quattro.b) Soggetti classificati per mesi compiuti tra l’ultimo compleanno e la data di decesso (Andrews e Herzberg, 1985, p. 430).X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11n 99 99 114 106 106 103 107 114 109 104 110 110 1281f 0.08 0.08 0.09 0.08 0.08 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.09 0.09 1.00Xf 0.00 0.08 0.18 0.25 0.33 0.40 0.50 0.62 0.68 0.73 0.86 0.94 5.58La media aritmetica è 5 mesi e mezzo. Parrebbe esserci una tendenza a completare un altro anno, ma non è molto evidente.Esercizio_SD24: dipendenti di un’impresa per permessi brevi nell’ultimo anno.Permessi Dipendenti f2 8 0.02013 30 0.07544 80 0.20105 148 0.37196 98 0.24627 28 0.07048 6 0.0151398 1.0000a) Calcolare la media aritmetica;b) Supponete che, per errore, le frequenze assolute siano state raddoppiate. E’ possibile ottenere la mediaaritmetica senza ripetere i calcoli?Proprietà della media aritmetica1) La media aritmetica verifica la condizione di internalità. Infatti, dalla disuguaglianza:k∑ X f ≤ ∑X f ≤∑X f() 1 ii ii= 1 i=1 i=1kin cui ogni modalità è stata sostituita dalla più piccola (lato sinistro) e dalla più grande (lato destro) si ottiene:k( n)ikkX ∑ f ≤ ∑X f ≤X ∑ f ⇒ X ≤ ∑ X f ≤X() 1 ii i ( n) i() 1i = 1 i = 1 i = 1dato che X (1)e X (n)sono costanti rispetto all’indice di sommatoria.2) La somma degli scarti semplici tra modalità e media aritmetica è nulla:kki=1ii( n)k∑( X i −µ ) f i = ∑ X i f i − ∑µf i = ∑ X i f i −µ = ∑ X i f i −µ =µ−µ=0i=13) La media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato.kkki=1ki=1[ ] =ki=1222 2∑( X − A) f = ∑ ( X −µ )+( µ− A)f ( X −µ ) + ( µ− A) + 2(µ− A) ( X −µ ) fi i iii= 1i= 1i=1ki=1k∑[ ]i i i