202 - Dipartimento di Economia e Statistica

152La mediana rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti, cioè la quantità:è minima se A=M e.QA ( )= ∑ X i − Aki=1f iEsempi:a) Proviamo a darne una dimostrazione per modalità tutte positive scomponendo la somma dei valori assoluti in due somme parziali:( )( )QA ( )= ∑ X()i − Af() i + ∑ A−X()i f()iX() i > AX()i ≤ A= ∑ X()i f() i − A ∑ f()i + A ∑ f()i − ∑ X()i f() i ± ∑ X()i f()iX() i > AX() i > A X() i ≤ A X() i ≤ AX()i ≤ A= ∑ X()i f() i + ∑ X()i f() i − A[ 1− F( A)]+ AF( A)− 2 ∑ X()i f()iX() i > AX() i ≤ AX()i ≤ A=µ−A[ 1− 2F( A)]− 2 ∑ X()i f()iX ≤ A() idove µ è la media aritmetica (cfr. par. 3.1.4) non dipendente da A. L’andamento di Q(A) è decrescente per A tale che F(A)0.5; il minimo è perciò raggiunto per F(A)=0.5 che corrisponde ad A=M e .b) Siano {X (1) , X (2) , …,X (k) } delle stazioni disposte lungo una linea ferroviaria. Supponiamo che un treno parti da un punto genericoA lungo la linea per lasciare il carico alla stazione X (1) e poi, tornato ad A, riparta carico per andare a scaricare a X (2) e così proseguendofino a che non lasci l’ultimo carico alla stazione X (k) . In quale punto deve essere collocato A in modo da rendere minima la distanzacomplessivamente percorsa?X (1) X (2)X (i)M e X (i+1)X (k-1) X (k)Evidentemente dovrà trovarsi interno a (X (1) ,X (k) ) altrimenti sarebbe possibile ridurre la distanza scegliendo A=X (1) oppure A=X (k) . Allostesso modo “A” deve essere interno a (X (2) ,X (k-1) ) a (X (3) ,X (k-2) ) e così via. Pertanto, se vi è un elemento che si trova in posizionecentrale A coinciderà con esso ovvero A=mediana. Se esiste una coppia di punti centrali A sarà il punto intermedio tra di esse.Esercizio_SD12: si consideri la distribuzione di frequenza( ) = …Xi, fi, i 12 , , , k.a) Che succede alla mediana se le frequenze delle prime k/2 modalità sono dimezzate e quelle successive sonoraddoppiate?b) Che succede alla moda?Esercizio_SD13: variazioni percentuali in ribasso di un indice sintetico per la borsarispetto alla linea di tendenza teorica (cfr. Cap. 4). Valutazioni su 500 giornate borsistiche.a) Calcolare la mediana;b) Rappresentare il poligono delle frequenze ed individuate graficamente la mediana.Variazione Giornate-50 -45 7-45 -40 19-40 -35 32-35 -30 45-30 -25 68-25 -20 85-20 -15 79-15 -10 62-10 -5 55-5 0 48500Esercizio_SD14: un vasto studio sui gemelli mirava a stabilire se il primo nato èpiù aggressivo nei confronti. Un indicatore di aggressività con valori crescenti tra50 e 100 è stato rilevato su 120 coppie.a) Calcolare moda e mediana per entrambe le distribuzioni;b) E’ ragionevole, in base a questi dati, l’ipotesi della maggiore aggressività delprimogenito?Indice 1° nato 2° nato50 55 3 656 60 4 1061 65 6 1866 70 9 2571 75 14 2476 80 20 1681 85 21 1286 90 23 591 95 12 396 100 8 1120 120