Le equazioni di Maxwell. Φ Φ - Infn

Le equazioni di Maxwell.Campi elettrici indotti.Per la legge di Farady, in una spira conduttrice dove c’è una variazione di Φ B concatenato siosserva una corrente indotta i I . Ricordando che una corrente è un flusso di cariche provocato da uncampo E r , possiamo scrivere le seguenti implicazioni (in blu) che possono portare all’introduzionedi un campo elettrico E r(campo elettrico indotto)IdΦdtB≠0nasce una ε Icircola una i Isi instaura un moto di cariche qÈ necessaria una forza elettricaF E = q ENasce un campo elettrico indotto E IPossiamo pensare ad una interpretazione diversa (dovuta a Maxwell) (in rosso) per spiegarel’insorgere di i I nella spira.dΦQuesta interpretazione dice che se in una regione di spazio si ha B≠ 0 , si crea una nuovadtproprietà dello spazio che chiamiamo campo elettrico indotto.Questa proprietà dello spazio poi si manifesta, su una eventuale spira conduttrice presente nellaregione, con una corrente indotta i I .L’espressione del campo elettrico indotto E rI si può ottenere osservando che le due interpretazionidevono portare a risultati compatibili: ad esempio il lavoro W fatto per spostare una carica q 0 lungouna spira deve essere lo stesso in entrambe le interpretazioni.1

⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗dlr⊗ ⊗ ⊗spira⊗ ⊗ ⊗dΦdtB≠0Interpretazione di Faraday: ε I ≠ 0W = q 0 ε IInterpretazione di Maxwell: E I ≠ 0r rr rdW = q 0 E ⋅ dl ⇒ W =∫q E ⋅ dlI0I⇒ q ε0I=∫rq E0Ir⋅ dl ⇒ εI=∫rEIr dΦB⋅ dl ⇒ −dt=∫rEIr⋅ dlSe interpretiamo l’induzione elettromagnetica in termini di campo elettrico indotto possiamoscrivere la legge di Faraday come:dΦr rB(1) − =∫EI⋅ dldtSi noti, proprio grazie alla precedente relazione, che il campo elettrico indotto non è conservativo.rdΦr rInoltre se B( t ) = cost ⇒ Φ ( t ) cost BB = ⇒ = 0 ⇒ ∫ EI⋅ dl = 0dtelettrico è conservativo ma non è più un campo elettrico indotto!ossia quando il campoQuindi l’equazione (1) automaticamente include il caso stazionario, ovvero il campo elettrostatico,pertanto possiamo scrivere generalizzando:(2) −d Φ r B =∫E ⋅ dlrdt(generalizzazione del teorema della circuitazione)dove E r è il campo elettrostatico per casi stazionati e il campo elettrico indotto per casi nonstazionari.L’equazione di Ampere-Maxwell.L’equazione 2, dice che in una regione di spazio dove c’è un campo B r ( t ) si crea un campo E r ( t ) .Questa interpretazione della legge di Faraday, fa sorgere una naturale domanda: è vero anche lasituazione simmetrica? Se in una regione di spazio c’è un campo E r ( t ) si crea un campo B r ( t )?2

Dopo l’interpretazione di Maxwell della legge di Faraday, si cercarono evidente sperimentali direttecirca la possibilità di creare un campo B r ( t ) da un campo E r( t ) , ma i risultati sono stati tuttinegativi.Maxwell, non si arrese all’evidenza sperimentale e sviluppò una teoria, qui di seguito accennata,che partiva dalla evidenziare i limiti della legge di Ampere scritta come Br ⋅ drl = μ .Infatti questa espressione, valida in casi stazionari ( i = i C = cost ⇒ linee di correnti chiuse), non èvalida in casi non stazionari quando i = i(t) e le linee di correnti sono aperte (e quindi i C = 0).Se colleghiamo due punti a potenziale V(A) e V(B) (inizialmente V(A)>V(B)) con un filo conduttore,in esso si instaura una corrente non stazionaria i(t).∫Γ0 i CΔV=V(A) –V(B) =ΔV(t)AE(t)BFig. 1i(t)B(t)ΓSe i(t)≠0 ⇒ B(t) ≠0 ⇒r rscelta la curva Γ , si ha che B ⋅ dl= val ≠ 0 .Mentre la linea di corrente (essendo aperta) nonrisulta concatenata con Γ e si ha i c = 0.∫ΓQuindi in casi non stazionari il teorema diAmpere ci porta ad un’incongruenza:r rB ⋅ dl= val ( ≠ 0 ) = μ i ( = 0 ) ⇒ val∫Γ0 C=0Per risolvere questa incongruenza, dobbiamo pensare di aggiungere (Ipotesi di Maxwell) al teoremadi Ampere, così come scritto per casi stazionari, un termine che tenga conto dei casi non stazionari,ovvero di aggiungere un “termine di corrente” i S scrivendo:∫Γr rB ⋅ dl= μ +( i )0 C iStale che:i S = 0 e i C ≠ 0 in casi stazionarii S ≠ 0 e i C = 0 in casi non-stazionariDobbiamo trovare l’espressione di i S . Osserviamo (vedi fig. 1) che se i è non-stazionaria, ossiacircola su una linea aperta, nella zona dove la linea è interrotta deve esserci un campo elettrico E(t)in quanto esiste un ΔV(t) ⇒ dove manca i(t) esiste un E(t) e quindi variazioni di i(t) con tempopotrebbero essere equivalenti a variazioni di E(t). Analizziamo meglio questa situazione, facendoriferimento al processo di carica di un condensatore piano C con armature di area S distanti d (fig.2).3

Ad un istante t, sulla singola armatura del condensatore abbiamo una carica q(t) e una differenza dipotenziale fra le armature V(t) con V(t)= C q(t).Fig. 2Sappiamo che:ε0Sε0SV( t ) = E( t )d e C = ⇒ q( t ) = CV( t ) =dddq( t ) d( ε0SE( t )) dSE( t ) dΦE( t )== ε0= ε0dt dtdt dtE( t )d= ε SE( t ) ⇒ q( t ) = ε SE( t ) ⇒00dove Φ E = SE è il flusso del campo E attraverso una superficie pari all’area delle armature.( )dΦ)Il termine E ( tC N C mε 0 ha le dimensioni di una corrente ( ⋅2dtm N schiamato, per motivi storici, corrente di spostamento indicato con i S .222C N=NCs=Cs=A) ed èdq( t )dΦ)La variazione di carica sull’armatura è quindi equivalente al termine E ( tε 0 associatodtdtdq( t )alla variazione di E r⇒ è la variazione di carica sull’armatura durante il processo di carica,dtma queste cariche transitano sul filo producendo la corrente i(t) in esso ⇒dq( t )i(t)≡dtdΦ)≡ E ( tε0≡ i S.dtIn casi non stazionari, nelle zone dove E(t) il termine i S nello spazio è equivalente a i(t) nei filiconduttori.Possiamo quindi scrivere l’equazione di Ampere-Maxwell:∫Γr r ⎛B ⋅ dl= μ0⎜i⎝C+ ε0dΦEdt⎞⎟⎠che nel caso di i C = 0 diviene:∫ΓdBr Φ E⋅ drl = μ0ε0.dt4

L’equazione di Ampere-Maxwell è completamente simmetrica alla legge di Faraday a parte:• il fattore μ 0 ε 0, che dipende dal sistema di unità di misura scelto,• il segno meno, che indica che i versi dei campi B ed E sono in questo caso legati dalla regoladella mano destra.Osservazione: μ 0 ε 0 = 4π ⋅10 -7 ⋅8.86⋅10 -12 ≈1⋅10 -17 s 2 m -2 dΦe quindi il termine μ E0ε0è estremamentedtpiccolo e quindi i suoi effetti difficilmente misurabili direttamente in un esperimento!Esempi 1): Campo E indotto generato da campo B(t) a simmetria cilindrica.Assumiamo un campo B r , perpendicolare ed entrante nel foglio, con modulo variabile nel tempodBconfinato in una regione cilindrica infinita di raggio R. Sia = cost > 0 . Per la legge di Faraday,dtsi creerà un campo E r . Questo deve avere linee di campo chiuse e dovrà conservare la simmetriacilindrica: le linee di campo devono essere delle circonferenze concentriche con l’asse del cilindro epunti equidistanti dall’asse del cilindro devono avere lo stesso valore del campo.Il verso delle linee di campo èfissato dalla legge di Lentz.(B aumenta essendo cost > 0)Applichiamo la legge di Faraday, scegliendo un linea Γ di raggio r coincidente con una linea dicampo con:a) r < Rr r dΦE ⋅d= − B∫ ldtΓ2d( πrB )2⇒∫E ⋅dl⋅cosθ= ∫ E ⋅dl= E∫dl= E2πr= − ⇒ E2πr= −πrdtΓΓ ΓdBdt⇒ E = −r dB2 dtb) r > Rr r dΦE ⋅d= − B∫ ldtΓ2d( πRB )2⇒∫E ⋅dl⋅cosθ= ∫ E ⋅dl= E∫dl= E2πr= − ⇒ E2πr= −πRdtΓΓ ΓdBdt2R⇒ E = −2rdBdtc) r = R,RE = −2dBdt5

Esempi 2): Campo B generato da un campo E(t) a simmetria cilindrica.Assumiamo un campo E r , perpendicolare ed entrante nel foglio, con modulo variabile nel tempodEconfinato in una regione cilindrica infinita di raggio R. Sia = cost > 0 . Per la legge di AmperedtMaxwell, si creerà un campo B r . Questo deve avere linee di campo chiuse e dovrà conservare lasimmetria cilindrica e quindi valgono le considerazioni precedente.Il verso delle linee di campo è fissatodalla regola della mano destra.(E aumenta, essendo cost > 0)Confrontare i versi dei campi nelle duefigure!Applichiamo la suddetta legge, scegliendo un linea Γ di raggio r coincidente con una linea di campocon:a) r < R∫Γr r dΦEB ⋅ dl= μ0ε0dtr dE⇒ B = μ0ε02 dtb) r > R⇒∫ΓB ⋅ dl⋅ cos0 =∫ΓB ⋅ dl= B∫Γdl= B2πr= μ ε002d( πrE )⇒ B2πr= μ0ε0πrdt2dEdt∫Γr r dΦEB ⋅ dl= μ0ε0dtμ0ε0R⇒ B =2r2dEdt⇒∫ΓB ⋅ dl⋅cos0=∫ΓB ⋅ dl= B∫Γ2d( πRE )dl= B2πr= μ0ε0⇒ B2πr= μ0ε0πRdt2dEdtc) r = Rμ dEB 0 ε= 0R.2 dt6

Le quattro equazioni di Maxwell.La teoria di Maxwell, precedentemente descritta, permise la sintesi di tutti i fenomeni elettrici emagnetici, stazionari e non, con 4 equazioni note come le equazioni di Maxwell.r r1)∫E ⋅ dS =q intεS 0Teorema di Gauss(L’origine di E r sono le cariche elettriche)r r dΦB2)∫E ⋅ dl= −Legge di Faraday ( E r è creato anche da B r ( t ))dtΓ3)∫Br ⋅ dSr= 0Teorema di Gauss per B (Non esistono cariche magnetiche)Sr r ⎛ dΦE ⎞4)∫B ⋅ dl= μ0⎜iC+ ε0⎟⎝ dt ⎠ΓTeorema di Ampere-Maxwell (l’origine di B r sono le correnti maB r è creato anche da E r ( t ) )Questa teoria lasciò subito intravedere l’esistenza di fenomeni non ancora osservati!Se scriviamo le quattro equazioni precedenti per uno spazio vuoto dove non ci sono nè caricheelettriche (q = 0) nè correnti (i = 0) otteniamo delle equazioni completamente simmetriche :r r1)∫E ⋅ dS = 0Sr r dΦB2)∫E ⋅ dl= −dtS3)∫Br⋅ dSr= 04)S∫ΓdBrΦ E⋅ drl = μ0ε0dtEsse dicono che:a) un campo B r ( t ) genera, tramite l’equazione 2, un campo E r( t )l’equazione tramite 4, un campo B r( t )) ecc, ecc,……che genera, tramiteLegge di FaradayB(t)E(t)I campi si autogenerano e autosostengonoTeorema di Ampere-Maxxwellb) I campi Er e Brhanno entrambi linee chiuse.7

Il segno − è fondamentale per il sostentamento dei campi (vedi fig.)B(t) aumentaE(t) aumentaB(t) diminuisceE(t) diminuisce⏐E(t)⏐aumenta⏐B(t)⏐aumenta⏐E(t)⏐diminuisce⏐B(t)⏐diminuisceLegge di FaradayLegge di Ampere-Maxwelli(t) crescenteecc,ecc,….B(t)E(t)B(t)E(t)Questo nuova realtà fatta di campi Er e Brche esistono nello spazio vuoto, che si autogenerano eautosostengono sono le onde elettromagnetiche.L’esistenza delle onde elettromagnetiche è la verifica sperimentale della teoria di Maxwell.8