La conservazione del momento angolare afferma che (1) dove il ...

Prova scritta di Fisica 1 per Matematica del 20.01.2006Esercizio 1 (15pt)Un disco omogeneo di massa M e raggio R ruota intorno all’asse passante per il suocentro di massa (vedi figura) con velocità ω.A una distanza r = R/10 dal centrodel disco sono fissate due palline di massa m = M/2 ciascuna; ad un certo istante ilblocco che mantiene ferme le due palline viene rimosso e le due palline raggiungono ilbordo del disco (muovendosi su una guida priva di attrito), senza cadere. Quale saràil rapporto tra la velocità angolare in questa situazione e la velocità angolare inizialedel sistema? (approssimare le due palline a due punti materiali).La conservazione del momento angolare afferma cheP f = P i (1)dove il momento angolare è definito daP = Iω (2)dove I è il momento di inerzia di un corpo rispetto all’asse di rotazione.

2Il momento angolare iniziale è dato dalla somma del momento angolare del discoP Di= I D ω = 1 2 MR2 ω (dove I D è il momento di inerzia del disco rispetto all’assepassante per il suo cdm) e il momento angolare delle due palline P pp = 2P p = 2mr 2 ω. Ilmomento angolare finale è dato dalla somma 1 2 MR2 ω f +2mR 2 ω f . Quindi, l’espressionedella conservazione del momento angolare può essere riscritta:12 MR2 ω + 2mr 2 ω = 1 2 MR2 ω f + 2mR 2 ω f (3)ovveroda cui si ricava12 MR2 ω + M( R 10 )2 ω = 1 2 MR2 ω f + MR 2 ω f (4)ω fω = 1750= 0.34 (5)Esercizio 2 (15pt)Due solidi di massa m identica e temperatura diversa (T 1 e T 2 ) vengono chiusi in un contenitoreisolante e messi a contatto. I rispettivi calori specifici sono C 1 = C 0 +αT e C 2 .Calcolare la temperatura di equilibrio T f e la variazione di entropia del sistema. Dati:T 1 = 300 ◦ K, T 2 = 400 ◦ K, C 0 = 12Jkg −1 K −1 , α = 0.1Jkg −1 K −2 , C 2 = 449Jkg −1 K −1 ,m = 1kg.Poiché il calore specifico non è costante, scriviamo il bilancio dei calori assorbito eceduto in forma differenziale e poi integriamo:dQ 1 = −dQ 2 ⇒ mC 1 dT = −mC 2 dT ⇒ (C 0 + αT )dT = −C 2 dT (6)Integrando∫ TfT 1∫ Tf(C 0 + αT )dT = − C 2 dT (7)T 2

3ovveroC 0 (T f − T 1 ) + α 2 (T 2 f − T 2 1 ) = −C 2 (T f − T 2 ) (8)Riorganizzando questa equazione di secondo grado, e risolvendola con in valori forniti,si ottengono due soluzioni, una sola delle quali possibile:T f = 374K (9)Per la variazione di entropia, calcoliamo separatemente le variazioni del corpo 1 e delcorpo 2 e poi sommiamole:∫ Tf∆S 1 = mT 1C 0 + αTTdT = m(C 0 ln T fT 1+ α(T f − T 1 )) = 32.2JK −1 (10)Quindi∫ TfC 2∆S 2 = mT 2 T dT = mC 2 ln T f= −30.2JK −1 (11)T 2∆S = ∆S 1 + ∆S 2 = 32.2 − 30.2 = 2JK −1 (12)Esrcizio 3 (5pt)Si trovi la lunghezza del pendolo semplice il cui periodo è 2s. Quale sarebbe il periodoT L di questo pendolo sulla superficie della Luna, dove l’accelerazione di gravità è 1g.6Il periodo è dato dalla√lT =g ⇒ l = T 2 g (13)Sulla LunaT L = √ l√1g = 66 T 2 gg= √ 6T (14)