Regime sinusoidale – RLC serie

é 1ùEMAX ⋅ cos( wt + a) = RIMAX ⋅ cos( wt + a) + [-wLIMAX ⋅ sen( wt + b) ] + ê IMAX⋅ sen( wt+ b)úëwCûdato che vale: v () t = R⋅ i() t = RI ⋅ cos( wt+ b)RMAXdi()t d vL( t) = L⋅ = L⋅ [ IMAX ⋅ cos( wt + b) ] = [-wLIMAX⋅ sen( wt+ b)]dt dt1 t1 té 1ù vC() t = ⋅ i() t dt [ IMAX cos( wt b) ] dt IMAXsen( wtb)C ò ⋅ =-¥ C ò ⋅ + ⋅ = ê ⋅ + ú-¥ë wCûL’espressione ricavata è un bilancio di seni e coseni, pertanto risulta di difficile soluzione.Esiste un metodo alternativo a quello di tipo trigonometrico: la trasformata diSteinmetz, che permette la risoluzione di circuiti in corrente alternata con i metodi propridelle reti in corrente continua. Essa si basa sulla formula di Eulero:j( wt+a) A⋅ e = A⋅ cos( wt + a) + jA⋅ sen( wt+ a), da cui:A⋅ cos( wt + a) = Re éëA⋅eA⋅ sen( wt + a) = Im éëA⋅ej( wt+a)j( wt+a)ùûùûUtilizzando queste formule si possono riscrivere i fattori della equazione di maglia del RLCcome segue:é ù é ùë û ë ûj( wt+ a) j( wt+a) EMAX ⋅ cos( wt + a ) = Re EMAX ⋅ e = EMAX⋅ Re eé ù é ùë û ë ûj( wt+ b) j( wt+b) RIMAX ⋅ cos( wt + b ) = Re RIMAX ⋅ e = RIMAX⋅ Re e( ) LIMAXsen( t ) LIMAXIm e j wt+-w ⋅ w + b = -w ⋅bIm[ a + jb] = - Re [ j( a + jb)] diventa:j( t )LIMAXsen( t ) LIMAXRe j e w +-w ⋅ w + b = w ⋅ é ⋅b ùë ûé ùë û, e applicando la relazione