Regime sinusoidale – RLC serie

Regime sinusoidale – RLC serieDato un RLC serie, alimentato da un generatore di tipo sinusoidaleet ( ) = E ⋅ cos( wt+ a), tutte le grandezze elettriche del circuito non possono che avereMAXandamento di tipo (co)sinusoidale, siccome le relazioni elettriche costitutive dei bipoli R, Le C sono rispettivamente di tipo Proporzionale: v ( t) = R⋅ i( t),R Differenziale:di()tvL( t)= L e dt Integrale:1 tv () t = i()t ⋅ dtCòC -¥e siccome valedcos( wt)=- wsen( wt)edtò1cos( wtdt) = sen( wt). Quindi, in particolare, lawcorrente deve essere di tipo (co)sinusoidale, cioè deve avere la formait () = I ⋅ cos( wt+ b). Una grandezza (co)sinusoidale è completamente nota se sonoMAXnote le sua ampiezza e la sua fase, quindi il calcolo di ogni grandezza di tipo(co)sinusoidale prevede la determinazione di due incognite.Dal secondo principio di Kirchhoff alla maglia RLC si ottiene:et () = v () t + v () t + v () t , cioè introducendo le relazioni costitutive dei bipoli:R L Cdi() t 1 tet () = R⋅ it () + L⋅ + ⋅ it () dtdt C ò ⋅-¥sostituendo le espressioni di et ( ) e it ( ) si ricava l’espressione per il calcolo della correnteit (), cioè l’espressione che consente di calcolarne l’ampiezza I MAX e la fase b :

é 1ùEMAX ⋅ cos( wt + a) = RIMAX ⋅ cos( wt + a) + [-wLIMAX ⋅ sen( wt + b) ] + ê IMAX⋅ sen( wt+ b)úëwCûdato che vale: v () t = R⋅ i() t = RI ⋅ cos( wt+ b)RMAXdi()t d vL( t) = L⋅ = L⋅ [ IMAX ⋅ cos( wt + b) ] = [-wLIMAX⋅ sen( wt+ b)]dt dt1 t1 té 1ù vC() t = ⋅ i() t dt [ IMAX cos( wt b) ] dt IMAXsen( wtb)C ò ⋅ =-¥ C ò ⋅ + ⋅ = ê ⋅ + ú-¥ë wCûL’espressione ricavata è un bilancio di seni e coseni, pertanto risulta di difficile soluzione.Esiste un metodo alternativo a quello di tipo trigonometrico: la trasformata diSteinmetz, che permette la risoluzione di circuiti in corrente alternata con i metodi propridelle reti in corrente continua. Essa si basa sulla formula di Eulero:j( wt+a) A⋅ e = A⋅ cos( wt + a) + jA⋅ sen( wt+ a), da cui:A⋅ cos( wt + a) = Re éëA⋅eA⋅ sen( wt + a) = Im éëA⋅ej( wt+a)j( wt+a)ùûùûUtilizzando queste formule si possono riscrivere i fattori della equazione di maglia del RLCcome segue:é ù é ùë û ë ûj( wt+ a) j( wt+a) EMAX ⋅ cos( wt + a ) = Re EMAX ⋅ e = EMAX⋅ Re eé ù é ùë û ë ûj( wt+ b) j( wt+b) RIMAX ⋅ cos( wt + b ) = Re RIMAX ⋅ e = RIMAX⋅ Re e( ) LIMAXsen( t ) LIMAXIm e j wt+-w ⋅ w + b = -w ⋅bIm[ a + jb] = - Re [ j( a + jb)] diventa:j( t )LIMAXsen( t ) LIMAXRe j e w +-w ⋅ w + b = w ⋅ é ⋅b ùë ûé ùë û, e applicando la relazione

1 1wCwC( ) sen( ) Im j wIMAXt IMAXet + b⋅ w + b = ⋅é ùë û, e applicando la relazioneé1ùIm[ a + jb]= Re ( a + jb)êëjúûdiventa:1 1 é 1 j tIMAX⋅ sen( wt + b) = IMAX⋅Re ⋅ewC wC êëj( w + b)ùúûquindi si ottiene:j( wt+ a) j( wt+ b) j( wt+ b) 1 é 1 j( wt+b)ùEMAX ⋅ Re ée ù RIMAX Re ée ù wLIMAX Re éj e ùë û= ⋅ë û+ ⋅ë⋅û+ IMAX⋅Re⋅ewCêëj úûÈ possibile dimostrare che se la relazione precedente vale per le parti reali, vale anche perl’esponenziale, quindi:1 1E e RI e LI je I ewCjj( wt+ a) j( wt+ b) j( wt+ b) j( wt+b)MAX ⋅ = MAX ⋅ + w MAX ⋅ + MAX ⋅Semplificando w t da tutti i membri e raccogliendo i termini a secondo membro si ricava:jaé1 ùEMAX⋅ e = R + jwL + ⋅IMAX⋅eêëjwCúûjbÈ definita trasformata di Steinmetz la trasformazione:ja E E ⋅ e = E ⋅ (cos a + jsen a),MAXMAX

dove E è il vettore (sul piano complesso xsinusoidale et ( ) = E ⋅ cos( wt+ a).MAX+ jy ) rappresentativo della grandezzaE è detta anche trasformata di Steinmetz di et ( ) = E ⋅ cos( wt+ a). Trasformandojanche it () = I ⋅ cos( wt+ b)in I I ⋅ e b si ha:MAXMAXMAXé1 ùE = R + jwL + ⋅ IêëjwCúûquindi la resistenza R trasformata diventa un bipolo caratterizzato da R, l’induttore Ldiventa un bipolo caratterizzato da jw L e il condensatore diventa un bipolo caratterizzatoda1jw C.