Calcolatori quantistici - Enea

Calcolatori quantisticiFABRIZIO CLERIENEAUTS Materiali e Nuove TecnologieUn racconto sulle macchine calcolatrici del futuro, in cui siparla della vera lunghezza dei numeri, dell’entropia di uncalcolatore e di quel che si può o non si può calcolarestudi & ricercheQuantum computersAbstractA quantum computer, which by its very nature has a hugememory and works in hyper-real space instead of threedimensionalspace, seems plainly out of the question today,except from the theoretical standpoint. But let us not giveup hope: quantum computing is only 15 years old. Andeven if the enormous problems posed by the energydissipation necessary to perform operations on quantumbits seem daunting, scientists are starting to suggest waysto build devices capable of performing them.ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0357

STUDI & RICERCHEAccade spesso nella scienza che risultatiimportanti scaturiscano dalla combinazionedi idee apparentemente prive di alcunarelazione. E due idee apparentementescorrelate sono meccanica quantistica ecalcolatore. Che relazione c’è tra la descrizionefisica del mondo atomico e subatomicoe una macchina che serve ‘solo’ perfare calcoli? Una possibile osservazioneche verrà subito in mente a qualche lettoreè la seguente: “Beh, ma in fondo se alnome ‘calcolatore’ si aggiunge, correttamente,l’attributo ‘elettronico’ le due ideenon sono mica poi tanto scorrelate: tuttisanno che i transistor che svolgono il lavorocomputazionale dentro un moderno calcolatoreelettronico sono costruiti con materialispeciali, i ‘semiconduttori’, il cui funzionamentoè profondamente basato propriosulle leggi della meccanica quantistica.”Osservazione vera solo a metà. È infattiperfettamente vero che un transistor funzionasolo in virtù di processi fisici governatiin ultima analisi dalla meccanica quantistica,ma d’altra parte è altrettanto veroche ogni transistor in un calcolatore elettronicoviene comandato da impulsi di correnteelettrica ‘macroscopici’, forniti cioèda un normalissimo alimentatore a correntecontinua che obbedisce alle leggi dell’elettromagnetismoclassico stabilite daJames Clerk Maxwell ben più di cento annifa. Dunque, il comportamento di un transistordal punto di vista dell’utente che pestanumeri e lettere sulla tastiera è perfettamentecomprensibile e prevedibile sullabase della fisica classica di fine ‘800.Per capirci, quando premete sulla tastiera iltasto con la lettera ‘k’, sullo schermo delvostro personal computer appare esattamenteil simbolo ‘k’ in maniera assolutamenteprevedibile, ripetibile e sicura (tantosicura che se questo evento, per caso, nondovesse succedere riportereste subito ilvostro personal computer al rivenditore,protestando con buona ragione). La lettera‘k’ appare, senza starsi a preoccupare delprincipio di indeterminazione o della complementarità[1] tra le variabili posizione evelocità del tasto ‘k’, né di posizione e velocitàdi tutti gli elettroni che fluiscono neicircuiti interni del calcolatore ... la vostrabrava lettera ‘k’ appare sullo schermo, precisae prevedibile, proprio nel punto chevoi richiedete. Non lasciatevi fuorviare. Lacombinazione di meccanica quantistica ecalcolatori che stiamo inseguendo in questoarticolo è, invece, legata in manieramolto più profonda al funzionamento deidispositivi elementari che svolgono le operazionidentro un calcolatore elettronico. Inparticolare, quello che ci domandiamo è see come la natura quantistica dei costituentifondamentali della materia, atomi, protoni,elettroni, possa interferire con il funzionamentodi un calcolatore elettronico quandole dimensioni dei suoi dispositivi, i transistor,diminuiscono fino ad approssimarsialla scala atomica, circa un decimo di milionesimodi metro, o 10 -10 (significa 10 elevatoalla potenza -10, ovvero 1 diviso per10 elevato alla potenza 10) metri.Ricordiamo che già oggi i transistor hannodimensioni dell’ordine di circa 10 -7 metri,solo mille volte maggiori del limite atomico,e tali dimensioni continuano a scenderea ritmo circa costante grazie alla tecnologiadi integrazione elettronica sempre piùspinta.Dunque, armati solo di alcune elementarissimenozioni di meccanica quantistica, facciamoun potente salto concettuale e proviamoad immaginare un calcolatore i cui componentielementari siano delle dimensionidi un singolo atomo. Un calcolatore la cuimemoria sia enormemente grande, esponenzialmente[2] più estesa della sua realedimensione fisica in megabytes. Un calcolatoreche possa lavorare in parallelo su un setdi dati anch’esso esponenzialmente grande.Un calcolatore che svolga le sue operazioninon nell’ordinario spazio euclideo tridimensionale,quello nel quale noi continuiamo aschiacciare i tasti della sua tastiera, ma inuno spazio surreale e iper-reale, lo spazio diHilbert, che comprende tutte le possibili58 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEfunzioni matematiche che si possono costruirea partire dalle variabili che definisconolo stato dei suoi dati.Quello che stiamo immaginando è un calcolatorequantistico.I misteri della funzione d’ondaL'idea di un calcolatore quantistico è semplice,sebbene la sua realizzazione praticanon lo sia altrettanto. Ragionando per analogia,cominciamo col ricordare che in uncalcolatore ordinario tutte le cifre binarie, obit, di un numero scritto in un registro dimemoria hanno un valore (“stato”) ben definito,0 oppure 1, a ciascun istante neltempo: ad esempio 01100101 per un registrodi memoria ad 8 bit.In un calcolatore quantistico, invece, diremmoche lo stato di quel certo registro è descrittoda una “funzione d’onda” Ψ dei diversistati 0 e 1 dei singoli bit, e scriveremmouna formula matematica del tipo:| Ψ > = a 1 | 01100101> + a 2 | 11101011>+ a 3 | 01010001> + ...Quella che abbiamo appena scritto è unaespressione del cosiddetto ‘principio di sovrapposizione’della meccanica quantistica.Tale fondamentale principio affermache la descrizione più completa possibiledi un sistema che ammette tanti stati diversiè data da una funzione matematica (appuntola funzione d’onda Ψ) che descrive lacombinazione, o sovrapposizione, di tuttiquesti stati. La formula dice quindi che tuttele possibili combinazioni di 0 e 1 degli ottobit che costituiscono il registro sono presentinella Ψ moltiplicate per dei numeri, ingenerale complessi, a 1 ,a 2 ,a 3 , ... (la scrittura‘...’ in matematica vuol dire ‘eccetera’).Questo vuol dire che se vi chiedete qual èil valore del terzo bit nel vostro registro ad8 bit non è possibile semplicemente andarloa guardare e vedere se segna 0 o 1. Ilsuo valore è contenuto nella funzione d’ondain maniera complicata, mescolato contemporaneamentea quello degli altri settebit. Per di più questo valore non è ‘semplicemente’mescolato. La descrizione quantisticadelle condizioni di un sistema medianteuna funzione d’onda ci costringe apassare dal dominio delle certezze e dellaprevedibilità del mondo macroscopico all’apparentecaos di incertezza ed imprecisionedel mondo atomico. Secondo le regoledella meccanica quantistica, le possibilicombinazioni di bit, scritte nella formulaprecedente con la simbologia | ... >, rappresentanouna descrizione completa(cioè una “base”) di tutti gli stati possibilidel registro considerato. Ed un’altra particolarefunzione matematica costruita a partiredalla funzione d’onda, cioè il suo moduloelevato al quadrato – che si indicaconvenzionalmente con il simbolo |Ψ| 2 –descrive la probabilità complessiva di trovareil registro in uno qualsiasi dei suoipossibili stati. Corrispondentemente aquesta definizione, in meccanica quantisticapossiamo misurare soltanto la probabilitàche l’intero registro si trovi proprio in uncerto stato ben definito, ad esempio01100101: questa probabilità è uguale alvalore numerico |a 1 | 2 , cioè il modulo elevatoal quadrato del corrispondente coefficientedella funzione d’onda. Se la cosa viappare troppo difficile, per ora concentratevisoltanto su questo concetto fondamentale:dobbiamo rinunciare all’idea che ognisingolo bit del registro abbia in ogni istanteun valore ben preciso e dobbiamo invececonvivere con l’idea che il registro nel suocomplesso sia descritto da una particolaresequenza di 0 e 1 solo con una certa probabilità.Questo fatto si chiama ‘inviluppo’(o entanglement) della funzione d’ondacomplessiva di più oggetti elementari.Come stiamo appena cominciando ad intravvedere,un calcolatore quantistico sibasa proprio sui concetti di probabilità edindeterminazione tipici della meccanicaquantistica. Però il descrivere probabilisticamentelo stato di un calcolatore quantisticonon ha a che fare con le incertezze e leprobabilità della vita di tutti i giorni. AdENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0359

STUDI & RICERCHEesempio, se la nostra banca disponesse diun calcolatore quantistico per svolgere lesue operazioni non dovremmo necessariamenteaspettarci di trovare ogni tanto, conuna certa probabilità, il doppio dei quattrininel nostro estratto conto. In quanto numericomplessi, i coefficienti a 1 ,a 2 , ... sonocaratterizzati da un ‘modulo’ e da una ‘fase’(un po’ come la freccia di un cartello stradaleè caratterizzata da una lunghezza e dauna direzione). Proprio le fasi dei coefficientihanno un significato fisico particolarmenteinteressante: esse infatti possono descriverefenomeni di interferenza tra statidiversi nel nostro calcolatore, molto similiagli ordinari fenomeni di interferenza otticatra onde luminose che danno luogo, adesempio, agli affascinanti colori cangiantisulla superficie delle bolle di sapone. L’usodi tali fenomeni, puramente quantistici, diinterferenza ‘numerica’ (anzichè ottica) risultaessere un modo di svolgere calcoliestremamente efficiente, assai più efficientedelle normali operazioni di addizione omoltiplicazione che tutti conosciamo.Secondo la meccanica quantistica, la funzioned’onda Ψ dichiara che ogni registrodel calcolatore quantistico esiste simultaneamentein tutti i suoi possibili stati finchènon viene effettuata una misura del contenutodel registro: solo quando operiamocon un processo fisico di misura osserviamoun particolare stato k, ad esempio il solito01100101, con probabilità|a k | 2 . Le proprietà“esponenziali” del calcolatore quantisticoprovengono proprio da questa esistenzasimultanea di tutti i possibili stati deisuoi registri. Abbiamo accennato precedentementeche il calcolatore quantisticoopera in una spazio particolare, lo spaziodelle funzioni matematiche (ad esempio ilmodulo, la retta, la parabola, ...) costruibilicon tutti i suoi stati; tale spazio è detto spaziodi Hilbert. Così come il nostro spazioeuclideo ha tre dimensioni (la larghezza,l’altezza e la profondità), il numero di dimensionidello spazio di Hilbert per un sistema(il calcolatore quantistico) compostodi N variabili (i registri di memoria) a 2stati (lo 0 e lo 1) è pari a 2 N , cioè aumentaesponenzialmente all’aumentare di N. In uncalcolatore convenzionale, un chip di memoriaRAM da 1 kbyte può immagazzinaresolo 8 mila bit in forma di numeri 0 o 1 (unbyte è pari ad 8 bit), mentre un calcolatorequantistico che disponga anch’esso di 1kbyte è in grado di immagazzinare unaquantità di informazione pari a tutti gli statidegli 8 mila bit che riempono il suo spaziodi Hilbert, cioè 2 8000 , un numero inimmaginabilmenteenorme, che potremmo approssimarecome dieci seguito da duemilaquattrocentozeri!Ed il parallelismo, per quanto detto appenasopra, viene gratis. Un calcolatore convenzionaleè sempre costretto ad eseguire lesue computazioni sequenzialmente: adesempio, l’operazione X=3+5 viene eseguitaponendo anzitutto il numero 3 in unregistro temporaneo, poi il numero 5 in unaltro registro temporaneo, spostando quindiil contenuto del primo registro nel registrodella X e sommandoci infine il contenutodel secondo registro. Se, poi, tale operazioneva compiuta per tanti registri di Xdiverse, nei quali debbono ad esempio esseresommate altrettante coppie di numeriinteri N ed M, come X=N+M, il calcolatoredovrà eseguire in sequenza tante volte lastessa procedura descritta quante sono lecoppie di registri per le quali la computazioneva effettuata. Se ciascuna computazioneprende una certa quantità di tempoelementare, il tempo totale necessario saràdunque dato dal prodotto del tempo elementareper il numero dei registri contenentile varie X da calcolare. In un calcolatorequantistico, invece, ogni variazionedello stato di un registro si ripercuote simultaneamentesu tutte le possibili funzioninello spazio di Hilbert che dipendono dallostato di quel registro (ricordate, la formuladella funzione d’onda scritta sopra contienesimultaneamente tutte le possibili combinazionidegli stati di un registro: variarela funzione d’onda del registro significa va-60 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEriare simultaneamente il contributo di tuttequeste possibili combinazioni). Quindi leoperazioni come la X=N+M sopra descrittaverranno compiute simultaneamente (inparallelo) per tutti i registri interessati, in unsolo intervallo di tempo elementare.Questo rivoluzionario modo di svolgerecalcoli ed ottenere risultati in parallelo sututti i possibili stati quantici di un registrocostituisce l’essenza della “computazionequantistica” (o quantum computing).La computazione quantisticaBisogna innanzitutto notare una cosa. Oggi,a circa 15 anni di distanza dall’idea iniziale,sulla computazione quantistica si sa teoricamentegià tutto. Ogni anno si svolgononel mondo diversi convegni specialistici,popolati da numerosi scienziati, più chealtro matematici, in grado di descrivereteoricamente computazioni estremamentecomplesse svolte sui cosiddetti qubits(quantum bits), che parlano comunementedi concetti tipo entanglement, decoerenza,teletrasporto, compressione dei dati, codificasuperdensa, correzione degli errori.Sfortunatamente, però, non è stato ancorapossibile fabbricare un solo reale circuitologico operante sui qubits in maniera stabilee riproducibile, e lo stesso concetto diqubit è difficile da tradurre in una qualchegrandezza fisica affidabile e misurabile.“Ehi!” starà dicendo adesso qualche lettore,“ma questo qui ci vuol prendere in giro.Sta parlando di un calcolatore che fa mirabilia,che calcola quantità impressionanti dinumeri a velocità strabiliante, ma che ha unsolo difetto: non esiste!”. In effetti, a tutt’oggiesistono solo alcuni esperimenti di fisicaatomica, estremamente complessi e raffinati,fatti su sistemi composti da due atomio due quanti di luce (fotoni), cioè su spazidi Hilbert con appena 2 2 =4 stati. E l’intero‘circuito logico’ che lavora con questi duequbits occupa lo spazio di una stanza di laboratorio!Si direbbe che c’è ancora molta,molta strada da fare ... Ma ricordatevi cheall’inizio degli anni 50 il calcolatore ENIACoccupava un intero edificio, mentre il computerportatile che trent’anni dopo avetenella vostra borsa è circa un milione divolte più piccolo e circa un miliardo divolte più potente del mostruoso ENIAC.Vedremo alla fine di questo articolo alcunedelle strade oggi ipotizzate per costruiredispositivi in grado di svolgere operazionisui qubits. Ma, per il momento, continuiamoad occuparci della teoria.Stando alle cronache, tutta la storia dellacomputazione quantistica sarebbe cominciataintorno alla metà degli anni 80 da unadiscussione tra Charles Bennett ed un personaggiomolto amato e compianto anchedal pubblico non specialista, il premioNobel per la fisica Richard Paul Feynman.Bennett, allora all’IBM di Yorktown Heightsin California, stava studiando il problemadella “termodinamica della computazione”,cioè i fenomeni legati alla produzionedi entropia e dissipazione di energia [3]nelle operazioni elementari svolte sia daiveri e propri dispositivi elettronici che daaltri dispositivi di calcolo più generali,idealizzati. Tali problemi erano e sono digrande interesse, poichè uno dei principalilimiti pratici alla potenza dei calcolatori èproprio legato alla dissipazione di energiae al surriscaldamento dei circuiti elettronici.Feynman afferma che Bennett, duranteuna discussione su tali argomenti, gli avevasuggerito di pensare, in qualità di espertodi meccanica quantistica, alle eventuali limitazioniposte dal principio di indeterminazionenei suoi problemi di termodinamicadel calcolo. Sull’onda di questo suggerimento,Feynman (che era un tipo estremamentecurioso e non si faceva spaventaredalle difficoltà scientifiche di nessun genere)svolse un bellissimo studio di principio,prontamente pubblicato in Optics News delfebbraio 1985. Cercando di rispondere aBennett, egli pensò ad una macchina idealecomposta da elementi operativi quantisticiper la quale definì una particolareclasse di funzioni matematiche dette hamil-ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0361

STUDI & RICERCHEtoniane [4] che ne potessero permetterel’impiego come “calcolatore”.Il suo primo pensiero fu che le leggi dellameccanica quantistica (come pure quelledella meccanica classica, dell’elettromagnetismoo della gravità) sono reversibilinel tempo, cioè i fenomeni che esse descrivonoavvengono allo stesso modo sel’orologio del laboratorio si muove in avanti,verso il futuro, o all’indietro, verso il passato.Una macchina da calcolo quantisticadovrebbe quindi operare in maniera completamentereversibile.Ma in termodinamica il concetto di macchinareversibile è sinonimo di operazioni idealidi trasformazione di energia, che avvengonocioè senza dissipare alcuna quantità dicalore e con aumento di entropia nullo. Enessuna macchina termica reale è in gradodi operare in maniera completamente reversibile,poichè il mondo reale contiene atutti i livelli diversi gradi di irreversibilità (sipensi, ad esempio, all’attrito presente in manieraineliminabile in un qualsiasi dispositivomeccanico). Il che è solo un altro mododi dire, secondo il secondo principio dellatermodinamica, che il calore può passaresolo da un corpo più caldo ad uno più freddo,o che non esiste in natura alcuna formadi perpetuum mobile. Il massimo che si riescead ottenere nella pratica è una macchinain grado di compiere trasformazioni cosidetteadiabatiche, nelle quali lo stato del sistemavaria in maniera impercettibile tra unistante e l’altro e la dissipazione di energia èquindi ridotta al livello minimo consentitodalla termodinamica. Fu proprio sfruttandoin maniera estremamente originale ed intelligenteil concetto di macchina adiabaticache il grande Rick Feynman risolse il problemadal punto di vista teorico, gettando lebasi di tutti gli sviluppi successivi della teoriadella computazione quantistica.Ma quanto è grande un numero?Secondo la moderna scienza dei calcolatori,un “calcolatore universale” può esserecostruito da una rete, complessa a piacere,fatta di un numero, grande a piacere, di elementiprimitivi interconnessi. In un calcolatoreconvenzionale tale rete sarebbe costituitada un insieme di fili elettrici che trasportanoda un elemento primitivo all'altroi due voltaggi standard che rappresentanolo 0 e lo 1, ad esempio –5 e +5 Volt. Gli elementiprimitivi che connettono tra loro i registridevono essere quelli della logicabooleana, cioè AND, OR e NOT. Tali elementiprimitivi sono in grado di fornire unarisposta (cioè un certo valore di voltaggioin uscita) in funzione dello stato dei registriin ingresso. Ad esempio, un elemento ANDdà una risposta positiva (voltaggio “alto”,ovvero +5 Volt, ovvero 1) solo se il valore ditutti i registri in ingresso è positivo; l’elementoOR invece dà un valore positivo sealmeno uno dei registri è positivo; NOT trasformaun ingresso positivo in una uscitanegativa o viceversa. Con l’aiuto di sempliciteoremi di teoria della computazione sipuò far vedere che in realtà bastano solodue elementi primitivi combinati, ad esempioAND e XOR (OR esclusivo, positivo seuno e uno solo degli ingressi è positivo),oppure NAND (somma di NOT e AND) eOR, per compiere qualsiasi operazione logicanelle computazioni abitualmente svoltedai calcolatori convenzionali (compresiquelli che quasi ognuno di noi ha sul suotavolo).Per amor di completezza, notiamo che pergli scopi della computazione quantisticabisogna anche considerare il “filo” in uncerto livello di dettaglio, poichè un calcolatorequantistico potrebbe non avere affattofili ma, ad esempio, impulsi di luce cherimbalzano tra due molecole. Ci si accorgeràallora che abbiamo in realtà bisognodi altre due primitive logiche, chiamate rispettivamenteFANOUT (due fili legati aduno solo) e EXCHANGE (due fili collegatiin croce). Ma questo non cambia l’essenzadel ragionamento che stiamo facendo.Nell’unità centrale di un calcolatore convenzionale(la famosa CPU, o central pro-62 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEcessing unit) ognuno degli elementi primitivibooleani è realizzato mediante combinazionedi un certo numero di transistor, unamezza dozzina o giù di lì. E in una CPUsono presenti centinaia di migliaia di elementilogici primitivi (i gates), per un totaledi parecchi milioni di transistor, raggruppatied organizzati secondo un ordine benpreciso predisposto dagli ingegneri chehanno progettato il chip di silicio contenentela CPU.Ma quanto è grande un numero? Qualcunopenserà che questa è una domanda sciocca,e che un numero è ovviamente grande... quanto il numero stesso. Cioè, il numeromille è proprio mille, ed è ovviamente piùgrande del numero centoventisette. Seperò come ‘lunghezza di un numero’ definissimo,ad esempio, la quantità di letterenecessaria per scriverlo in italiano (oanche in inglese), il numero centoventisettesarebbe più grande del numero mille. Nonvi sto di nuovo prendendo in giro. La ‘lunghezzadi un numero’ è un concetto moltoserio che sta, tra l’altro, alla base della teoriadell’informazione. Numeri che definisconoquantità estremamente grandi oestremamente precise (cioè che richiedonoun elevato numero di cifre decimali)possono essere spesso codificati in manieramolto più compatta, che non stupidamenteenumerando tutte le cifre che licompongono. Anche perchè queste potrebberoessere infinite... Ad esempio, perdefinire il numero periodico 1,333333....fatto da una cifra 1 seguita da una quantitàinfinita di cifre 3, basta convenzionalmentescrivere un trattino sopra una sola cifra 3,cioè 1,3 – . Oppure si può scriverlo in formarazionale, cioè come un rapporto di altridue numeri più ‘semplici’, cioè 4/3. Conpochissimi simboli, quindi, possiamo codificareuna quantità di cifre teoricamente infinitasenza perderne il significato. Esisteperò una categoria di numeri, identificatadal matematico russo Gregory Chaitin, cheè ‘incomprimibile’, cioè che occupa unalunghezza pari alla quantità di cifre che definisconoil numero stesso. Il prototipo ditali numeri è il cosiddetto numero ‘omegadi Chaitin’, che è inoltre un numero realecioè non scrivibile come il rapporto di duenumeri interi. Un tale numero ha una quantitàinfinita di cifre, come qualsiasi numeroreale, ma non lo si può scrivere in altromodo che elencando tutte le sue cifre unadietro l’altra!Per un calcolatore elettronico questo è uncompito in linea di principio impossibile.Nei registri dei calcolatori si possono scrivere,infatti, soltanto numeri di lunghezzaben definita, e se un numero ha più cifre significativedi quante ne permetta il registro...beh, bisogna ‘troncarlo’, cioè scriverloin maniera approssimata. E questo èvero per tutti i numeri reali, non solo per inumeri di Chaitin. Ad esempio, il simbolo"pi greco" indica un numero reale con infinitecifre, le cui prime sono come è noto3,1415926539.... Questo non è un numerodi Chaitin: possiamo darne infatti una assaiconcisa definizione geometrica lunga appenadodici parole italiane, cioè “il rapportotra la lunghezza di una circonferenza e ilsuo diametro”, oppure una ancor più sinteticadefinizione trigonometrica (che oltretuttoè valida in qualsiasi lingua terrestre enon soltanto in italiano) come 4•arccos(1)che tradotta in italiano suona: “quattro voltela misura in radianti dell’arco il cui cosenovale uno”. Peraltro, in uno dei nostri moderni,potentissimi calcolatori non possiamofar altro che scrivere il nostro π in formaapprossimata, ad esempio fermandoci allesue prime otto cifre significative 3,1415926.Questa è dunque la grandezza dei numeriche abbiamo in mente? Otto cifre allavolta? No, anche questa volta non lasciatevifuorviare dai pur affascinanti argomentidella teoria dell’informazione.Ci stiamo chiedendo, invece: qual è la dimensionefisica di un bit in un calcolatoreelettronico convenzionale? Questa dimensioneci servirà, alla fine, per scoprirequanto calore dissipa un calcolatore perogni operazione svolta. Vediamo di trovar-ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0363

STUDI & RICERCHEne una stima approssimata. Secondo numeriabbastanza recenti, un chip di tipoCMOS (la tecnologia più recente, che permettedi fabbricare delle CPU molto compattepartendo da materiali fatti a strati disemiconduttori ed ossidi metallici) delledimensioni lineari di qualche centimetro,contiene circa un miliardo di transistor percm 2 . Facendo un conticino a spanne, in uncm 2 possiamo mettere oltre 10 16 atomi,quindi ogni transistor è fatto da almeno 10 8atomi. Cioè, dal nostro punto di vista, unnumero binario come 0 o 1 è ‘grande’ circaqualche centinaio di milioni di atomi.Questo valore torna abbastanza bene conla stima sperimentale della minima quantitàdi energia che bisogna dissipare peroperare su un bit, che è dell’ordine di 10 9unità k B T [5] per operazione. Cioè ogniatomo consuma all’incirca una unità k B T dienergia mentre il transistor svolge la suaoperazione sulla cifra binaria assegnatagli.Abbiamo così trovato la dimensione fisicadi un numero come viene immagazzinatonel registro di memoria di un calcolatore.In apparenza tale dimensione sembra,come abbiamo detto, ragionevole. E altrettantoragionevole sembra la quantità ingegneristicaad esso collegata, la stima delcalore dissipato per cambiare di valorequesto numero ‘fisico’, ad esempio da 0 a1. D’altra parte, la stima di principio di questastessa quantità di calore per un calcolatoreideale è invece ridicolmente piùbassa.Vediamo un po’ come si ottiene questastima teorica. Se cambiamo ‘adiabaticamente’lo stato di un bit con una operazioneAND, il nuovo valore dello stato sarà uno deidue valori possibili 0 o 1, indipendentementeda quello che era prima. Quindi secondola termodinamica la variazione dienergia interna sarà nulla (i due stati sonoperfettamente equivalenti), mentre la variazionedi entropia sarà di log2 unità. In terminidi dissipazione di calore avremmoquindi una quantità pari a k B T log2 unità, sela trasformazione avviene alla temperaturaT, cioè circa 0,69 k B T: un valore un miliardodi volte inferiore del 10 9 k B T trovato per uncalcolatore elettronico reale.Questo ragionamento era stato già fatto dalmatematico Rolf Landauer nel 1961, ed èquindi noto come “principio di Landauer”.Per molto tempo questo valore era stato ritenutoun limite inferiore assoluto, ottenutosulla base di criteri rigorosamente termodinamici,per la dissipazione di calore inuna operazione elementare di calcolo. Inaltre parole nessun calcolatore, reale oideale, può consumare meno di 0,69 k B Tunità di energia per svolgere anche il piùelementare dei calcoli.Perché un calcolatore dissipaenergia (e produce entropia...)Ma la questione sembra del tutto accademica,poiché abbiamo appena detto cheun calcolatore vero dissipa circa 10 9 k B Tper ogni operazione elementare, un numeroenormemente più grande: per questonelle macchine del mondo reale siamocosì preoccupati della dissipazione di calore!Bennett si accorse che questa enormediscrepanza è dovuta al modo operativopiuttosto brutale che viene usato nei calcolatoriper cambiare il valore di un bit. Infatti,in un calcolatore convenzionale per cambiareil voltaggio di un transistor (cioè passareda 0 a 1 o viceversa) questo viene“scaricato a terra”, facendo passare dellacorrente elettrica (cioè un flusso di elettroni)attraverso una resistenza (una specie disetaccio che fa perdere gradualmenteenergia agli elettroni); e per riportare il voltaggioal valore iniziale dobbiamo di nuovofar passare la stessa quantità di corrente attraversola medesima resistenza. Un taleprocesso è altamente dissipativo poichècoinvolge il flusso di un enorme numero dielettroni lungo il filo metallico conduttore egli elettroni, nel condurre elettricità da unpunto all’altro del filo, sprecano quasi tuttala loro energia in calore riscaldando il filo(notiamo, di passaggio, che una delle stradeper miniaturizzare l’elettronica digitale64 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEè il tentativo di costruire dei transistor a“singolo elettrone”, cioè di dispositivi incui il passaggio di un solo elettrone permettedi cambiare lo stato del sistema. Diquesti processi, che vanno sotto il nome di“elettronica molecolare”, magari parleremoun’altra volta...). La dissipazione dienergia nel filo potrebbe essere fortementeridotta se, ad esempio, la corrente dascaricare a terra potesse invece venire immagazzinatain una induttanza (una speciedi circuito elettrico di parcheggio) per poivenire restituita al successivo cambiamentodi stato. Tecnicamente però questa soluzioneè di fatto impraticabile per una seriedi complicate motivazioni tecniche, tantoche addirittura nelle macchine da calcolo“naturali” come il DNA si stima che l’operazionedi copiatura di un singolo bit (rappresentatoin questo caso una singola baseproteica) da un punto all’altro della sequenzagenetica dissipi una quantità dienergia pari a circa 100 unità k B T, anchequesta assai maggiore del limite teorico diLandauer. Neanche la Natura è riuscita adottimizzare le risorse energetiche...Dobbiamo dunque tenerci le nostre resistenzee rassegnarci a sprecare ogni voltaun sacco di energia termica.Ma se, allora, siamo già decine di miliardidi volte lontani dal valore ideale diLandauer k B T log2 può sembrare del tuttoridicolo starsi a chiedere se questo valoreè davvero il limite inferiore o se questo limitenon possa essere praticamente consideratouguale a zero. Questo problemaperò era fondamentale per Feynman, cheaveva in mente processi di computazionecompletamente reversibili da poter poi trasferirenell’ambito del suo ideale calcolatorequantistico. Per Feynman lo zero dovevaessere veramente zero, non bastava chefosse un numero ridicolmente piccolo.Feynman arrivò in effetti a formulare la teoriadi un procedimento completamente reversibile(descritta sinteticamente nel riquadro“Calcoli quantistici termodinamicamentereversibili).Feynman poteva così concludere il suo lavoro(puramente teorico) del 1985 in manieraabbastanza trionfalistica, affermandotestualmente che “sembra che le leggidella fisica non presentino alcuna realebarriera nel ridurre le dimensioni dei calcolatori,fino ad avere bit della dimensionedi un singolo atomo dove il comportamentoquantistico dominerà”. In un certosenso, questa era la sua brillantissima rispostaagli amletici dubbi del suo amicoCharles Bennett. E questo sembrerebbeessere il futuro che attende dietro l’angoloanche i nostri calcolatori, mentre le dimensionifisiche dei singoli elementi attivi, itransistor di oggi, continuano a diminuire,arrivando pericolosamente a sfiorare il limiteatomico.Complesso come un polinomio ...o di più?Un punto importante che il pur esaurienteFeynman non aveva toccato nel suo studioteorico riguarda un fatto di cui si accorsemolto presto David Deutsch, un brillantematematico di Cambridge: un calcolatorequantistico può affrontare calcoli moltocomplessi in maniera estremamente efficientecon un uso “scaltro” della meccanicaquantistica, realizzando cioè computazioniche sfruttino l’interferenza costruttivatra le funzioni d’onda dei vari registri. Ma“quanto” complessi? Deutsch capì che lacomputazione quantistica era in grado diabbattere uno dei pilastri fondanti dellascienza della computabilità, quello secondocui esiste una unica definizione dellacomplessità computazionale per ciascunproblema matematico (vedi riquadro“Turing e la computibilità”).Un famoso esempio di calcolo non-polinomialeè la fattorizzazione di un numero neisuoi fattori primi. Consideriamo il numeroN = 51688, il quale si fattorizza in 2 3 x 7 x13 x 71. Questo numero ha cinque cifre,per cui la lunghezza del dato di input è dell’ordinedi logN, la base del logaritmo es-ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0365

STUDI & RICERCHETuring e la computibilitàIl concetto di complessità di una computazione venne introdotto dal matematico inglese Alan Turingin un suo famoso lavoro del 1936. Sebbene né Turing né nessun altro a quel tempo avesse alcunaidea del se e come un vero computer avrebbe potuto funzionare nel futuro (Von Neumann ancoranon si era messo a pensare al problema), egli impiegò la suggestiva visione di una macchina immaginariaper il suo lavoro. Una “macchina di Turing” consiste di: un rotolo di carta, a tutti gli effetti dilunghezza infinita, suddiviso in cellette; una “testina” di scrittura (che potrebbe essere, indifferentemente,il cervello di Turing o il vostro cervello, o una calcolatrice tascabile, o anche un personalcomputer o chissà che altro) può scrivere un 1 quando trova uno 0 nella casella, può viceversa cancellareun 1 trasformandolo in 0, oppure può semplicemente leggere il contenuto della casella.Dopo aver compiuto una di queste tre operazioni, la testina può spostarsi di una cella a destra o a sinistra,oppure può fermarsi. Per ogni computazione matematica, secondo Turing, è possibile definireuna combinazione di regole (“spostati a destra”, “cancella il contenuto della cella”, “vai a sinistra”,“se trovi uno zero cambialo in uno” e così via...) che consentono alla testina di svolgere la computazionein un certo numero – magari lunghissimo, ma finito – di passi elementari. Un tale dispositivo,interamente ideale, è secondo Turing una macchina universale in grado di svolgere qualsiasi computazione,e quindi dovrebbe rappresentare il paradigma concettuale per qualsiasi macchina dacalcolo passata o futura.Il risultato straordinario di un tale procedimento astratto, che probabilmente lo stesso Turing inizialmentenon sospettava, è che la macchina di Turing è anche un paradigma universale per stabilireche cosa si può o non si può calcolare. Quando ci si mette a ragionare sull’essenza profonda dellecombinazioni di regole che definiscono una qualunque computazione nella macchina di Turing, ci siaccorge che i problemi computazionali (tutti i problemi del mondo!) sono divisi in due classi: i problemidi complessità cosidetta ‘polinomiale’ e gli altri, detti per converso ‘non polinomiali’. Un problemapolinomiale può essere risolto in un numero grande a piacere – ma comunque controllabile –di passi elementari; in particolare, quando la dimensione N dei dati da calcolare cresce, il numero dioperazioni che la macchina deve compiere (e quindi il tempo necessario) cresce anch’esso, con unalegge di potenza: ad esempio come il quadrato (N 2 ) o il cubo (N 3 ) o la quinta potenza (N 5 ) della dimensionedei dati, o anche come una combinazione di varie potenze. Cioè il numero di operazionipuò essere scritto come un polinomio la cui variabile incognita è la lunghezza dei dati da calcolare.Se invece il problema non cade in questa categoria esso è non polinomiale nel senso che, al cresceredella dimensione dei dati di partenza, il numero di operazioni cresce con rapidità irraggiungibile(esponenziale) ed il problema non può essere risolto in generale, ma solo quando le dimensioni deidati non sono troppo grandi. Inoltre, data la assoluta generalità della macchina di Turing, la rispostaalla domanda se un problema sia polinomiale o meno dovrebbe essere indipendente dai dettaglidell'apparato fisico usato per svolgere il calcolo, sia esso appunto un cervello umano, un regolomeccanico, una calcolatrice tascabile o un enorme supercalcolatore.di chiavi per crittografare messaggi ecombinazioni di casseforti o archivi, siareali che virtuali. Si tratta di procedimentidi calcolo piuttosto complessi e non ci interessaqui discuterli. Ci vogliamo solopreoccupare di quanto questi procedimentimatematici (algoritmi) siano complessinel senso di Turing, cioè quantosiano faticosi da calcolare al crescere delnumero di cifre del numero N del quale sicercano i fattori primi.Sui calcolatori convenzionali il miglior algoritmodi fattorizzazione conosciuto (P.Odlyzko, AT&T Laboratories, 1995) costa:O (exp [(64/9) 1/3 (logN) 1/3 (log logN) 2/3 ] )operazioni elementari al crescere di N.Questa scrittura, O(...), significa che al cresceredi N (il numero da fattorizzare) il numerodi operazioni elementari che un calcolatoredeve svolgere cresce almenocome l’esponenziale di logN (cioè il numerodi cifre di N) elevato, a sua volta, alla potenza1/3 e moltiplicato per qualche altroENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0367

STUDI & RICERCHEfattore meno importante. Quindi lo scalingè esponenziale rispetto al numero di cifredell’input. Non solo, dunque, l’algoritmonecessario per scomporre un numero infattori primi cresce in tempo non-polinomiale,ma cresce anche con la massima rapiditàmatematicamente possibile: si puòinfatti dimostrare che nessun algoritmo matematicopuò crescere più rapidamenteche in modo esponenziale.La legge di scaling ci dice come aumenta iltempo necessario per il calcolo, ma non cidice il tempo assoluto. Per conoscerlo bisognaavere un dato di riferimento. Eccoloqua. Nel 1994 un numero a 129 cifre, notocome RSA129, venne fattorizzato usandol’algoritmo di Odlyzko: il calcolo vennesvolto suddividendolo in parallelo su circa1600 potenti workstation sparse per ilmondo, impiegando un tempo di circa 8mesi. Basandosi sul calcolo di RSA129 perstimare il cosiddetto prefattore della leggedi scaling esponenziale, si trova che fattorizzareun numero di 250 cifre (di quelli,per intenderci, che si trovano in un tipicocodice di sicurezza bancario) richiederebbecirca 800.000 anni, mentre fattorizzareun numero di 1000 cifre richiederebbe nonmeno di 10 25 anni, cioè parecchi miliardi divolte l’età dell’universo! Sembra quindi cheil vostro conto bancario sia esponenzialmenteal sicuro...Ma tutto questo è vero per calcolatori cheseguono le leggi della fisica classica.Nel 1985 Deutsch (tra il singolare disinteressedelle principali banche mondiali) dimostròin maniera rigorosa che un calcolatorequantistico può risolvere in un tempopolinomiale problemi che sono non-polinomialisu qualsiasi macchina classica, propriosfruttando i concetti che abbiamosopra accennato di interferenza e parallelismo.E nel 1994 Peter Schor, traducendo inpratica il risultato teorico di Deutsch, presentòad un congresso internazionale dimatematica un nuovo algoritmo (detto perl’appunto “algoritmo di fattorizzazione diSchor”) per la fattorizzazione di numeri infattori primi secondo la logica di calcolodella computazione quantistica, capace discalare come:O ((logN) 2+e )dove e è un numero piccolo, dell’ordine di0,2 o 0,3. La scrittura O(...) in questo casosignifica il numero di operazioni che il calcolatorequantistico deve compiere al cresceredi N, cresce come logN elevato allapotenza 2+e , cioè lo scaling è stavolta polinomiale,un semplice polinomio di secondogrado o poco più, nella dimensione dell’input.Descrivere in poche parole l’algoritmo diSchor non è impresa semplice (e non latenterò certo qui) ma va sottolineato che daquando tale algoritmo è stato scoperto ilcalcolo quantistico ha cominciato ad esserpreso tremendamente sul serio da tutta lacomunità scientifica e dalle agenzie governativee ministeri preposti alla sovvenzionedelle attività di ricerca, i quali ormai destinanocrescenti quantità di denaro alle ricerchesulla computazione quantistica.Imperfetta, come una macchinaidealeDa un punto di vista tecnico, la macchinaideale di Feynman potrebbe essere realizzatain pratica costruendo un set di elementifisici quantistici (per il momento non meglioidentificati) i quali possano assumeredue diverse configurazioni definite e misurabili,corrispondenti ai due stati 0 e 1. Adesempio, una molecola con tutti gli elettroniallo stato fondamentale (lo stato 0) e la stessamolecola con un elettrone in un livelloenergetico eccitato (lo stato 1). Ogni operazionelogica è rappresentata da un operatorefisico (ad esempio, un impulso di un raggiolaser) che fa cambiare di stato l’elettronenella molecola, eccitandolo o diseccitandoloe facendo passare così la “molecolatransistor”dallo 0 allo 1 e viceversa.Come in tutti i sistemi fisici, in una macchinadel genere ci saranno necessariamente68 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEdelle imperfezioni (ricordiamo, non esistonoin natura macchine termiche ideali). Adesempio, una prima sorgente di imperfezionepotrebbe essere costituita dalla disomogeneitàdei coefficienti di accoppiamentoda un punto all'altro della catena dielementi fisici. Se gli elementi sono, adesempio, atomi depositati su un substratosolido irregolare, tale disomogeneità è costituitada difetti strutturali della superficiee provoca una certa differenza tra le vibrazionitermiche degli atomi: propagare uncerto stato, ad esempio la condizione di 0,da un atomo all'altro sarebbe allora equivalentea far muovere un elettrone lungo unfilo metallico conduttore, e l'equivalentedella resistenza elettrica sarebbe una certacasualità nella probabilità di collisione.È degno di nota, a questo proposito, che ilprincipio di indeterminazione di Heisenbergdi per sè non costituisce una limitazionealla capacità operativa di una talemacchina. Nel senso che, non essendo assegnatoun tempo definito entro cui realizzareil calcolo, il completamento di unacomputazione ha una estensione temporaleprobabilistica, indipendente dal numerodi passi elementari. Tutte le questioni associateal principio di Heisenberg sono, invece,legate all’indeterminazione sulla preparazionedello stato iniziale (registro diinput) e alla misurazione dello stato finale(registro di output), entrambe operazioniche richiedono la capacità di misurare velocitàe posizione di elementi fisici quantistici.Come abbiamo detto (vedi [1] ), per sistemiche obbediscono alla meccanicaquantistica non è possibile specificare simultaneamentecon precisione assolutaposizione e velocità, quindi non saremomai in grado di definire con precisione assolutal’energia iniziale di ogni singolo elementoposto in un punto preciso della catena.Il principio di indeterminazione ci impediscedi conoscere con precisione assolutal’input e l’output del calcolatore quantistico,tutto quello che possiamo ottenere èdi avere una ragionevole probabilità cheinput e output coincidano con quello chevogliamo. (“Signor Rossi, il suo conto inbanca contiene molto probabilmente undebito di ...”.) Inoltre nella macchina diFeynman esisterebbero termini di accoppiamentodebole tra gli elementi che costituisconoi registri, cioè ci sarebbero deitermini aggiuntivi (spuri) nella funzione hamiltoniana,oltre quelli che vengono consideratiesplicitamente per svolgere la computazione.Insomma, una tale macchina sarebbeun oggetto molto delicato, in cui lapreparazione dello stato iniziale, in particolare,richiederebbe una bella dose di abilitàda parte dei fisici sperimentali prepostial suo funzionamento.In generale, il tempo necessario per svolgereuna computazione sarà determinatodall'intensità dell’accoppiamento tra elementoed elemento, così come descrittonella funzione hamiltoniana della catena.Siccome i tempi legati alla variazione diuno stato in un atomo o una molecola (adesempio, il tempo necessario per portareun elettrone allo stato eccitato) sono estremamenterapidi, le singole operazioni in uncalcolatore quantistico avvengono moltorapidamente. Se ciascun termine dell’hamiltonianafosse, ad esempio, dell’ordine di10 -13 erg, dalla famosa relazione di indeterminazionedi Heisenberg si ottiene che iltempo minimo di calcolo è dell’ordine di10 -15 secondi per operazione. Peraltro, giàsecondo Feynman questo valore non rappresentavaun terribile miglioramento rispettoai tempi di commutazione tipici dell’elettronicadigitale del 1985, all’epocafermi a circa10 -10 secondi (tali limiti sonoormai ampiamente superati). Centomilavolte più veloce, forse meno. Molto, ma nonmoltissimo, certo, rispetto allo sforzo necessarioper costruire una tale macchina...Ma il problema principale del funzionamentodi un calcolatore quantistico è legato,ancora una volta, al concetto di reversibilità.In effetti, alcuni dei lettori che non conosconola fisica potrebbero essersi chiesti,leggendo le pagine precedenti: “Se leENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0369

STUDI & RICERCHEleggi della fisica, e in particolare quelledella meccanica quantistica, sono perfettamentereversibili rispetto al tempo comehai detto, com’è che il mondo macroscopicoè invece assolutamente irreversibile?Come mai un organismo biologico può invecchiarema non ringiovanire, un vasorotto in mille cocci non può tornare intero,una miscela grigiastra di acqua e inchiostronon può separarsi spontaneamente inacqua limpida e inchiostro nero?” Il problemadella generazione dell’irreversibilità apartire da leggi matematicamente reversibiliè forse uno dei più centrali della fisicamoderna e mantiene ben occupati numerosicervelli da oltre un secolo, da quandocioè Ludwig Boltzmann per primo formalizzòi concetti di entropia e irreversibilità.Non saremo certo noi a risolvere tale problemain questo nostro racconto, ma diciamoalmeno che una delle strade oggi piùpromettenti per riconciliare reversibilitàmicroscopica e irreversibilità macroscopicasembra essere il concetto di “decoerenza”.Tale concetto è un altro elemento fondamentaledella descrizione quantisticadella natura.Quello che si intende in meccanica quantisticaper decoerenza è che lo stato di sovrapposizionepura, descritto dalla funzioned’onda di un certo sistema, non dura indefinitamentema permane solo per uncerto tempo, cioè finchè il sistema quantisticonon comincia ad interagire con ilmondo circostante. Quando tale interazionesi manifesta, lo stato puro decade (cioèinizia a degradarsi) e come si usa dire tecnicamente‘perde coerenza’. L’interazionecol mondo circostante è ineliminabile,come ci dice la seconda legge della termodinamica[3] , e descrive l’irruzione dell’irreversibilitànel mondo altrimenti perfettamentesimmetrico e reversibile della fisicaatomica e molecolare. Il tempo di decoerenzadipende dal tipo di interazionetra gli elementi quantistici del sistema, edefinisce il ‘tempo di vita’ di un sistemaquantistico per cui vale la perfetta sovrapposizionetra tutti i suoi stati così come descrittadalla funzione d’onda. In pratica, uncalcolatore quantistico è veramente reversibilesolo per un tempo pari al tempo didecoerenza del processo fisico sul qualeesso si basa per svolgere le sue computazionisui qubits. I tempi di decoerenza misuratiper alcuni processi fisici di potenzialeinteresse per la computazione quantistica,come la risonanza magnetica di spinnucleare (NMR), la risonanza paramagneticadi spin elettronico, la trappola ionica, lamicrocavità ottica, l’effetto Mossbauer ealtri, variano moltissimo, tra un decimo dimiliardesimo di secondo fino a qualche migliaiodi secondi per la NMR. Non è peròtanto importante la velocità assoluta con laquale il calcolatore quantistico sa calcolare,ma quanti calcoli può svolgere durante ilsuo tempo di decoerenza, prima cioè chelo stato iniziale preparato nel registro diinput decada in un rumore numerico indistinto.Consideriamo il tempo di decoerenzadi ciascun processo diviso per l’energiacoinvolta nella transizione quantistica (adesempio, il cambiamento da 0 a 1) divisaper la costante di Planck: tale quantità rappresentail numero di transizioni elementaripossibili durante un tempo di decoerenza,cioè il massimo numero di ‘calcoli’ che ilcalcolatore quantistico può svolgere. Per iprocessi fisici considerati fino ad oggi,questo numero varia tra circa mille e un miliardodi operazioni. In pratica, questo nonè un dato molto interessante, poichè unqualsiasi programma di calcolo moderno,ad esempio la simulazione ad elementi finitidi un giunto cardanico, richiede parecchimiliardi di calcoli in virgola mobile.Bisogna quindi cercare di estendere almassimo il tempo di coerenza.Dalla teoria alla pratica, adelantecon judicio...Da un punto di vista tecnico, la macchinaideale di Feynman potrebbe essere realizzatain pratica cercando di sfruttare le più70 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEmoderne tecnologie sviluppate per alcunicomplessi esperimenti di fisica atomica.Proverò a descrivere i tratti salienti di tre diversiesempi sperando che, pur senza nessunapretesa di completezza, questa brevedescrizione serva a far cogliere almenol’eccezionale complessità ed originalitàdelle soluzioni, pur nella necessaria limitazionedei (difficilmente comprensibili) dettaglitecnici.Un primo esempio è la “trappola ionica”. Inesperimenti realizzati all’Università delColorado, è stato possibile intrappolare unsingolo ione (un atomo carico di elettricitàpositiva) di berillio all’interno di una piccolaregione di spazio delimitata da intensicampi elettrici oscillanti.Con una combinazione di ulteriori campielettrici e di fasci laser, lo ione intrappolatopuò essere rallentato fino quasi a fermarlo,compatibilmente con i limiti imposti dalquantistico principio di indeterminazione. Idue elettroni rimasti intorno allo ione risultanosensibili a particolari impulsi laser,che possono spostarli da uno stato energeticoad un altro con una modalità ben controllabile.Ogni volta che un impulso laserinduce la transizione di un elettrone, lo ionevibra leggermente nella sua trappola elettrica.Le vibrazioni dello ione sono strettamenteaccoppiate con la transizione dell’elettrone,in una unica funzione d’onda. Ogniione così intrappolato, con i due elettroniche possono passare tra uno stato energeticoe l’altro, rappresenta un qubit.Per realizzare un circuito logico booleano,come AND, OR, NOT eccetera, bisogna accoppiarealmeno due qubits, cioè avvicinarealmeno due ioni nella stessa trappola inmodo da poter effettuare calcoli quantisticicon la funzione d’onda complessiva deidue ioni e dei quattro elettroni. In una modificadi questo esperimento, realizzataall’Università di Innsbruck, la trappola èstata realizzata in modo da disporre parecchiioni uguali allineati. In questo modo letransizioni degli elettroni si accoppianonon più alle vibrazioni di ogni singolo ionema alle vibrazioni collettive della catena,che appare come una microscopica collanadi perle. Ogni computazione svolta conuna simile ‘macchina’ richiederebbe unasequenza di tantissimi impulsi laser bendefiniti (pensiamo alle regole della macchinadi Turing), tanto che il limite teoricomassimo è stimato in questo caso in appena10000 operazioni al secondo. L’idea diusare impulsi laser ultracorti, per accelerarela computazione, si scontra con la necessitàdi aumentare parallelamente l’intensitàdel fascio laser, aumentando così laprobabilità di errore (questo è dovuto alfatto che aumentando l’intensità aumentanoi cosiddetti effetti nonlineari, cioè il fasciolaser interagisce con più elettroni simultaneamente).Un secondo esempio è la ottica quantisticain cavità. Un tale esperimento, già realizzatoseparatamente alla Ecole Normale diParigi e al Caltech di Pasadena, consiste didue specchi molto ravvicinati (a circa uncentesimo di millimetro di distanza!) tra iquali vengono fatti passare a bassissimavelocità gli atomi di un gas, mentre un laserli bombarda con luce ad una frequenzaleggermente diversa da quella ottimale.Grazie al confinamento, ciascun atomo puòemettere e ricatturare un quanto di luce, ofotone, più e più volte, sfruttandone il “rimbalzo”contro gli specchi. In questo caso ilqubit è rappresentato dal sistema combinatoatomo più fotone.Se un atomo in uno stato eccitato entranella cavità tra i due specchi, con una certaprobabilità può lasciare un fotone entro lacavità uscendone così diseccitato. La funzioned’onda della cavità descrive adessola sovrapposizione dei due stati “fotonepresente” e “fotone assente” (1 e 0, a suomodo). Quando un secondo atomo attraversala cavità, il suo stato si mescola conquello già presente nella cavità e può cambiareo meno, in funzione della presenza omeno del fotone all’interno della cavità. Aquesto punto, un fascio laser bombarda ilsecondo atomo esattamente quando que-ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/0371

STUDI & RICERCHEAttività dell’ENEA sui materiali e tecnologieper la computazione quantisticaNel corso di un programma di ricerca congiunto, condotto dall’autore e dal prof. P. Keblinski, delDepartment of Materials Engineering del Rensselaer Polytechnic Institute (RPI) negli USA, è stato recentementeproposto un metodo assai originale per implementare in maniera potenzialmente moltoefficiente gli elementi di base di un circuito detto “Quantum Cellular Automaton”, o AutomaCellulare Quantistico (QCA), suscettibile di essere convertito in un “qubit” per il calcolo quantistico.Tale circuito teorico elementare, introdotto qualche anno fa dal gruppo di C.S. Lent dell’Università diNotre Dame, composto da quattro “punti quantici” a distanze nanometriche e collegati fra di loro (figura1), svolge le funzioni di un circuito bistabile e permetterebbe di realizzare idealmente tutte lefunzioni dell’elettronica convenzionale senza bisogno di transistor.a)b)1234Figura 1Schema dell’automa cellulare quantistico secondo Toth e Lent(pubblicato in Physical Review A63, 052315 (2001)). a. Geometriadella cella: i cerchi rappresentano punti quantici (o “quantumdots”), le linee rappresentano percorsi di tunneling, attraverso iquali un elettrone può saltare da un quantum dot all’altro. b.Due elettroni, in nero, sono iniettati in ciascuna coppia di quantumdots. Per repulsione coulombiana, esistono due configurazioniequivalenti P = +1 e P = –1, che corrispondono ad un elementobistabile, come un transistor.P= +1 P= –1In particolare, è stato recentemente mostrato dal gruppo di Notre Dame che collegando fra loro inmaniera opportuna molti elementi del tipo descritto è possibile trasformare un insieme di QCA in uninsieme di qubits, per realizzare circuiti che svolgono tutte le funzioni logiche elementari di un calcolatorequantistico. Fino ad ora, però, non esistono realizzazioni pratiche su scala nanometrica di dispositivifisici in grado di svolgere le funzioni previste teoricamente per un QCA.La nostra ricerca dimostra, mediante l’analisi di modelli teorici, che combinando quattro nanotubi dicarbonio fra di loro è possibile realizzare il frammento elementare di QCA necessario per ottenereun qubit. (Le proprietà dei nanotubi di carbonio sono oggetto di attiva ricerca da parte dell’ENEA,vedi Energia, Ambiente, Innovazione n. 1/2001, pp.64-71).In questo caso sono state studiate le proprietà di giunzioni tra coppie di nanotubi incrociati e successivamenteirraggiati da un fascio di elettroni, in modo da creare una zona di “fusione” tra i due tubi dicarbonio. Le dimensioni del sistema risultante sono di appena qualche nanometro. È stato trovatoche sotto particolari condizioni di irraggiamento, la zona centrale di giunzione che connette i duenanotubi si comporta proprio come un punto quantico. È stato quindi ipotizzato che assemblandouna nanostruttura come quella riportata nella figura 2 sarebbe possibile realizzare un QCA in manierarelativamente semplice e riproducibile. Combinando parecchi nanotubi in una configurazionea scacchiera e irraggiando (vedi didascalia) i punti di giunzione e i bracci che li congiungono inmodo opportuno si potrebbero realizzare gli elementi circuitali (qubits) di un computer quantistico.Sono attualmente in corso attività sperimentali congiunte, presso ENEA e RPI, per verificare in praticale previsioni teoriche.Figura 2Realizzazione di una cella QCA mediante quattro nanotubidi carbonio. a. I quattro nanotubi vengono posizionati su unsubstrato, ad esempio mediante nanomanipolazione con unmicroscopio a forza atomica. I quattro punti di giunzionevengono irraggiati con un fascio di elettroni, creando quattropunti quantici nelle regioni di giunzione. b. Successivamente,con un ulteriore irraggiamento con elettroni adose più elevata, i contatti orizzontali tra le due coppie dipunti quantici vengono “bruciati”, Questa configurazionerappresenta una possibile realizzazione pratica su scala nanometricadella cella rappresentata in figura 1-a.72 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03

STUDI & RICERCHEprecisa e contemporanea dell’altra. Questo è vero,ad esempio, per le variabili posizione e velocità diun elettrone. Il principio di indeterminazione, scopertopoco prima da Werner Heisenberg sulla basedella interrelazione delle proprietà allo stessotempo corpuscolari ed ondulatorie della materia,descrive il concetto di complementarità in manieraquantitativa, fissando un errore minimo che lo sperimentatorecommette nella misurazione simultaneadi coppie di variabili complementari. Tale erroreè espresso matematicamente nella famosa relazionedi indeterminazione, la quale stabilisce che ilprodotto tra gli errori commessi nel misurare ledue variabili è almeno grande quanto la costantedi Planck: per mantenere costante questo prodotto,una tanto maggiore precisione nella misura diuna delle due variabili implica una crescente imprecisionenella simultanea misura dell’altra.2. In questo contesto la definizione di esponenzialeesprime la rapidità con la quale cresce una successionedi numeri. Il concetto di rapidità di crescita èlegato, in pratica, al rapporto tra due termini contiguinella successione. Una successione lineare èottenuta sommando una costante ai termini, adesempio 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... : in questo caso il rapportotra due termini adiacenti decresce e tendeall’unità. Una successione geometrica è invece ottenutamoltiplicando il termine precedente peruna costante, ad esempio 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... :in questo caso il rapporto tra due termini adiacentiè proprio la costante moltiplicativa (nell’esempioindicato la costante è 2, infatti ogni termine si ottienemoltiplicando per 2 il precedente). Una successioneesponenziale corrisponde ad una sequenzadi termini il cui rapporto è una potenza, adesempio 1, 3, 9, 27, 81, …3. La termodinamica è la branca della fisica che studiai processi di trasformazione di energia in calore.Come tale è alla base del funzionamento dellemacchine termiche e, più in generale, di qualsiasisistema (anche il corpo umano) che operi una trasformazionetra diverse forme di energia. Le dueleggi fondamentali della termodinamica stabiliscono:(1) che l’energia totale di un sistema si conservasempre durante tutti i processi di trasformazione, e(2) che il grado di disordine di un sistema fisicoreale, cioè avente una efficienza di trasformazioneinferiore al 100%, tende sempre ad aumentare. Perlo studio dei processi di trasformazione la termodinamicasi serve di alcune grandezze fisiche comel’entropia, che misura il grado di disordine presentein un sistema; l’energia interna, che definisce lamassima quantità di calore che un sistema fisicoideale, cioè con efficienza di trasformazione dienergia in calore del 100%, può produrre; l’energialibera, che misura la capacità di un sistema idealedotato di una certa quantità di energia interna dicompiere una certa quantità di lavoro meccanico.4. La hamiltoniana di un sistema fisico è una funzionematematica (o un insieme di funzioni matematiche)che permette di definire l’energia totale delsistema conoscendo i valori di un insieme ben definitodi variabili caratteristiche del sistema, dettevariabili canoniche. Per un sistema che può esseredescritto come un insieme di punti materiali, adesempio i pianeti del sistema solare visti dallaTerra) le variabili canoniche sono la posizione e lavelocità di ciascun pianeta. Per sistemi descrittidalla meccanica quantistica è possibile scegliere levariabili canoniche in vari modi tra cui, ad esempio,il modulo elevato al quadrato (o matrice delladensità di probabilità) delle funzioni d’onda dellesingole particelle che compongono il sistema.5. La misura di energia per sistemi a temperatura variabileviene convenientemente espressa in unità dik B T, dove k B è la costante di Boltzmann, pari a1.38x10 -16 erg/grado, e T è la temperatura misuratain gradi Kelvin. Ad esempio, alla temperatura di300 gradi Kelvin (cioè a temperatura ambiente)una unità k B T vale circa 4x10 -14 erg, un numeroestremamente piccolo rispetto alle energie tipichedei fenomeni macroscopici. Per confronto, si consideriche una massa di 1 Kg che cade nel vuoto dauna altezza di 1 metro arriva a terra con una energiadi moto (cinetica) pari a circa 100 milioni dierg.74 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 3/03