Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

1.2 Random walkSi osservi ora cheD = 2p q (∆x)2∆tD = 2p q (∆x)2∆tper cui potremo scrivere= (2p − 1)q (∆x)2∆t= p (∆x)2∆t+ q (∆x)2∆t− (2p − 1)p (∆x)2∆t= qv∆x + q (∆x)2∆t= −pv∆x + p (∆x)2∆t∆tq = (D − qv∆x)(∆x) , p = (D + pv∆x) ∆t2 (∆x) 2Usiamo ora queste relazioni in (1.5) dopo aver sottratto ¯p(m, n) ad ambedue imembri:∆t¯p(m, n + 1) − ¯p(m, n) = ¯p(m − 1, n)(D + pv∆x)(∆x) 2e dividiamo per ∆t ottenendo la seguente relazione¯p(m, n + 1) − ¯p(m, n)∆t∆t+¯p(m + 1, n)(D − qv∆x) − ¯p(m, n)(∆x)21= ¯p(m − 1, n)(D + pv∆x)(∆x) 21 ¯p(m, n)+¯p(m + 1, n)(D − qv∆x) −(∆x)2∆t¯p(m, n) − ¯p(m − 1, n) ¯p(m + 1, n) − ¯p(m, n)= −vp − vq∆x∆x¯p(m + 1, n) − 2¯p(m, n) + ¯p(m − 1, n)+D(∆x)[ 22D+(∆x) − 1 2 ∆t + vp∆x − vq ]¯p(m, n)∆x¯p(m, n) − ¯p(m − 1, n) ¯p(m + 1, n) − ¯p(m, n)= −vp − vq∆x∆x¯p(m + 1, n) − 2¯p(m, n) + ¯p(m − 1, n)+D(∆x) 2nella quale abbiamo anche tenuto conto del fatto che dalle definizioni di D e v si ha2D(∆x) − 1 2 ∆t + vp∆x − vq∆x = 1 [2D∆t]∆t ∆t− 1 + vp − vq∆t (∆x)2∆x ∆x2 · 2p q − 1 + p(2p − 1) − q(2p − 1)=∆t−1 + p(2p − 1) + q(2p + 1)=∆t−1 + 2p + q − p −1 + 2p + 1 − 2p= = = 0∆t∆t7