Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: EconofisicaIntroduciamo ora il coefficiente di diffusione e la velocità di trascinamentoD = 2p q (∆x)2∆t(, v = 2 p − 1 ) ∆x2 ∆te osserviamo che sia la varianza che l’attesa di X risultano lineari in t(σX 2 = 2 · 2p q (∆x)2 n∆t = 2Dt , µ X = 2 p − 1 ) ∆xn∆t = vt∆t2 ∆tNe segue che il TLC (1.3) per la v.a. X divieneP (x, t) = P (m∆x, n∆t) = ¯p(m, n) ≃ 2∆x √2πσ2Xe −(x−µ X) 2 /2σ 2 X=2∆x√2π · 2Dte −(x−vt)2 /2·2Dt = p(x, t)2∆xdove abbiamo introdotto la d.d.p. p(x, t) della v.a. Xp(x, t) =1√2π · 2Dte (x−vt)2 /2·2DtLa forma di questa d.d.p. non dipende più esplicitamente da ∆x e ∆t: questo ciconsente di eseguire euristicamente un passaggio al limite continuo per ∆x → 0 e∆t → 0 mantenendo D e v finiti. Questa d.d.p. è soluzione dell’equazionep t (x, t) = −vp x (x, t) + Dp xx (x, t) (1.4)con condizione inizialee condizioni ai limitip(x, 0 + ) = δ(x)p(±∞, t) = 0come si vede facilmente con un calcolo diretto. Questa equazione può anche esserericavata come limite continuo della master equation del nostro random walk:¯p(m, n + 1) = p ¯p(m − 1, n) + q ¯p(m + 1, n) (1.5)Essa si ricava facilmente dalla formula della probabilità totale tenendo presente cheper essere in m al tempo n + 1 il processo doveva essere o in m + 1 o in m − 1 altempo n:¯p(m, n + 1) = ¯p(m, n + 1|m − 1, n)¯p(m − 1, n) + ¯p(m, n + 1|m + 1, n)¯p(m + 1, n)= p ¯p(m − 1, n) + q ¯p(m + 1, n)6