Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

1.2 Random walkLe sommeassumono i valori interiM =n∑Y i = 2i=1m = 2r − n ,n∑Z i − n = 2R − ni=1r = n + m2in modo che n ed m sono sempre della stessa parità e r sempre intero. Tenendoallora conto di (1.1) si ottiene la legge di M( ) ( )n + m n¯p(m, n) = P{M = m} = p n (r) = p n =n+mp n+m n+mn− 2 q 222( ) n=n+mp n+m2 q n−m22con attesa e varianzaE(M) = µ M = 2n(p − 1 ), Var(M) = σM 2 = 4np q2Il caso simmetrico (diffusione libera) è caratterizzato da p = 1 2 e quindiµ M = 0 , σ 2 M = nIl TLC per le somme M si ottiene poi tenendo conto di (1.2): per n → ∞¯p(m, n) = p n( n + m2dove abbiamo posto)≃ e− ( n+m2 −np) 2 /2np q√ 2πnp q=δm = m − µ M = m + n − 2np2√ 2π 4np qe −(δm)2 /2·4np qIn termini di attese a varianze il TLC si esprime allora anche come¯p(m, n) ≃2√2πσ2Me −(m−µ M ) 2 /2σ 2 M (1.3)Il random walk in 1 dimensione si costruisce allora supponendo che ad intervalli ditempo regolari ∆t la particella possa scegliere (con probabilità p e q) di eseguireuno spostamento +∆x o −∆x. Dopo n passi, cioè dopo un tempo t = n∆t essa sitroverà quindi in una posizione (aleatoria) X = M∆x che assume valori x = m∆xcon attesa e varianza(µ X = µ M ∆x = 2n p − 1 )∆x , σX 2 = σ 22M(∆x) 2 = 4np q(∆x) 2 .5