Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: Econofisicaassumono i valori interi r = 0, 1, . . . n con legge Binomiale B(n, p)( nP{R = r} = p n (r) = pr)r q n−r (1.1)per cui risulta ancheE(R) = µ R = np , Var(R) = σ 2 R = np q .1.2.1 Binomiale e GaussianaPer enunciare il TLC introduciamo le somme standardizzateW = R − E(R) √Var(R)= R − np √ np qcon valori (non interi)tutti equidistanti conw = r − np √ np q∆w = 1 √ np qIl TLC (le ipotesi sono verificate dato che le Z i sono i.i.d. con attese e varianze finite)afferma allora che per n → ∞ la legge di W è normale standard N(0, 1). Pertanto,dettaϕ(w) = e−w2 /2√2πla f.d. della legge N(0, 1), per grandi valori di n avremo chee in termini dei valori di RP{W = w} ≃ ϕ(w)∆w = e−w2 /2√ 2πnp qp n (r) = P{R = r} = P{W = w} ≃ e−(r−np)2 /2np q√ 2πnp q(1.2)Per costruire un random walk conviene ora passare alla seguente successione di v.a.i.i.d.{ +1, con probabilità p,Y i = 2Z i − 1 =i = 1, 2, . . .−1, con probabilità q = 1 − p,con attesa e varianzaE(Y i ) = 2p − 1 = 2(p − 1 ), Var(Y i ) = 4p q24