Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: Econofisica3.2.1 Soluzione dell’equazione di Black–ScholesConsideriamo il prezzo c(s, t) di una call option con 0 ≤ t ≤ T e s ≥ 0: sappiamoche esso soddisfa l’equazione BScon condizioni (finali)∂ t c + σ22 s2 ∂ 2 sc + rs∂ s c − rc = 0c(s, T ) = max(s − K, 0) , c(0, t) = 0 , c(s, t) ∼ s (s → +∞)Eseguiamo un primo cambiamento di variabili che consiste nel prendere logaritmi diprezzi in scala K, e tempi in scala 1/σ 2 e in verso invertito (in modo che le condizionifinali diventino condizioni iniziali):x = ln s K ,τ = σ2(T − t)2in modo che ora −∞ < x < +∞ e 0 ≤ τ ≤ T . Ponendo allorac(s, t) = Kf(x, τ) = Kf(ln s )K , σ22 (T − t) , κ = 2rσ 2otteniamo per la f un’equazione in cui l’unico parametro è κ, gli altri parametriessendo stati riassorbiti nei riscalamenti effettuati:con condizioni (iniziali)∂ τ f = ∂ 2 xf + (κ − 1)∂ x f − κff(x, 0) = max(e x − 1, 0) , f(−∞, τ) = 0 , f(x, τ) ∼ e x (x → +∞)Infine, ponendol’equazione si riduce acon condizionif(x, τ) = e −(κ−1)x/2−(κ+1)2 τ/4 g(x, τ)∂ τ g = ∂ 2 xg (3.13)g(x, 0) = max ( e (κ+1)x/2 − e (κ−1)x/2 , 0 )g(x, τ) ∼ e (κ+1)x/2−(κ+1)2 τ/4|x| → +∞L’equazione (3.13) coincide formalmente con un’equazione di diffusione, ma è sostanzialmentediversa perchè g non è una densità di probabilità: questo si vedechiaramente anche dalle condizioni imposte su g. Ciononostante è possibile applicareper la soluzione le medesime tecniche usate nel caso diffusivo. In particolare siha cheg(x, τ) =∫ +∞−∞p(x, τ|y, 0)g(y, 0) dy38