Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: Econofisica3. Gli scambi si svolgono in tempo continuo: il ∆t degli scambi tende azero.4. S(t) è un processo stocastico del tipo GBM:dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW (t) (3.3)5. Il tasso di interesse risk–free r e la volatilità σ sono costanti: in realtàr e σ possono anche essere funzioni note del tempo, ma noi non tratteremoquesto caso. Il problema diventa comunque molto più complesso se r e σ sonoaleatori.6. L’underlying non paga dividends: è solo un’ipotesi d semplificazione chepuò anche essere trascurata.7. Il valore dell’underlying è continuo: non c’è una unità di valore minima.8. Il Mercato è arbitrage–free: quella dell’arbitrage (free lunch) è l’opportunitàdi guadagnare una quantità infinita di denaro senza rischi. Supponiamoche una banca ci presti una quantità b 0 di denaro ad un tasso r: al tempo t dovremorestituire b(t) = b 0 e rt . Arbitrage è la possibilità di trovare sul mercatoun investimento risk–less ad un tasso r 0 > r: in tal caso potremmo investirecontemporaneamente anche b 0 in questo secondo modo e al tempo t guadagneremmob 0 e (r 0−r)t . Tipicamente queste situazioni non si verificano perchéla competizione fra investitori condurrebbe rapidamente ad un riequilibrio. Sitratta di un principio analogo alla conservazione dell’energia che risulta ancheutile per ottenere risultati come la put–call parityp(S(t), t) = c(S(t), t) − S(t) + Ke −r(T −t) (3.4)relazione che generalizza a tutti i t la relazione (3.2)Sulla base di queste ipotesi vogliamo ora determinare la forma di un self–financing,replicating portfolio che fissi un equo valore delle options.Dall’uso della formula di Itô, e dal fatto che S(t) è un MBG con equazione (3.3), siha che il differenziale stocastico di O(t) = o(S(t), t) è]dO(t) =[o t (S(t), t) + µS(t)o s (S(t), t) + σ22 S2 (t)o ss (S(t), t) dt=+ σS(t)o s (S(t), t) dW (t)][o t (S(t), t) + σ22 S2 (t)o ss (S(t), t) dt + o s (S(t), t) dS(t) (3.5)L’idea del modello BS è che il valore dell’option sia uguale a quello di un self–financing, replicating portfolio il cui valore è in generale del tipoW(t) = ∆(t)S(t) + Π(t) (3.6)36