Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

2.3 Calcolo stocasticouna regola diversa da quella solita a causa della presenza della derivata secondaf w w giustificata dal fatto che anche (dW ) 2 è dell’ordine di dt. Anche le usualiregole di integrazione devono essere parzialmente modificate come conseguenza diqueste osservazioni; ad esempio:∫ tW (s) dW (s) = W 2 (t) − W 2 (t 0 ) − (t − t 0 )t 02∫ tW n (s) dW (s) = W n+1 (t) − W n+1 (t 0 )− n ∫ tW n−1 (s) dst 0n + 1 2 t 0Inoltre usando le regole sugli ordini dei differenziali stocastici si possono anchedimostrare le seguenti relazioni(∫ t)E G(s) dW (s) = 0 (2.12)t(∫0t∫ t) ∫ tE G(s) dW (s) H(s ′ ) dW (s ′ ) = E(G(s)H(s))ds (2.13)t 0 t 0 t 0Si noti come queste formule si possano ricavare in maniera euristica introducendo ilrumore bianco η(t) con le sue proprietà, in particolaredW (t) = η(t) dt , E(η(t)) = 0 , E(η(t)η(s)) = δ(t − s)Infatti si avrebbe (scambiando attese e integrali e tenendo conto di indipendenze enon anticipatività)(∫ t) (∫ t)E G(s) dW (s) = E G(s)η(s) dst 0 t 0(∫ t∫ t)E G(s) dW (s) H(s ′ ) dW (s ′ )t 0 t 0=∫ tt 0E[G(s)η(s)] ds∫ t= E[G(s)] E[η(s)] ds = 0t 0(∫ t∫ t)= E G(s)η(s) ds H(s ′ )η(s ′ ) ds ′t 0 t 0====23∫ t ∫ tt∫0t ∫ tt∫0t ∫ tt∫0tt 0E[G(s)η(s)H(s ′ )η(s ′ )] dsds ′t 0E[G(s)H(s ′ )] E[η(s)η(s ′ )] dsds ′t 0E[G(s)H(s ′ )] δ(s − s ′ ) dsds ′t 0E[G(s)H(s)]ds