Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: EconofisicaPertanto i valori dell’integrale chiaramente dipenderanno dal valore di α cioè dallascelta dei τ i . Si prova che la scelta che definisce gli integrali di Itô è α = 0, cioè τ i =t i−1 coincide con l’estremo sinistro di ogni intervallo. Altre scelte sono possibili: inparticolare α = 1/2 (τ i al centro degli intervalli) definisce l’integrale di Stratonovich.L’integrale di Itô comunque presenta molti vantaggi: la sua definizione consentedimostrazioni rigorose e inoltre l’integraleX(t) =∫ t0G(s) dW (s)è una martingala. Una definizione rigorosa dell’integrale di Itô inoltre richiede cheG(t) sia un processo non anticipativo secondo la seguente definizioneDefinizione 2.10. Un processo G(t) si dice non anticipativo quando G(t) è indipendenteda W (s) − W (t) per ogni t < s.Cioè G(T ) non deve poter anticipare il futuro comportamento del processo W (t).W (t) è ovviamente non anticipativo, e inoltre se G(t) è non anticipativo anche tuttii seguenti processi sono non anticipativi:∫ t0f(W (s)) ds ,∫ t0f(W (s)) dW (s) ,∫ t0G(s) ds ,∫ t0G(s) dW (s)Si può ora provare chee inoltre∫ baG(s)[dW (s)] 2 =∫ baG(s) ds ,∫ ba∫ bG(s) dW (s) ds = 0Queste relazioni si scrivono anche simbolicamente comeaG(s)[dW (s)] n = 0 , n ≥ 3[dW (s)] 2 = ds , dW (s) ds = 0 , [dW (s)] n = 0 , n ≥ 3e il loro significato intuitivo è chedW (t) = O( √ dt)e che si trascurano infinitesimi di ordine superiore al primo. Si noti come questogiustifichi la non derivabilità del processo di Wiener. Una conseguenza è la formulaper il calcolo del differenziale totale di una funzione del processo di Wiener: dataf(w, t) e arrestandosi al primo ordine in dt si hadf(W (t), t) = f t dt + f w dW + 1 2 f tt(dt) 2 + 1 2 f ww(dW ) 2 + 1 2 f twdtdW + . . .[= f t (W (t), t) + 1 ]2 f ww(W (t), t) dt + f w (W (t), t)dW (t)22