Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: EconofisicaLe funzioni di transizione del processo si ottengono poi dalla medesima equazionecon condizione p(x, s + ) = δ(x − y) (cioè X(s) = y) per cuip(x, t|y, s) =1√2π(t − s)e −x2 /2(t−s)Il corrispondente processo W (t) si chiama processo di Wiener standard.allora da (2.9) e (2.10) che per 0 < s < tE(W (t)) = 0 , Var(W (t)) = tE(W (t)|W (s)) = y , Var(W (t)|W (s) = y) = t − smentre per s, t generici si ha(2.10)Si vedeE(W (t)W (s)) = min(s, t) (2.11)Infatti supponendo per semplicità 0 < s < t si ha∫∫E(W (t)W (s)) = xy p 2 (x, t; y, s) dx dy = xy p(x, t|y, s)p(y, s) dx dy∫R 2 R 2 ∫= y E(W (t)|W (s) = y)p(y, s) dy = y 2 p(y, s) dyR= Var(W (s)) = sInoltre sulla base delle relazioniP {|X(t + ∆t) − X(t)| > ɛ} = 2{∣ }∣∣∣ X(t + ∆t) − X(t)P∆t ∣ > ɛ = 2è possibile mostrare che∫ +∞ɛ∫ +∞ɛ∆tR1√2π∆te −x2 /2∆t dx1√2π∆te −x2 /2∆t dxlim P {|X(t + ∆t) − X(t)| > ɛ} = 0 , ∀ɛ > 0∆t→0{∣ }∣∣∣lim P X(t + ∆t) − X(t)∆t→0 ∆t ∣ > ɛ = 1 , ∀ɛ > 0per cui in ogni istante t le traiettorie del processo di Wiener sono continue ma nonderivabili. Ciononostante il processo di Wiener W (t) esiste ed è ben definito (con leproprietà suddette) a partire dalla soluzione dell’equazione (2.8). Non è però possibilescrivere l’equazione delle sue traiettorie nella forma di Langevin Ẋ(t) = η(t) nelsenso che il processo rumore bianco η(t) è definito in maniera non matematicamentecorretta. In reltà bisogna scrivere questa equazione nella formanel senso che il differenzialedX(t) = dW (t) ≠ η(t) dtdW (t) = W (t + dt) − W (t)è ben definito, ma non si esprime come prodotto di una derivata η(t) (che non esiste)per dt. Bisogna allora rivedere le regole del calcolo differenziale e integrale.20