Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: EconofisicaIl concetto di martingala è strettamente legato a quello di gioco assolutamente equo.Infatti è facile verificare che la somma delle vincite di un gioco assolutamente equo èuna martingala: detto C il capitale iniziale e (X n ) n∈N un gioco assolutamente equo,la successionen∑Y n = C +costituisce una martingala. Infattij=1X jE(Y n+1 |Y n , . . . , Y 1 ) = E(Y n+1 |X n , . . . , X 1 )= E(X n+1 |X n , . . . , X 1 ) + E(Y n |X n , . . . , X 1 ) = Y nSi potrebbe mostrare che anche il viceversa è vero: ogni martingala è somma diincrementi che costituiscono un gioco assolutamente equo. Il concetto di martingalapuò essere opportunamente generalizzato al caso di tempo continuo, ma qui perragioni di spazio non presenteremo questa versione.2.2.2 Processi di MarkovDefinizione 2.9. X(t) è un processo di Markov quando comunque scelti n istantit 1 < . . . < t n risultap 1|n−1 (x n , t n |x n−1 , t n−1 ; . . . ; x 1 , t 1 ) = p 1|1 (x n , t n |x n−1 , t n−1 )Pertanto l’informazione disponibile per prevedere il futuro è tutta contenuta nelpresente che riassume anche le informazioni del passato. Inoltre se il processo èmarkovianop n (x n , t n ; . . . ; x 1 , t 1 ) = p 1|1 (x n , t n |x n−1 , t n−1 ) · . . . · p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) · p 1 (x 1 , t 1 )cioè la gerarchia delle leggi congiunte può essere completamente ricostruita a partiredalla conoscenza di p 1 (x 1 , t 1 ) e p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ). Le p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) si chiamanoanche funzioni di transizione.Un processo X(t) si dice ad incrementi indipendenti quando tutti gli incrementi deltipo X(t 4 ) − X(t 3 ) e X(t 2 ) − X(t 1 ) sono indipendenti se presi su intervalli temporalinon sovrapposti (t 4 > t 3 ≥ t 2 > t 1 ). Si può mostrare che ogni processo adincrtementi indipendenti è un processo di Markov.Dati tre istanti di tempo si hap 3 (x 3 , t 3 ; x 2 , t 2 ; x 1 , t 1 ) = p 1|1 (x 3 , t 3 |x 2 , t 2 )p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 )p 1 (x 1 , t 1 )per cui marginalizzando la coordinata intermedia∫p 2 (x 3 , t 3 ; x 1 , t 1 ) = p 1 (x 1 , t 1 ) p 1|1 (x 3 , t 3 |x 2 , t 2 )p 1|1 (x 2 , t 2 |x 1 , t 1 ) dx 2R16