Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: Econofisicarappresenta il valore del processo nell’istante t; per ogni fissato ω si ottiene unafunzione X t (ω) = x(t) di t che rappresenta una delle infinite possibili traiettorie delprocesso.Gli eventi ora corrisponderanno a particolari sottoinsiemi di traiettorie: tipicamentequesti vengono definiti come cilindri, ossia come sottoinsiemi di traiettorie che soddisfanoopportuni vincoli in istanti specificati. Ad esempio si potrebbe considerarel’insieme di tutte le traiettorie che al tempo t 1 hanno valori compresi fra a 1 e b 1{a 1 ≤ X(t 1 ) ≤ b 1 }e generalizzando possiamo definire sottoinsiemi che soddisfano analoghe condizioniin n istanti:{a 1 ≤ X(t 1 ) ≤ b 1 , . . . , a n ≤ X(t n ) ≤ b n }A questi eventi (e altri più complicati) vorremmo attribuire dei valori di probabilità.Un p.s. è caratterizzato dalla famiglia delle sue distribuzioni congiunte ad n istantidi tempo arbitrari: fissati t 1 , . . . , t n si considera cioè la distribuzione congiunta dellen v.a. X t1 . . . , X tnF n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) = P{X t1 ≤ x 1 , . . . , X tn ≤ x n }che sarà in molti casi data come densità congiunta p n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ). La famiglia(al variare di n e di t 1 , . . . , t n ) di queste leggi congiunte deve rispettare alcuni vincoli:• positività: p n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) ≥ 0• simmetria: p n (. . . ; x j , t j ; . . . ; x k , t k ; . . .) = p n (. . . ; x k , t k ; . . . ; x j , t j ; . . .)• consistenza: ∫ R p n(x 1 , t 1 ; . . . ; x n−1 , t n−1 ; x n , t n ) dx n = p n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n−1 , t n−1 )• normalizzazione: ∫ R p 1(x 1 , t 1 ) dx 1 = 1D’altra parte si dimostra (sotto condizioni generali) che ogni famiglia di distribuzioniche soddisfi queste proprietà definisce un unico (in senso opportuno) p.s.Possiamo ora calcolare le attese e i momenti del processo ad istanti arbitrari. Cosìl’attesa del processo sarà∫E(X(t)) = 〈X(t)〉 = x p 1 (x, t) dxmentre∫〈X(t 1 ) · . . . · X(t n )〉 = x 1 . . . x n p n (x 1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) dx 1 . . . dx nR nLa matrice di covarianza per due componenti di un processo vettoriale sarà alloraCov(X j (t 1 ), X k (t 2 )) = σ 2 jk(t 1 , t 2 ) = 〈X j (t 1 )X k (t 2 )〉 − 〈X j (t 1 )〉〈X k (t 2 )〉14R