Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: Econofisicache la conoscenza della f.c. di un vettore aleatorio equivale alla conoscenza della suadistribuzione.La funzione caratteristica di X è suscettibile di uno sviluppo in serie di potenze icui coefficienti sono legati ai momenti delle sue componenti:G X (k) =∞∑|m|=0(ik 1 ) m 1. . . (ik n ) m nm 1 ! . . . m n !〈X m 11 . . . X mnn 〉dove 〈X m 11 . . . X m nn 〉 = E (X m 11 . . . X m nn ), mentre |m| = m 1 + . . . + m n . Anche illogaritmo della funzione caratteristica è sviluppabile in serie di potenze∞∑ (ik 1 ) m 1. . . (ik n ) mnln G X (k) =m 1 ! . . . m n !|m|=1〈〈X m 11 . . . X mnn 〉〉e i suoi coefficienti 〈〈X m 11 . . . Xnmn 〉〉 si chiamano cumulanti. I cumulanti non sonoattese di potenze delle componenti X j , ma sono particolari combinazioni di momentidi diversi ordini. Particolarmente importanti sono i cumulanti del secondo ordine〈〈X i X j 〉〉 = 〈X i X j 〉 − 〈X i 〉〈X j 〉 = σ 2 ij = Cov(X i , X j )che costituiscono gli elementi della matrice delle covarianze. Gli elementi diagonalidi tale matrice〈〈X 2 j 〉〉 = 〈X 2 j 〉 − 〈X j 〉 2 = σ 2 j = Cov(X j , X j )si chiamano varianze delle componenti.Definizione 2.4. Due v.a. X 1 e X 2 si dicono non correlate se Cov(X 1 , X 2 ) = 0.Definizione 2.5. Due v.a. X 1 e X 2 si dicono indipendenti se si verifica una delleseguenti quattro condizioni equivalenti:• p(x 1 , x 2 ) = p 1 (x 1 )p 2 (x 2 )• G(k 1 , k 2 ) = G 1 (k 1 )G 2 (k 2 )• 〈X m 11 X m 22 〉 = 〈X m 11 〉〈X m 22 〉 , ∀m 1 , m 2• 〈〈X m 11 X m 22 〉〉 = 0 , ∀m 1 ≠ 0, m 2 ≠ 0Se due v.a. sono indipendenti esse sono anche automaticamente non correlate, ma ilviceversa non è sempre vero; la non correlazione è quindi una specie di indipendenzadebole. La densità condizionata della v.a. X 1 rispetto all’evento {X 2 = x 2 } èdata dap 1|2 (x 1 |x 2 ) = p(x 1, x 2p 2 (x 2 )12