Econofisica: Finanza e Processi Stocastici - Infn

N. Cufaro Petroni: EconofisicaOra, siccome con le notazioni introdotte in precedenza abbiamo¯p(m, n) = P (x, t) , ¯p(m, n + 1) = P (x, t + ∆t) , ¯p(m ± 1, n) = P (x ± ∆x, t)la nostra equazione discreta diventa una equazione alle differenze finite:P (x, t + ∆t) − P (x, t)∆tP (x, t) − P (x − ∆x, t)= −vp∆x+DP (x + ∆x, t) − P (x, t)− vq∆xP (x + ∆x, t) − 2P (x, t) + P (x − ∆x, t)(∆x) 2e passando al limite per ∆t → 0 e ∆x → 0 si ottiene l’equazione (1.4).1.2.2 Binomiale e PoissonSe il limite per n → ∞ è accompagnato anche dalla richiesta che p → 0 in modo chenp → λ finito, allora si dimostra che la Binomiale B(n, p) è meglio approssimatada una legge di Poisson P(λ) piuttosto che da una normale N(µ, σ 2 ). Ricordiamoche una v.a. X distribuita secondo P(λ) assume tutti i valori interi k = 0, 1, . . . condistribuzioneP{X = k} = λkk! e−λe ha attesa e varianza determinate dall’unico parametro λE(X) = Var(X) = λSi ricordi che invece una legge normale N(µ, σ 2 ) è caratterizzata da due parametriµ e σ 2 che giocano il ruolo di attesa e varianza. Per piccoli valori di λ P(λ) nonè simmetrica attorno al massimo (come invece N(µ, σ 2 )). Inoltre le code delle duedistribuzioni decadono con diverse velocità. Queste caratteristiche delle distribuzionisono ben descritte dai valori del terzo e quarto momento, o meglio dai valori dellaskewness e della curtosi cher si ricavano da questi momenti.1.2.3 LognormaleAltra legge importante per la descrizione dei mercati finanziari è la legge LognormaleLN(µ, σ 2 ) con d.d.p.1p(y) =y √ 2πσ 2 e− ln2 (y/y 0 )/2σ 2dove per brevità y 0 = e µ . Si tratta della legge di una v.a. Y = e X quando X ènormale N(µ, σ 2 ). Si prova che i valori della moda, della mediana e dell’attesa sonorispettivamente nell’ordiney 0 e −σ2 < y 0 < y 0 e σ2 /28