Ezio Fornero, Teorema multinomiale - Tre dimostrazioni - SuperZeko

TEOREMA MULTINOMIALETre dimostrazionidi Ezio ForneroIn algebra si presenta il problema seguente: data una somma di p termini (variabili) che denotiamon pcon x i , 1 ≤ i ≤ p , calcolare i coefficienti C , k1 , k 2,...kpdei monomi x k1 1 x k2 kp2 ... x p dellosviluppo di (x 1 + x 2 + x 3 + ... + x p ) n .Per calcolare i coefficientin pC , k , k 2,...kpLo sviluppo in somma di monomi è dato da1, si può procedere come segue.nn,p k1k2∑C k k kx x ...1, 2...⋅p 1 2k1,k 2,... kp=0xkppdove il simbolo di sommava inteso nel senso che tutti gli esponenti variano da 0 a n , ma in ogni monomio almeno uno deveessere diverso da 0 e non più di uno può essere uguale a n .I singoli coefficienti sono calcolati scegliendo in ognuno dei fattori (x 1 + x 2 + x 3 + ... + x p ) unadelle variabili x i . Se l’esponente di x i è k i , il numero di volte in cui x i è stato scelto è uguale ak i . Ogni coefficienten pC , k k ... k1, 2,pdel monomio x 1 k1 x 2 k2 ... x pkpè dato dal numero delle possibilisequenze ordinate di n elementi ognuno dei quali compare k i volte , con k 1 + k 2 + ... + k p = n ,appartenenti a p tipi diversi , con p uguale al massimo valore dell’indice i .Quante sequenze costituite da n termini anche ripetuti si possono ottenere a partire da un insiemeI n di n elementi, dei quali k 1 sono del tipo A 1 , k 2 del tipo A 2 , ... k p del tipo A p ?Cominciamo con un caso particolare.Una sequenza di questo tipo può essere rappresentata da una serie come ABAACCBCAB...ammesso che i “tipi” distinti siano A B e C. Questa particolare sequenza può essere pensata comecostituita da tre serie parziali, AAAA BBB e CCC i cui elementi sono distribuibili in modovariabile su 10 posti diversi (10 è il numero n ). Immaginiamo ora di costruire la sequenza a partiredai termini A. Se la sequenza contiene 4 elementi A distribuiti su 10 posti, ogni diversoordinamento dei termini associati al tipo A (per es. A_AA _ _ A_ A _ e AA_ _ _ _ _ _ AA )corrisponde a una diversa combinazione semplice di 10 elementi di classe 4. Proseguiamo ora coitermini B . Poiché 4 posti sono già stati occupati, il numero delle possibili distribuzioni dei treelementi B è quello delle combinazioni semplici di 10 – 4 = 6 elementi di classe 3 , che è ugualea quello delle possibili combinazioni di C . Il numero totale delle sequenze è il prodotto del numerodelle serie contenenti solo gli A per il numero delle serie contenenti solo i B , o del primo per ilnumero delle serie di soli C , o il prodotto del numero delle serie di soli B o di soli C, a seconda diquale sia il tipo con cui si inizia a costruire la sequenza. In generale, se p è il numero dei tipidistinti, il numero delle sequenze possibili è il prodotto del numero di tutte le serie composte daelementi dello stesso tipo meno una – non importa quale.Vediamo ora di ragionare in generale. Supponiamo di considerare sequenze contenenti k i terminidel tipo A i , tali che k 1 + k 2 + k 3 = n e max{} i = p . Costruendo la sequenza a partire dai terminidel primo tipo, il numero delle sequenze si ottiene per iterazione: si calcola il numero delle serie⎛ n ⎞ n!contenenti k 1 elementi A 1 che è uguale a C n , k1 cioè ⎜ ⎟ =per il numero delle⎝k 1 ⎠ ( n − k 1)! ⋅k 1!⎛n− k1⎞ ( n − k1)!serie contenenti k 2 elementi A 2 che è dato da C n - k1 , k2 = ⎜ ⎟ =... per il⎝ k2⎠ ( n − k1− k2)! ⋅k2!Ezio Fornero – Teorema multinomiale - Tre dimostrazioni – 1/4http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici.Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.

⎛n − Sinumero delle serie di k i elementi A i cioè C k-Si , ki = ⎟ ⎞⎜ − 1 ( n − Si=− 1)! dove con Si⎝ ki⎠ ( n − Si)! ⋅ki!indichiamo la somma k 1 + k 2 +...k i , posto S 0 = 0 , fino a i = p . Facendo il prodotto tra due( n − Si−1)!( n − Si)!fattori consecutivi⋅si semplifica il numeratore del fattore i –esimo( n − Si)! ⋅ki!( n − Si− ki+1)!⋅ki+1!con l’identico termine al denominatore del fattore precedente, per cui il numeratore del prodotto ditutti i fattori sarà n! in quanto il numeratore del primo fattore non può venire semplificato. L’ultimofattore corrisponde a i = p , per cui al denominatore n – S p = 0 con 0! = 1 , mentre alnumeratore si ottiene (n – S p-1 )! = ( n – k 1 – k 2 - .. . - k p-1 )! = k p ! che si semplifica con k p ! aldenominatore, coerentemente col fatto per cui il calcolo dipende dai primi p – 1 termini.Formalmente viene conservato nella formula generale del coefficiente multinomiale, in quantopermette di esprimerlo in forma simmetrica rispetto a tutti i valori assunti dall’indice i , compresop. Quindi il denominatore totale sarà il prodotto k 1 ! k 2 ! ... k p ! Si ottiene infine che il numero dellesequenze è dato dan pn!C , k1 , k 2,...kp=k ! k !... k !1 2 pNe segue(x 1 + x 2 +...+x p ) n =n∑ki=0n!xk ! k ! k !123ki1xk 22... xkpppk ii=1; ∑= n e p = max{} iQuesta formula è nota come Teorema multinomiale.Il terminen!k ! k !... k1 2 p!è solitamente indicato col simbolo⎛ n⎜⎝k1, k2 ,...,k p⎞⎟⎠.Una seconda dimostrazione, variante della precedente, è la seguente.Il metodo più semplice è probabilmente quello di calcolare i coefficientix 1 k1 x 2 k2 ... x pkpp= ∏i=1kx iin pC , k , k 2,...kp1dei monomiin base al numero delle permutazioni semplici di una lista di n posti,avendo a disposizione un totale di n oggetti non tutti identici, distribuiti tra p sottoinsiemi A i inpk ii=1modo tale che k i oggetti appartengano ad A i e ∑= n . Dimostriamo che i singoli monomi,calcolati in base alla proprietà distributiva, sono in corrispondenza biunivoca con le permutazioni diun insieme di n elementi. Infatti, ogni monomio corrisponde alla scelta di una sola delle x i daognuno dei fattori identicipx ii=1(x 1 + x 2 + x 3 + ... + x p ) = ∑essere occupata da una sola delle x i . Per esempio, sviluppando; ogni scelta equivale a una lista di n caselle ognuna delle quali può5( x1x2+ x3)1+ x2x3]con la scelta [ogni casella corrisponde ad uno dei fattori ( x + )+ si ottienex2 1 21x2x3Ezio Fornero – Teorema multinomiale - Tre dimostrazioni – 2/4http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici.Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.

x 1 x 3 x 2 x 1 X3oppure conx 2 x 3 x 3 x 1 x 1In ciascuna di queste liste ognuno dei termini x i può comparire k i volte, con ∑pk ii=1= n. Due listecontenenti gli stessi elementi distribuiti secondo ordini differenti sono due permutazioni distintedello stesso insieme di n elementi. Se questi elementi fossero tutti identici, il numero dellepermutazioni sarebbe n! . Nel nostro caso, k i elementi sono uguali a x i e quindi indistinguibili. Unalista contenente k i elementi x i si trasforma in se stessa scambiando tra di loro due variabili con lostesso indice i, p.es. [x 1 x 1 x 2 x 3 ] non varia se scambiamo tra di loro i due termini x 1 , mentre sigenera una lista distinta scambiando tra di loro due variabili x i e x j contrassegnate da indici diversi:p.es. [x 1 x 1 x 2 x 3 ] è distinta da [x 1 x 2 x 1 x 3 ] ma entrambe le liste corrispondono allo stesso monomio.Il numero delle liste distinte contenenti k i elementi identici x i tali che ∑pk ii=1= n è il rapporto trail numero di tutte le possibili permutazioni di un insieme I n contenente n termini identici e ilnumero di tutte le permutazioni dei k i elementi di ciascuno dei p sottoinsiemi la cui unione è I n ,che è dato dal prodotto di tutti i fattoriali k i! con 1 ≤ i ≤ p , per cui si ottienen pC , k1 , k 2,...kp=n!k ! k !... k1 2 p!pk ii=0; ∑= n e p = max{} iUna terza dimostrazione di tipo ricorsivo è la seguente. Consideriamo la somma di p variabili x icome somma delle prime p – 1 scelte arbitrariamente e dell’ultima:(x 1 + x 2 + ... + x p ) n = [(x 1 + x 2 + ... + x p-1 ) + x p ] n n p−1nk n−k= ∑()( ∑ x i) ⋅ xpkPoniamo(I∑i=1x )ik=kPIe cerchiamo una formula ricorsiva dinn ⎛n⎞−Sappiamo che Pp= ∑ ⎟ ⋅ k⎜ ⋅ n kP p −1 xp; dopo un numero di passaggi uguale a i si ottienek=0 ⎝k⎠nnn k1ki−1⎛ ⎞ k n−k⎛ n ⎞ ⎛ k1⎞ ⎛ki−1⎞− −− −∑⎜⎟Pp−1⋅ xp= ∑ ∑ ∑⎜⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅−⋅ ⋅−⋅ ⋅− +k=0 ⎝k⎜⎟ ⋅kin k k1k2ki1 ki... ... Ppixp1 xp 1xp i 1⎠k = 0 k = 0 ki= 0⎝k1⎠ ⎝k2⎠ ⎝ k... al secondo1 2i ⎠membro, k è stato sostituito da k 1 , k 2 ecc...n⎛ki−Formalmente, nello sviluppo passo a passo di Ppl’ultimo coefficiente binomiale a destra ⎟ ⎞⎜ 1è⎝ ki⎠kik iassociato a P −, cioè all’i-esimo passo, e al fattore i −kpik p −11Il calcolo si arresta quando si arriva a P =⎛nn k k1 p−2⎛ 1∑ ∑...∑⎜⎟ ⋅⎜k1= 0 k2= 0 k p −1=0 k1k2⎝⎞⎠k ⎞ ⎛⋅k⎟ ... ⋅ ⎜⎝ ⎠ ⎝ kxk p− 11p−2p−1k p −1x p − −1 . i+1(k=0p∑i=1x )ini=1=nPp.cioè a i = p – 1 , generando la formula⎞⎟⋅ P⎠k p −11⋅ xn−k1p⋅ xk1−k2p−1k p− 11⋅...⋅ x−k p −2k p −121ma per evidenti ragioni formali sostituiamo a P il suo valore x e finalmente si ottieneEzio Fornero – Teorema multinomiale - Tre dimostrazioni – 3/4http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici.Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.

nPp=⎛nn k k1 p −2⎛ 1∑ ∑...∑⎜⎟ ⋅⎜k1= 0 k2= 0 k p −1= 0 k1k2⎝⎞⎠k ⎞ ⎛⋅k⎟ ... ⋅ ⎜⎝ ⎠ ⎝ kp−2p−1⎞⎟⋅⋅x⎠n−k1p⋅ xk1−k2p−1⋅...⋅ x−k p−2k p −12Si può notare che la somma di tutti gli esponenti delle x i è n – k 1 + k 1 – k 2 + .. + k i-1 - k i + k i + ... = n .Per eseguire il calcolo, consideriamo il prodotto dei coefficienti binomiali. Abbiamo⋅ xk p−11⎛ n ⎞ ⎛ k⎜ ⎟ ⋅⎜⎝k1 ⎠ ⎝k⎛ n ⎞ ⎛ k⎜ ⎟ ⋅⎜⎝k1⎠ ⎝k1212⎞⎟⎠⎞⎟ ⋅⎠=⎛k... ⋅ ⎜⎝ kp−2p−1⎞⎟⎠n!k1!⋅k1!(n − k1)!( k1− k2)!con k i+1 ≤ k i=( n − kn!)!( ⋅ k1 1− k2è uguale a)!( n − k; quindi, tutto il prodotto)!( k− kn!)!... ⋅ ⋅ ( k p− k1 1 2−2p−1)!Ponendo ora n – k 1 = j 1 , k 1 – k 2 = j 2 , k i -1 - k i = j i e k p-1 = j p otteniamonPp=0 0 0∑ ∑ ∑n!j jj1 2p −1... ⋅ xp⋅ xp−1⋅...⋅ x2⋅ xj ! j !... j !j1 = n j2 = n−j1j p−1= n−S1 2 p−1j p1nella quale S è la somma di tutti gli esponenti da j 1 a j p-2 incluso.Infatti le differenze k i-1 - k i sono comprese tra un minimo = 0 e un massimo = n e lo stesso valeper l’esponente di x i , cioè j p . La forma del risultato può essere migliorata sostituendo gli indiciinferiori p p-1 .. .2 1 rispettivamente con 1 2 ... p-1 p , cioè sostituendo i con p – i + 1 eponendo nelle sommatorie 0 come indice inferiore e n come indice superiore, con la limitazionej1+ j2+ ... + j k≤ n per k < p o ∑ piji= n .Utilizzando il simbolo⎛ n⎜⎝ j1, j2 ,...,j p⎞⎟⎠per i coefficienti multinomiali, abbiamo infinen⎛ n⎜⎝ j , j ,... j1∑ ji= n(x 1 + x 2 + ... + x p ) n = ∑ ⎜ ⎟ ⋅∏⎞⎟⎠j , j2,... j p = 0 1 2 p i=1pxjiiEzio Fornero – Teorema multinomiale - Tre dimostrazioni – 4/4http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici.Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.