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Capitolo 2 - Dalla teoria degli errori al trattamento dei dati 4b) se valutiamo la lunghezza al millimetro, dobbiamo stimare a quale taccadella graduazione corrisponde l’estremo della trave.In ogni ripetizione del processo i riporti e la stima sono soggetti a fluttuazioniaccidentali che generano perciò piccole variazioni nel valore finale stimato dellalunghezza.Notiamo che:- tanto maggiore è il numero di riporti, tanto maggiori saranno le discordanze fra leripetizioni della misura;- se la trave fosse lunga meno di un metro, non occorrendo riporti, le misuredifferirebbero al più per 1mm.Tali considerazioni ci impongono di abbandonare il concetto di valore che unagrandezza come entità a se stante: si dovrà sempre esprimere il risultato di ognioperazione che misura associando al valore numerico la valutazione dell’incertezzacon cui esso è stato ricavato.A fianco al concetto di precisione si trova il concetto di accuratezza inteso come laconcentrazione di misure ripetute. La misura ottimale dovrà ovviamente essereprecisa ed accurataEsistono, accanto alle fluttuazioni accidentali, anche le cosiddette cause sistematichedi errore, la cui natura emerge chiaramente considerando il modello usato perdescrivere il fenomeno.IL MODELLOOgni descrizione matematica di un fenomeno fisico, utilizzata per esprimere il valoreche un a data grandezza in funzione di altre grandezze o parametri, deve ricorrere asemplificazioni.Il modello deve essere perciò:a) il più semplice possibile, perché sia utilizzabile facilmente (non richieda laconoscenza o la misura di troppi parametri);b) complicato quanto necessario, in relazione alla approssimazione (incertezza) chesi richiede ai valori predetti dal modello stesso.Nel modello si distinguono una componente funzionale ed una stocastica, chesono strettamente connesse:1) la componente funzionale descrive analiticamente la relazione fra la grandezzaosservabile ed i parametri (fisici, geometrici) che sono ad essa collegati. La rilevanza,il numero ed il ruolo di questi parametri entro il modello deve essere valutato inrelazione alla incertezza da ottenere nella stima della osservazione: in funzione di
Capitolo 2 - Dalla teoria degli errori al trattamento dei dati 5tale valore, potranno assumere importanza o meno effetti di tipo sistematico chepossono essere modellizzati.2) la componente stocastica del modello é invece legata al complesso delle causedi variabilità del valore osservato che non si includono esplicitamente nel modellofunzionale: essa tiene conto cioè della dispersione delle misure dovuta a cause, detteaccidentali, che sfuggono ad una modellizzazione analitica o che si decide di nonmodellizzare analiticamente perché troppo complesse.Esempio:consideriamo la misura di una distanza piana L con una bindella centimetrata,lunga 50 m.Il coefficiente di dilatazione termica della bindella è b=10 -5 C -1 e la temperaturanell’ambiente di misura è di 20°C superiore a quella rispetto a cui la bindella èstata graduata. Si consideri che il coefficiente di allungamento del materiale−5−1costituente la bindella è a = 5 ⋅10kg e che la tensione applicata in fase dimisura è di 5 kg.Le corrispondenti variazioni di lunghezza della bindella sono quindi pari a−5−1∆L1 = b ⋅ ∆T= 50m⋅ 20 ⋅C⋅10⋅C= 1cm−5−1∆L = a ⋅ F = 50m⋅ 5kg⋅ 5 ⋅10⋅ kg 1, 25cmE’ evidente che se voglio misurare con incertezza vicina al cm devo tenere contodella deformabilità della bindella, cioè in sostanza devo correggere i valori misuratiL oss delle quantità L 1 e L 2 .Il modello funzionale diventa perciò= L ⋅ 1 − b ⋅ ∆T− a ⋅ FL oss( )2=dove L oss rappresenta la stima di L, cioè la valutazione della lunghezza ottenuta inbase alle misure fatte.Il modello funzionale include quindi due effetti sistematici (la dilatazione termica el’allungamento dovuto alla forza applicata), considerati lineari, che richiedono diconoscere i valori di b ed a, oltre alla misura di T ed F.Osservazioni:1. In condizioni ambientali stabili e con forza applicata costante, se non correggoottengo una lunghezza L oss maggiore di L (lunghezza effettiva): commetto cioè unerrore di stima della grandezza a cui sono interessato. La caratteristica di questoerrore, che dipende da F e ∆T , è il fatto che posso prevederne l’entità, perché sonoin grado di descriverlo analiticamente: errore sistematico2. Supponiamo di voler misurare una lunghezza per cui sia necessario il riporto.Eseguiamo diverse serie di misure, variando in modo casuale da una serie all’altra lecondizioni ambientali e le forze applicate, senza correggere le osservazioni. Ottengoallora una dispersione di risultati assai maggiore rispetto al caso precedente, in cui i
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