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Capitolo 2 - Dalla teoria degli errori al trattamento dei dati 16IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATISupponiamo di avere una grandezza η della quale si facciano n osservazioni lindipendenti; siano v 1, v2, .... gli errori di osservazione.vv12= l= l12−η−η......v n= l n−ηIl problema è quello di determinare il valore più probabile di η sulla base delle nosservazioni l, il che equivale a trovare i più probabili valori per i v 1. Questi ultimi,nelle ipotesi fatte, sono n variabili casuali, ciascuna delle quali segue la distribuzionenormale, con densità di probabilità data dalla( )211 2 ⎟ ⎞⎜ ⎛ v− i⎝ σ i ⎠= ⋅f v ieσ 2πiSiccome le variabili sono fra loro indipendenti per il teorema delle probabilitàcomposte, la probabilità che avvengano n eventi contemporaneamente è data dalprodotto delle probabilità dei singoli eventi, si ha che la funzione densità di probabilitàcongiunta è data dal prodotto delle varie funzioni componenti.f( v , v ,..., v )12n1= ⋅ eσ 2π1n21⎛v ⎞⎜ 1− ⎟2⎝ σ 1 ⎠1⋅ ⋅ eσ 2π221⎛v ⎞⎜ 2− ⎟2⎝ σ 2 ⎠n1 ⎛ v1⋅....⋅ ⋅ eσ 2π∑ ⎜ i− ⎟⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ 2⎝ σ1 i ⎠= ⎜ ⎟⎜ ⋅ ⋅....⋅⎟ ⋅ e⎝ 2π⎠ ⎝σ1σ2σn ⎠La funzione f( v1,v2,..., vn) densità di probabilità raggiunge il massimo del suo valorequando l’esponente raggiunge il minimo. Per cui si può scrivere:2n ⎛ vi∑ ⎟ ⎞⎜i= min1⎝σi ⎠2⎞n21⎛v ⎞⎜ n− ⎟2⎝ σ n ⎠Se introduciamo una costante arbitraria σ onon viene modificato il risultato dellacondizione di minimo, in quanto σorappresenta numericamente un fattore di scala.2 2∑ n σovii= min21 σ2σoDetto P i =σ 2 , peso dell’osservazione, la condizione di minimo diventa:in∑1iP vi2ii= vtPv = min=