Esercizi sulle successioni

Valentina Casarino - Esercizi sulle successioni7) Calcolare i limiti delle seguenti successioni:(a) 2n3 − 1n + 5(b) √ (g) (1 + (−1) n ) · n (−1)n+1n 2 − 2 − n(h) n [ 1 n ]−1(c) 101010 n 7 + n 6 + 13n 5 − 59n 3 + n 2 + 122( ) n19n 7 + n 5 − 135n 4 + 12(i) (2n 2 2− π) · ( )cos 2nn(d)n4( ) n 3(e)(−1) n (l) (1 + (−1) n ) · n (−1)nπ((f)(−1) n π) n (m) M(√ n 2 − 1)√ n + 538) Calcolare il limite delle seguenti successioni:√n2 + 1 + √ na n = 4√n3 + n − √ n , b n = 1 (2n − 1n 3 3x n =(1 + 3 ) n−1, y n =n + 1), c n = 2 − n3n 2 + 3 ,( n 2 ) 3n+ 102 +2(n 2 , z n = cos (−1) n n − 1 )− 5nn + 1 π .

Valentina Casarino - Esercizi sulle successioniOsserviamo ora cheperchè per n ≥ 2 si ha 13n > 1 n 5 .n 4 + 33n 5 = 13n + 1 n 5 ≤ 23n ,A questo punto, il problema è stato ulteriormente semplificato, ed è sufficiente determinare un numerointero n ε tale chen > n ε ⇒ 23n < ε .Scegliendo n ε = [ 23ε]+ 1, dove [·] denota la parte intera, e ricordando chex − 1 < [x] ≤ xper ogni x ∈ R, si ottiene infine chen > n ε ⇒ n > 2 3ε ,da cui segue la tesi.3) Occorre dimostrare che per ogni A > 0 esiste un numero naturale n A tale che n > n A implichi a n < −A.Sia A > 0. La condizione a n < −A equivale acioè4 − n 2< A ,nn 2 + An − 4 > 0 .Questa disequazione è soddisfatta per n < −A−√ A 2 +162(ma questo caso non va considerato, perchènon esiste nessun numero naturale siffatto) oppure per n > −A+√ A 2 +162. Scegliendo[−A − √ ]An A :=2 + 16+ 1 ,2si verifica allora che n > n A ⇒ a n < −A.4) Ricordiamo che una successione {a n } si dice limitata se esiste un numero M ≥ 0 tale che |a n | ≤ Mper ogni n ∈ dom({a n }).(a) Dimostriamo che la successione { 2n2 −1n} non è limitata. È sufficiente mostrare che per ogni M > 0esiste un indice n M ∈ N tale che a nM > M.La condizione a n > M equivale a 2n2 −1n> M, cioè2n 2 − Mn − 1 > 0 .È allora sufficiente scegliere un numero naturale n M > M+√ M 2 +84, per avere a nM > M.(b) Osserviamo innanzitutto che la successione è definita per n ≥ 2 e che per n ≥ 2 vale √ n 2 − 2 ≥√2 > 1. Posto poi an := √ n 2 − 2 − n, razionalizzando si ottienea n =−2√n2 − 2 + n .

Valentina Casarino - Esercizi sulle successioniPoichèper ogni n ≥ 2, la successione è limitata.|a n | ≤ 21 + n ≤ 2 3(c) La successione è limitata perchè per ogni n ∈ N vale∣ 2n − 1∣∣∣ ∣ n + 5 ∣ ≤ 2nn ∣ = 2 .(d) La successione è limitata perchè per ogni n ≥ 1 valecos 2n∣ n ∣ ≤ 1 n ≤ 1 .(e) La successione è limitata perchè per ogni n ≥ 0 vale( ) n ∣ ( ) 3 ∣∣∣ n 3∣ (−1)n ≤ ≤ 1 .π π5) (a) Osserviamo che la successionea n := (−1) n cos(πn)è data, per n = 2k , k ∈ N, damentre per n = 2k + 1, k ∈ N, si haAllora a nsoddisfatte.(b) Posto b n := n−235nInoltre si haa 2k := (−1) 2k cos(2kπ) = 1 · 1 ,a 2k+1 := (−1) 2k+1 cos((2k + 1)π) = −1 · (−1) = 1 .= 1 per ogni n ∈ N e la successione è sempre positiva e b) e c) sono banalmente, osserviamo che n−23 ≥ 0 per n ≥ 23.n − 235n5n≤ n + 235n≤ 1 5 + 235n ≤ 1 5 + 23 5 ≤ 24 5per ogni n ≥ 1, così che {b n } soddisfa 2) con M > 245 . Infine, per n ≥ 24 {b n} è a terministrettamente positivi eb n = 1 5 − 235n ≥ 1 5 − 235 · 24 = 1 =: m.5 · 24Quindi 3) è soddisfatta per n ≥ 24.(c) Osserviamo che la successioneè data, per n = 2k + 1 , k ∈ Z, da( π)c n := cos2 nc 2k+1 = 0 ,

Valentina Casarino - Esercizi sulle successionimentre per n = 4k, k ∈ Z, si hac 4k = cos(2kπ) = 1e per n = 4k + 2, k ∈ Z, si hac 4k+2 = cos(2kπ + π) = −1 .Allora 1) non è soddisfatta definitivamente, perchè c 4k+2 = cos(2kπ + π) = −1 per ogni k ∈ Z;2) è soddisfatta per M > 1, mentre 3) non è soddisfatta perchè c 4k+2 = −1.6) a) La successione {n 2 sin ( π2 n) } non è monotona, perchè, posto a n := n 2 sin ( π2 n) , per n ∈ N parisi ha a n = 0, per n dispari a n vale alternativamente n 2 o −n 2 .b) Sia ora b n := nnn!. Verifichiamo che la successione è crescente, cioè che per ogni n ≥ 1 valeQuesta condizione è equivalente ache si può scrivere comecioè ancora semplificandoSi ottiene infine1 ≤ovviamente verificata per ogni n ≥ 1.n nn!(n + 1)!n!b n ≤ b n+1 .≤(n + 1)n+1(n + 1)!≤(n + 1) ≤(n + 1)nn n =,(n + 1)n+1n n ,(n + 1)n+1n n .( ) n n + 1,n7) (a) Raccogliendo la potenza di grado più elevato al numeratore e al denominatore si ottiene2n 3 − 1n + 5 = n3 · (2 − 1 n 3 )n(1 + 5 n ) = n 2 · 2 − 1 n 31 + 5 ndal momento che n 2 → +∞ e la frazione tende a 2 per n → +∞.(b) Razionalizzando, si ottienePoichè l’espressione√n2 − 2 − n ==⇒ +∞ ,√ (√ n2 − 2 + nn2 − 2 − n)· √n2 − 2 + n = n2 − 2 − n 2√n2 − 2 + n−2√n2 − 2 + n =−2(√n · 1 − 2 n+ 1 2√1 − 2 n 2 + 1 tende a 2 per n → +∞, la successione data converge a zero.(c) La successione data converge a 10101019per n → +∞ (si ragiona come in a)).(d) La successione {cos 2nn} tende a zero, perchècos 2n∣ n∣ ≤ 1 n).

Valentina Casarino - Esercizi sulle successioniper ogni n ≥ 1.( ) n 3e) La successione {(−1) n } converge a zero, perchèπ ( ) n ∣ ) 3 ∣∣∣ n ∣ ∣ (−1)n ≤ ∣ 3 ∣∣∣nπ ∣(=3π ∣π∣ .Si ricorda che la successione{α n }converge a zero se |α| < 1, diverge a +∞ se α > 1, converge a 1 se α = 1 ed è indeterminata seα ≤ −1. In questo caso, α = 3( π< 1, da cui la tesi.(f) La successione {(−1) n π) n}è indeterminata, perchè per n pari il termine ennesimo è uguale3a ( )π n, (3 per n dispari a {− π) n}.3(g) PoniamoPer n = 2k , k ∈ N, si haPer n = 2k + 1 si ha inveceper ogni k ∈ N. Poichèa n := (1 + (−1) n ) · n (−1)n+1 .a 2k := 2 · (2k) −1 = 1 k .a 2k+1 = 0 · (2k + 1) = 0a 2k → 0 ,la successione converge a zero per n → +∞.(h) Osserviamo che per n > 1 si ha 1 n∈ (0, 1), da cui[ 1 n ] = 0 .Allora per n > 1 si han [ 1 n ]−1 = n −1 ,quindi la successione data converge a zero.( n(i) Ricordiamo che dati n e k in N il coefficiente binomialek)è definito da( nk)n!=k!(n − k)! .Allora( n2( n4)) =n! 4! · (n − 4)! 4 · 3 · 2! · (n − 4)!· =2! · (n − 2)! n! 2! · (n − 2)(n − 3)(n − 4)! = 4 · 3(n − 2)(n − 3) ,

Valentina Casarino - Esercizi sulle successionicosì che)( n(2n 2 2− π) · ( n4) = (2n 2 − π) ·4 · 3(n − 2)(n − 3) → 24 .(l) Poniamob n := (1 + (−1) n ) · n (−1)n .In questo caso, per n = 2k , k ∈ N, si haa 2k := 2 · 2k = 4k .Per n = 2k + 1 si ha invecea 2k+1 = 0 · (2k + 1) −1 = 0per ogni k ∈ N. La successione è quindi indeterminata.(m) Ricordiamo che per ogni x ∈ R vale0 ≤ M(x) < 1 .Alloraper ogni n ∈ N, da cui0 ≤ M( √ n 2 − 1) < 10 ≤ M(√ n 2 − 1)√ n + 5≤1√ n + 5.La successione converge quindi a zero.8) a n → +∞, b n → 4 3 , c n → −∞, x n → e 3 , y n → +∞, z n → −1.