§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 176§ 19.1 Isomorfismi proiettivi e proiettività(19.17) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V ) →P(W ) si dice proiettiva se esiste un omomorfismo iniettivo di spazi vettoriali F : V → W taleche per ogni v ∈ V si ha f([v]) = [F (v)].V {0}P(V )FfW {0} P(W )Si dice che F induce la funzione f. Se f ammette una inversa proiettiva g (cioè una funzioneg : P(W ) → P(V ) indotta da un omomorfismo iniettivo G: W → V tale che gf =1 P(V ) efg =1 P(W ) ), allora è detto un isomorfismo proiettivo. In questo caso si dice che P(V ) e P(W )sono isomorfi. Se V = W (e quindi P(V )=P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si diceproiettività.Osserviamo che diverse F possono indurre la stessa funzione proiettiva f : P(V ) → P(W ):infatto se F : V → W induce f, allora anche λF , per λ ≠0, λ ∈ K, induce la stessa f.(19.18) Due omomorfismi F, G: V → W iniettivi inducono la medesima f : P(V ) → P(W )se e soltanto se esiste λ ∈ K ∗ tale che G = λF . La funzione f è un isomorfismo se e soltantose F : V → W è un isomorfismo di spazi vettoriali, per una qualsiasi F che induce f.Dimostrazione. Abbiamo già visto che se G = λF , allora inducono la stessa f. Viceversa, seF e G inducono la medesima f, allora per ogni v ∈ V deve esistere λ v ∈ K ∗ tale cheSe v e w sono due vettori di V , allorae dunqueG(v) =λ v F (v).G(v + w) =λ (v+w) F (v + w),G(v)+G(w) =λ (v+w) (F (v)+F (w).Ma G(v) =λ v F (v), G(w) =λ w F (w), e quindi deve essereλ v F (v)+λ w F (w) =λ (v+w) F (v)+λ (v+w) F (w).Se v e w sono linearmente indipendenti, allora anche F (v) e F (w) lo sono, e quindiλ v = λ (v+w) = λ w .Se v e w sono linearmente dipendenti, allora è facile vedere che λ v = λ w . Quindi esiste λ (chenon dipende da v) tale che G(v) =λF (v) per ogni v ∈ V .