§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 174omogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n − d) × (n + 1) (unafunzione lineare M : K n+1 → K n−d ) di rango n − d tale cheV = {v ∈ K n+1 : M(v) =0}.L’intersezione A n 0(K) ∩ L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] di A n 0(K) taliche⎡ ⎤1x 1M(⎢x 2⎥⎣. . . ⎦ )=0.x nMa M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matriceper un vettore, e quindi esistono coefficienti b i , a i,j tali che i punti di A n 0(K) ∩ L sono tutti esoli i punti di coordinate (x 1 ,x 2 , . . . , x n ) tali che⎡ ⎤⎡⎤ 1 ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,nb 2 a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 10⎢⎣.. . . ..⎥x 2= ⎢ ⎥. ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎣ . ⎦0. ⎦b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n 0x nil che è equivalente a scrivere che⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,n x 1 0b 2⎢ ⎥⎣ . ⎦ + a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 2⎢⎣ . ...⎥ ⎢ ⎥. . ⎦ ⎣ . ⎦ = ⎢ ⎥⎣0. ⎦ .b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n x n 0L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare che si tratta di unospazio affine di dimensione d, basta osservare che il rango della matrice (a i,j ) è proprio n − d.Infatti, il rango della matrice (a i,j ) può essere uguale soltanto a n−d e n−d−1, dal momentoche la matrice (a i,j ) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (b i ,a i,j )(che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango è uguale a n − d − 1, allora il vettore (b i )non è combinazione lineare dei vettori colonna di (a i,j ), e quindi il sistema non ha soluzioni.Quindi deve necessariamente essere uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d.Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e quindi l’insieme disoluzioni di Ax + b =0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che lamatrice M =(b i ,a i,j ) ha rango n − d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensioned +1tale che P(V )=L cercato.qed