§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 186*(10.26) Sia A n (K) ⊂ P n (K) una carta affine e T : A n (K) → A n (K) una affinità. Determinare(in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda A n (K) in sé(e quindi l’iperpiano dei punti impropri in sé) e che ristretta a A n (K) sia proprio uguale a T .(Suggerimento: Si scriva T come x ↦→ Ax + b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare lamatrice F corrispondente della proiettività (che sarà una matrice (n + 1) × (n + 1)), si osservache se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di F ha un solo terminenon zero. . . e a meno di moltiplicare F per una costante si può supporre questo termine ugualea 1 . . . poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare cone matrici 3 × 3 all’inizio. )*(10.27) Mostrare che SO(3) ≈ P 3 (R). (utilizzare l’esercizio (6.30 ) a pagina 109)