§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 184Esercizi: foglio 10(10.1) Dimostrare che la definizione (19.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite mediantel’azione del gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemiottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (19.4), cioè P(V ) èl’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .(10.2) Dimostrare che P 1 (R) è omeomorfo alla circonferenza S 1 .*(10.3) Dimostrare che P 1 (C) è omeomorfo alla sfera S 2 .*(10.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi P n (R) e P n (C), per n ≥ 1, sono compatti.(Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di R n+1 {0} conl’azione del gruppo moltiplicativo R ∗ , si può considerare il quoziente solo della sfera S n ⊂ R n+1di equazione x 2 0 +x 2 1 +· · ·+x 2 n, che è compatta. . . e quindi l’immagine di un compatto mediantela mappa (continua) quoziente è . . . )(10.5) Dimostrare che A 2 (R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P 2 (R) si puòscrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito(che, siccome è omeomorfa a P 1 (R), è omeomorfa a una circonferenza S 1 ).(10.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d è omeomorfoallo spazio proiettivo P d (K).(10.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P 2 (R). Dimostrare che nonsono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono puntiimpropri per la carta affine {[1 : x : y] :x, y ∈ R} ⊂ P 2 (R)?(10.8) Si consideri il piano proiettivo P 2 (R) con carta affine A 2 (R) ={[1 : x : y]} comenell’esercizio precedente. Esiste una retta in A 2 (R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e[0 : 0 : 1]?(10.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, inqualsiasi chiusura proiettiva.(10.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P 2 (K) hanno sempre uno e unsolo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).(10.11) Dimostrare che due rette parallele di A 2 (K) hanno lo stesso punto all’infinito inqualsiasi chiusura proiettiva di A 2 (K) (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinitodistinti si devono incontrare).(10.12) Dimostrare che per due punti distinti di P n (K) passa e una sola retta (sottospazioproiettivo di dimensione 1).