§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 180(19.30) Esempio. Siano A una matrice n × n a coefficienti in K, b e c due vettori di K n ,eK il campo degli scalari. La proiettività (ricordare il prodotto di matrici a blocchi)[ [ ] [ ]x A b x Ax + ub↦→u]c d][ t =u c t x + udin coordinate affini si scrivecioè[ [1]x (Ax + b)↦→1]c t x + d ,1x ↦→ Ax + bc t x + d .Quando c = 0 (deve essere d ≠ 0 dato che la matrice completa è invertibile), non è altro cheuna trasformazione affine. Altrimenti, manda l’iperpiano (affine) di equazione c t x + d =0all’infinito.In generale, una proiettività f di P(V ) in sé induce una corrispondenza biunivoca tra gliiperpiani di V (o, equivalentemente, gli iperpiani di P(V )) in sé. Se f manda l’iperpianoall’infinito in sé, allora deve essere c = 0. Se invece c ≠ 0, non può mandare l’iperpianoall’infinito in sé. Cioè, manda l’iperpiano all’infinito in sé se e solo se c = 0. In altreparole, le trasformazioni affini di A n 0(K) ⊂ P n (K) sono le restrizioni alla parte affine A n 0(K) ditutte quelle proiettività di P n (K) che mandano l’iperpiano all’infinito in sé (si veda l’esercizio(10.26)).(19.31) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva E 3 sul piano z =0, con fuoco in (0, 0, 1):la linea⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 x⎣0⎦ + t ⎣ y ⎦1 z − 1passa per (x, y, z) e (0, 0, 1), e incontra il piano z =0per t = 1 , quindi la proiezione è1 − z⎡ ⎤ ⎡xx ⎤⎣y⎦ ↦→ ⎣1 − zy ⎦z 1 − zIn coordinate omogenee diventa la funzione lineare[x : y : z : u] ↦→ [x : y : 0 : u − z].(19.32) Esempio. Proviamo a invertire la funzione S 2 → P 1 (C) definita nell’esempio (19.5),(x, y, z) ∈ 2 ↦→ [1 − z : x + iy] =[x − iy : 1 + z] ∈ P 1 (C).