Â§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

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Geometria I 178§ 19.2 Incidenza e parallelismo(19.22) Definizione. Così come nella definizione (14.6), presi d +1punti [p 0 ], [p 1 ], . . . , [p d ]di P n (K) si può definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme ditutte le combinazioni lineari[λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + · · · + λ d p d ]con i coefficienti λ i ∈ K non tutti nulli. I punti [p i ] ∈ P n (K) si dicono linearmente dipendentise i corrispondenti vettori p i ∈ K n+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendentise lo sono i vettori.(19.23) Se S, T ⊂ P n (K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T ) ≥ n, alloraS ∩ T ≠ ∅, cioè S e T sono incidenti.Dimostrazione. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di K n tali che P(V )=S ⊂ P(K n+1 )e P(W )=T ⊂ P(K n+1 ). Per definizione si ha dim(S) = dim(V ) − 1, dim(T ) = dim(W ) − 1.Per la formula di Grassmann si ha dim(V + W ) + dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ), e quindidim(V ) + dim(W ) − dim(V ∩ W ) ≤ n + 1 = dim(K n+1 ).Dato che dim(S ∩ T ) + 1 = dim(V ∩ W ), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo sedim(V ∩ W ) ≥ 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T ) ≥ n sihadim(S ∩ T ) = dim(V ∩ W ) − 1e quindi la tesi.≥ (dim V + dim W − n − 1) − 1= (dim S + 1 + dim T +1− n − 1) − 1≥ 0,(19.24) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P 2 (K) si incontrano sempre inun unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P 3 (K), siincontrano sempre in un unico punto.Dimostrazione. Per (19.23) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo puntoosserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazioproiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti.Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi(10.12) e (10.15)). qed(19.25) Nello spazio proiettivo P n (K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno unpunto in comune.Dimostrazione. Di fatto si tratta di n sottospazi di K n+1 di dimensione n (codimensione 1),cioè di n equazioni (omogenee) nelle n +1coordinate di K n+1 . La dimensione dello spazio disoluzioni è sempre almeno 1.qedqed
Geometria I 179(19.26) Se H ⊂ P n (K) è un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni retta passante perP incontra H esattamente in un punto.Dimostrazione. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ⊂ K n+1 . Dire che P =[p] ∈P n (K) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sial una retta per P , cioè l = P(W ), con W ⊂ K n+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, eP =[p] ∈ l, cioè p ∈ W . Dato che la somma delle dimensioni dim(l) + dim(K) è esattamenten, per (19.23) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune.Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V ∩ W sarebbe≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H. Ma questo non può essere dato che P ∉ H (vedi ancheesercizio (10.15)).qed(19.27) Nota. Mediante (19.26) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione proiettandonon solo parallelamente (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), maanche proiettando da un punto di P n (K). Vediamo come: se Q ∈ P n (K) è un punto fissatoe H e H ′ due iperpiani di P n (K) che non contengono Q, per ogni [x] ∈ H esiste una (unica)retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H ′ in un unico punto, che chiamiamof([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H ′ (chiamata anche proiezione prospettica,oprospettiva, di H su H ′ ). È un isomorfismo proiettivo tra H e H ′ . Per mostrarequesto, osserviamo che H = P(V ) e H ′ = P(V ′ ) con V e V ′ sottospazi di K n+1 di dimensionen. La funzione f è un isomorfismo proiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo dispazi vettoriali) che induce f. Ora, sia q ∈ K n+1 un vettore per cui [q] =Q. Dal momentoche q ∉ V ′ , si può scrivere K n+1 come somma (diretta) di sottospazi vettorialiK n+1 = 〈q〉⊕V ′e di conseguenza si può definire la proiezione π : K n+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q(meglio, del sottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di π a V èanch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V → K n+1 →V ′ , che è un isomorfismo dato che q ∉ V . Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si ha[F (x)] = f([x]). La retta per [x] e Q è il sottospazio (di dimensione 2) generato da x e da q. Èchiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con la sua proiezione mediante π definita sopra(che proietta su V ′ ), dato che la proiezione è parallela a q e [q] =Q è un punto della retta (equindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da F (x).(19.28) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezioneprospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpianiaffini).(19.29) Esempio. Proiettività P 1 (R) → P 1 (R) (circonferenza): in coordinate affini sono.. . Proiettività P 1 (C) → P 1 (C) (sfera di Riemann): corrispondono in coordinate affini alletrasformazioni di Möbiusz ↦→ az + bcz + dper ad − bc ≠0. Sottogruppo modulare: con coefficienti interi.
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