§ 19 Spazi proiettivi - Matematica e Applicazioni

Geometria I 169Figura 10: Piero Della Francesca (1415 – 1492), Pala di Brera / Pala Montefeltro§ 19 Spazi proiettiviCfr: Sernesi, Vol I, cap 3 [1].(19.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Lo spazio proiettivo generatoda V (il proiettivizzato di V , denotato con P(V )), è il quoziente di V {0} con la relazionedi equivalenza v ∼ w ⇐⇒ ∃λ ∈ K ∗ = K {0} : w = λv. La dimensione di P(V ) è uguale adim(V ) − 1.(19.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale K n+1 didimensione n +1. Il proiettivo associato si indica con P n (K) (dunque P n (R) e P n (C) indicanolo spazio proiettivo reale e complesso di dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), cosìcome A n (K) ha la topologia generata da quella di K, anche P n (K) ha una topologia naturale:la topologia quoziente.(19.3) Nota. Osserviamo che la definizione (19.1) può essere data anche in termini di gruppidi trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli K ∗ = K {0} è un gruppo rispetto all’operazionedi moltiplicazione (gruppo moltiplicativo), che agisce su V {0} (moltiplicazione peruno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzato P(V ) è uguale allo spazio delle K ∗ -orbiteP(V )=V {0}/ K ∗.

Geometria I 170Figura 11: Raffaello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene

Geometria I 171Se V ha dimensione 1, allora V ∼ = K e V {0} ∼ = K {0}; non è difficile vedere che quindiP(V ) è costituito da un elemento solo.(19.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: P(V ) è l’insiemedi tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizionecoincide con la definizione (19.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca).(19.5) Esempio. La retta proiettiva P 1 (R) =P(R 2 ): è omeomorfa a una circonferenza quozientatarispetto alla relazione di equivalenza x ∼−x, oppure ad un segmento con gli estremiidentificati (cfr. esercizio (10.2) a pagina 184). Quanti punti ha la retta proiettiva P 1 (Z p ),con p ∈ N primo? E a cosa è omeomorfa la retta proiettiva P 1 (C) =P(C 2 ). Osserviamo che(z 0 ,z 1 ) ∼ (z ′ 0,z ′ 1) se e soltanto se esiste λ ∈ C ∗ tale che z ′ i = λz i per i =0, 1. Se z 0 =0, alloraz 1 ≠0e quindi (0,z 1 ) ∼ (0, 1) dato che z 1 = λ · 1 con λ = z 1 . Se z 0 ≠0, allora nello stessomodo(z 0 ,z 1 ) ∼ (1, z 1z 0).Quindi in P 1 (C) ci sono i punti del tipo [(1,w) con w ∈ C e il punto [(0, 1)]. Con la proiezionestereografica possiamo definire una funzione S 2 {(0, 0, 1)} → R 2 , comeQuesta si estende ad una funzione(x, y, z) ∈ S 2 {(0, 0, 1)} ⊂ R 3 x↦→ (1 − z , y1 − z ) ∈ R2 .(x, y, z) ∈ S 2 ↦→ [(1, x + iy1 − z )] ∈ P1 (C) ?Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni x, y, z ∈ R con x 2 + y 2 + z 2 =1ez ≠1(da cui segue che x 2 + y 2 =1− z 2 ≠0) si ha(1, x + iy ) ∼ (1 − z, x + iy)1 − z∼ (1 − z 2 , (1 + z)(x + iy))∼ (x 2 + y 2 , (1 + z)(x + iy))∼ ((x − iy)(x + iy), (1 + z)(x + iy))∼ (x − iy, 1+z).Da questo segue che la risposta è affermativa (lo si svolga per esercizio: (10.2) a pagina 184).Nello stesso esercizio dimostrare che la funzione appena definita è un omeomorfismo.(19.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo P n (K) di dimensione n su campo K.Un punto di x ∈ K n+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate x i ∈ K(x 0 ,x 1 , . . . , x n ).

Geometria I 172Se x ≠0(cioè non tutte le coordinate x i sono nulle), la classe di equivalenza di x si puòindicare con [x] ∈ P n (K). Le coordinate x i di x si chiamano coordinate omogenee, e si scrive[x] = [x 0 : x 1 : · · · : x n ](19.7) Siano p =[p 0 : p 1 : · · · : p n ] e q =[q 0 : q 1 : · · · : q n ] due punti di P n (K). Allora p = qse e solo se esiste λ ∈ K {0} tale che∀i =0, . . . n, q i = λp i .Dimostrazione. È una conseguenza immediata della definizione (19.1).(19.8) La funzionej 0 : A n (K) → P n (K),definita da(x 1 ,x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ]è iniettiva. La sua immagine èqede si può definire l’applicazione inversaj 0 (A n (K)) = {[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p 0 ≠0},{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p 0 ≠0}→ A n (K)[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0).Dimostrazione. È ovvio che j 0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare chel’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su {p 0 ≠0}). Infatti, la composizione(x 1 ,x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] ↦→ ( x 11 , x 21 , . . . , x n1 )è chiaramente l’identità di A n (K), mentre la composizione[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) ↦→ [1 : p 1p 0: p 2p 0: · · · : p np 0]è l’identità dato che esiste λ = p 0 ≠0, λ ∈ K {0} tale cheλ(1, p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) = (p 0 ,p 1 , . . . , p n ).(19.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j 0 considerandonon la prima coordinata (p 0 ), ma una qualsiasi delle n +1 coordinate di K n+1 . In questomodo possiamo “includere” lo spazio affine A n (K) nello spazio proiettivo P n (K) in almenon +1modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinate in K n+1 e in A n (K) si possonotrovare infiniti modi di definire tale inclusione.qed

Geometria I 173(19.10) Definizione. Per ogni i =0, . . . , n il sottoinsieme di P n (K) definito da{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) :p i ≠0}si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simbolo A n i (K). È il complementare delsottospazio definito dall’equazione p i =0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o puntiall’infinito. I punti della i-esima carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anchecoordinate affini relative a i, mediante l’applicazione inversa j −1i .j −1i :[p 0 : p 1 : . . . : p n ]=[ p 0: · · · : p i−1:1: p i+1p i p i p i↦→ ( p 0, . . . , p i−1p ip i, p i+1p i: · · · : p np i], . . . p np i)Nota 1. Abbiamo quindi che P n (K) è l’unione disgiunta dei due sottospaziP n (K) ={[x] ∈ P n (K) :x 0 ≠0}∪{ [x] ∈ P n (K) :x 0 =0}= A n 0(K) ∪ P n−10 (K),dove A n 0(K) è la parte affine e P n−10 (K) è il sottospazio dei punti all’infinito, opunti impropridi P n (K). La scelta della coordinata x 0 , x i in realtà può essere vista come la scelta di uniperpiano (di codimensione 1) di punti impropri per P n (K).(19.11) Definizione. Sia V ⊂ K n+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale K n+1 .Allora è ben definita l’inclusioneP(V ) ⊂ P n (K).Il sottospazio P(V ) ⊂ P n (K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di P n (K) didimensione dim(P(V )) = dim(V ) − 1.(19.12) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quellidi dimensione 2 piani, quelli di dimensione n − 1 (codimensione 1) iperpiani.(19.13) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di P n (K) di dimensione d, allora perogni carta affine A n i (K) ⊂ P n (K) l’intersezione A n i (K) ∩ L, se non vuota, è un sottospazioaffine di A n i (K) ∼ = A n (K) di dimensione d. Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂ A n i (K)di dimensione d esiste un sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d tale che S =A n i (K) ∩ L.Dimostrazione. Sia V ⊂ K n il sottospazio vettoriale per cui P(V )=L. Senza perdere ingeneralità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i =0. Come abbiamo giànotato nella dimostrazione di (15.12), è sempre possibile scrivere V come luogo degli zeri diuna applicazione lineare (suriettiva) K n+1 → K n−d , cioè come sistema di n − d equazioni(omogenee e indipendenti) nelle n +1 incognite (le coordinate di K n+1 , cioè le coordinate

Geometria I 174omogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n − d) × (n + 1) (unafunzione lineare M : K n+1 → K n−d ) di rango n − d tale cheV = {v ∈ K n+1 : M(v) =0}.L’intersezione A n 0(K) ∩ L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] di A n 0(K) taliche⎡ ⎤1x 1M(⎢x 2⎥⎣. . . ⎦ )=0.x nMa M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matriceper un vettore, e quindi esistono coefficienti b i , a i,j tali che i punti di A n 0(K) ∩ L sono tutti esoli i punti di coordinate (x 1 ,x 2 , . . . , x n ) tali che⎡ ⎤⎡⎤ 1 ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,nb 2 a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 10⎢⎣.. . . ..⎥x 2= ⎢ ⎥. ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎣ . ⎦0. ⎦b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n 0x nil che è equivalente a scrivere che⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,n x 1 0b 2⎢ ⎥⎣ . ⎦ + a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 2⎢⎣ . ...⎥ ⎢ ⎥. . ⎦ ⎣ . ⎦ = ⎢ ⎥⎣0. ⎦ .b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n x n 0L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare che si tratta di unospazio affine di dimensione d, basta osservare che il rango della matrice (a i,j ) è proprio n − d.Infatti, il rango della matrice (a i,j ) può essere uguale soltanto a n−d e n−d−1, dal momentoche la matrice (a i,j ) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (b i ,a i,j )(che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango è uguale a n − d − 1, allora il vettore (b i )non è combinazione lineare dei vettori colonna di (a i,j ), e quindi il sistema non ha soluzioni.Quindi deve necessariamente essere uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d.Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e quindi l’insieme disoluzioni di Ax + b =0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che lamatrice M =(b i ,a i,j ) ha rango n − d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensioned +1tale che P(V )=L cercato.qed

Geometria I 175(19.14) Nota. Come segue da (19.13), lo spazio proiettivo P n (K) può essere pensato comel’unione di uno spazio affine A n 0(K) con coordinate [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] più un iperpiano dipunti all’infinito (i punti impropri) di coordinate [0 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] (cfr. la nota 1 a pagina173). I sottospazi proiettivi di P n (K) sono quindi i sottospazi affini in A n 0(K) cui sono statiaggiunti i loro punti all’infinito.(19.15) Definizione. Se S ⊂ A n (K) è un sottospazio affine e A n (K) ∼ = A n i (K) ⊂ P n (K) èuna carta affine, il sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) tale che A n i (K)∩L = S della proposizioneappena dimostrata si dice il completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di L.(19.16) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta S diA 2 (R) di equazione x 1 +x 2 =1. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo A 2 (R)come carta affine di P 2 (R), con coordinate [1 : x 1 : x 2 ]. Per trovare la chiusura proiettiva diS in P 2 (R) dobbiamo trovare una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate [z 0 : z 1 :z 2 ], che definisca un sottospazio vettoriale di R 3 di dimensione 2 (che corrisponde alla rettaproiettiva L cercata). Cioèb 1 z 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 =0in modo tale cheb 1 · 1+a 1 x 1 + a 2 x 2 =0sia l’equazione di S nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come−1+x 1 + x 2 =0,e quindi definire b 1 = −1, a 1 =1, a 2 =1. La retta proiettiva L ha quindi equazione−z 0 + z 1 + z 2 =0nelle coordinate omogenee [z 0 : z 1 : z 2 ] di P 2 (R). I punti all’infinito sono le intersezioni di Lcon la retta impropria di equazione z 0 =0, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema{−z 0 + z 1 + z 2 =0z 0 =0che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : −1] (che possiamoscrivere come [0 : t : −t] per ogni con t ≠0).

Geometria I 176§ 19.1 Isomorfismi proiettivi e proiettività(19.17) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V ) →P(W ) si dice proiettiva se esiste un omomorfismo iniettivo di spazi vettoriali F : V → W taleche per ogni v ∈ V si ha f([v]) = [F (v)].V {0}P(V )FfW {0} P(W )Si dice che F induce la funzione f. Se f ammette una inversa proiettiva g (cioè una funzioneg : P(W ) → P(V ) indotta da un omomorfismo iniettivo G: W → V tale che gf =1 P(V ) efg =1 P(W ) ), allora è detto un isomorfismo proiettivo. In questo caso si dice che P(V ) e P(W )sono isomorfi. Se V = W (e quindi P(V )=P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si diceproiettività.Osserviamo che diverse F possono indurre la stessa funzione proiettiva f : P(V ) → P(W ):infatto se F : V → W induce f, allora anche λF , per λ ≠0, λ ∈ K, induce la stessa f.(19.18) Due omomorfismi F, G: V → W iniettivi inducono la medesima f : P(V ) → P(W )se e soltanto se esiste λ ∈ K ∗ tale che G = λF . La funzione f è un isomorfismo se e soltantose F : V → W è un isomorfismo di spazi vettoriali, per una qualsiasi F che induce f.Dimostrazione. Abbiamo già visto che se G = λF , allora inducono la stessa f. Viceversa, seF e G inducono la medesima f, allora per ogni v ∈ V deve esistere λ v ∈ K ∗ tale cheSe v e w sono due vettori di V , allorae dunqueG(v) =λ v F (v).G(v + w) =λ (v+w) F (v + w),G(v)+G(w) =λ (v+w) (F (v)+F (w).Ma G(v) =λ v F (v), G(w) =λ w F (w), e quindi deve essereλ v F (v)+λ w F (w) =λ (v+w) F (v)+λ (v+w) F (w).Se v e w sono linearmente indipendenti, allora anche F (v) e F (w) lo sono, e quindiλ v = λ (v+w) = λ w .Se v e w sono linearmente dipendenti, allora è facile vedere che λ v = λ w . Quindi esiste λ (chenon dipende da v) tale che G(v) =λF (v) per ogni v ∈ V .

Geometria I 177Ora, se f è un isomorfismo proiettivo (indotta da F ), allora esiste la sua inversa g (indottada G). La composizione GF induce l’identità di P(V ), la composizione FG induce l’identitàdi P(W ), e quindi devono esistere λ e λ ′ tali cheGF = λ1 V , F G = λ ′ 1 W ,e F deve essere un isomorfismo di spazi vettoriali.(19.19) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K) sono isomorfi, percui due spazi proiettivi sullo stesso campo e con la stessa dimensione sono isomorfi. Quindisenza perdere in generalità si può sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo K siaP n (K). Se indichiamo con GL(V ) il gruppo di tutti gli isomorfismi dello spazio vettorialeV in sé e P GL(V ) il gruppo di tutte le proiettività di P(V ) in sé, si ha un omomorfismo(di gruppi) GL(V ) → P GL(V ) suriettivo (per definizione) ma non necessariamente iniettivo.Come abbiamo visto prima, il suo nucleo è proprio dato dall’insieme di tutti i multipli di 1 V(identità di V ) del tipo λ1 V , con λ ∈ K ∗ . Possiamo ripetere passo per passo l’argomentousato: se A: V → V induce l’identità P(V ) → P(V ), allora per ogni v ∈ V si ha Av = λ v vper un certo λ v ∈ K (che potrebbe dipendere da v), λ v ≠0: cioè tutti i vettori di V sonoautovettori per A. Ora, se v ′ = v + w, si haAv ′ = Av + Aw=⇒ λ v ′v ′ = λ v v + λ w w=⇒ λ v ′(v + w) =λ v v + λ w w=⇒ (λ v ′ − λ v )v +(λ v − λ w )w =0,e quindi quando v e w sono linearmente indipendenti deve essere λ v = λ v ′ = λ w . Dato cheautovettori linearmente dipendenti hanno sempre lo stesso autovalore, deduciamo che λ v nondipende da v, e quindi che Av = λv, cioè A = λ1 V .Le matrici del tipo λ1 V costituiscono il centro di GL(V ). Il centro di GL(n, K) ∼ = GL(V )è il sottogruppo di tutte le matrici A tali che AB = BA per ogni B ∈ GL(V ). Sia ora E ijuna matrice con coefficienti ovunque 0 tranne 1 al posto ij, con i ≠ j. La matrice I + E ijha determinante 1, e quindi è invertibile. In particolare, se A è nel centro di GL(V ), deveessere A(I + E ij ) = (I + E ij )A per ogni scelta di ij, e quindi AE ij = E ij A. Ma AE ij è unamatrice che ha zeri ovunque tranne nella colonna j-esima (dove compare la i-esima colonna diA). Invece, E ij A ha zeri ovunque tranne nella riga i-esima (dove compare la j-esima riga diA). Quindi la matrice AE ij = E ij A ha tutti zeri tranne nel posto ij; nella j-esima colonna c’èla i-esima colonna di A, che quindi deve avere tutti zero tranne il coefficiente a ii , che comparein AE ij al posto ij; nella i-esima riga di AE ij c’è la j-esima riga di A, che quindi deve averetutti zero tranne il coefficienti a jj , che compare in AE ij al posto ij. Quindi A è una matricediagonale con a 11 = a 22 = . . . = a nn , cioè A = λI.(19.20) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S ′ ⊂ P n (K) sono proiettivamente equivalentise esiste una proiettività f : P n (K) → P n (K) tale che f(S) =S ′ .(19.21) Esempio. Quali insiemi di 2 punti sono proiettivamente equivalenti in P 1 (R)? Qualiin P 1 (C)?qed

Geometria I 178§ 19.2 Incidenza e parallelismo(19.22) Definizione. Così come nella definizione (14.6), presi d +1punti [p 0 ], [p 1 ], . . . , [p d ]di P n (K) si può definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme ditutte le combinazioni lineari[λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + · · · + λ d p d ]con i coefficienti λ i ∈ K non tutti nulli. I punti [p i ] ∈ P n (K) si dicono linearmente dipendentise i corrispondenti vettori p i ∈ K n+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendentise lo sono i vettori.(19.23) Se S, T ⊂ P n (K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T ) ≥ n, alloraS ∩ T ≠ ∅, cioè S e T sono incidenti.Dimostrazione. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di K n tali che P(V )=S ⊂ P(K n+1 )e P(W )=T ⊂ P(K n+1 ). Per definizione si ha dim(S) = dim(V ) − 1, dim(T ) = dim(W ) − 1.Per la formula di Grassmann si ha dim(V + W ) + dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ), e quindidim(V ) + dim(W ) − dim(V ∩ W ) ≤ n + 1 = dim(K n+1 ).Dato che dim(S ∩ T ) + 1 = dim(V ∩ W ), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo sedim(V ∩ W ) ≥ 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T ) ≥ n sihadim(S ∩ T ) = dim(V ∩ W ) − 1e quindi la tesi.≥ (dim V + dim W − n − 1) − 1= (dim S + 1 + dim T +1− n − 1) − 1≥ 0,(19.24) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P 2 (K) si incontrano sempre inun unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P 3 (K), siincontrano sempre in un unico punto.Dimostrazione. Per (19.23) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo puntoosserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazioproiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti.Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi(10.12) e (10.15)). qed(19.25) Nello spazio proiettivo P n (K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno unpunto in comune.Dimostrazione. Di fatto si tratta di n sottospazi di K n+1 di dimensione n (codimensione 1),cioè di n equazioni (omogenee) nelle n +1coordinate di K n+1 . La dimensione dello spazio disoluzioni è sempre almeno 1.qedqed

Geometria I 179(19.26) Se H ⊂ P n (K) è un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni retta passante perP incontra H esattamente in un punto.Dimostrazione. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ⊂ K n+1 . Dire che P =[p] ∈P n (K) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sial una retta per P , cioè l = P(W ), con W ⊂ K n+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, eP =[p] ∈ l, cioè p ∈ W . Dato che la somma delle dimensioni dim(l) + dim(K) è esattamenten, per (19.23) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune.Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V ∩ W sarebbe≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H. Ma questo non può essere dato che P ∉ H (vedi ancheesercizio (10.15)).qed(19.27) Nota. Mediante (19.26) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione proiettandonon solo parallelamente (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), maanche proiettando da un punto di P n (K). Vediamo come: se Q ∈ P n (K) è un punto fissatoe H e H ′ due iperpiani di P n (K) che non contengono Q, per ogni [x] ∈ H esiste una (unica)retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H ′ in un unico punto, che chiamiamof([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H ′ (chiamata anche proiezione prospettica,oprospettiva, di H su H ′ ). È un isomorfismo proiettivo tra H e H ′ . Per mostrarequesto, osserviamo che H = P(V ) e H ′ = P(V ′ ) con V e V ′ sottospazi di K n+1 di dimensionen. La funzione f è un isomorfismo proiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo dispazi vettoriali) che induce f. Ora, sia q ∈ K n+1 un vettore per cui [q] =Q. Dal momentoche q ∉ V ′ , si può scrivere K n+1 come somma (diretta) di sottospazi vettorialiK n+1 = 〈q〉⊕V ′e di conseguenza si può definire la proiezione π : K n+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q(meglio, del sottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di π a V èanch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V → K n+1 →V ′ , che è un isomorfismo dato che q ∉ V . Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si ha[F (x)] = f([x]). La retta per [x] e Q è il sottospazio (di dimensione 2) generato da x e da q. Èchiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con la sua proiezione mediante π definita sopra(che proietta su V ′ ), dato che la proiezione è parallela a q e [q] =Q è un punto della retta (equindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da F (x).(19.28) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezioneprospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpianiaffini).(19.29) Esempio. Proiettività P 1 (R) → P 1 (R) (circonferenza): in coordinate affini sono.. . Proiettività P 1 (C) → P 1 (C) (sfera di Riemann): corrispondono in coordinate affini alletrasformazioni di Möbiusz ↦→ az + bcz + dper ad − bc ≠0. Sottogruppo modulare: con coefficienti interi.

Geometria I 180(19.30) Esempio. Siano A una matrice n × n a coefficienti in K, b e c due vettori di K n ,eK il campo degli scalari. La proiettività (ricordare il prodotto di matrici a blocchi)[ [ ] [ ]x A b x Ax + ub↦→u]c d][ t =u c t x + udin coordinate affini si scrivecioè[ [1]x (Ax + b)↦→1]c t x + d ,1x ↦→ Ax + bc t x + d .Quando c = 0 (deve essere d ≠ 0 dato che la matrice completa è invertibile), non è altro cheuna trasformazione affine. Altrimenti, manda l’iperpiano (affine) di equazione c t x + d =0all’infinito.In generale, una proiettività f di P(V ) in sé induce una corrispondenza biunivoca tra gliiperpiani di V (o, equivalentemente, gli iperpiani di P(V )) in sé. Se f manda l’iperpianoall’infinito in sé, allora deve essere c = 0. Se invece c ≠ 0, non può mandare l’iperpianoall’infinito in sé. Cioè, manda l’iperpiano all’infinito in sé se e solo se c = 0. In altreparole, le trasformazioni affini di A n 0(K) ⊂ P n (K) sono le restrizioni alla parte affine A n 0(K) ditutte quelle proiettività di P n (K) che mandano l’iperpiano all’infinito in sé (si veda l’esercizio(10.26)).(19.31) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva E 3 sul piano z =0, con fuoco in (0, 0, 1):la linea⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 x⎣0⎦ + t ⎣ y ⎦1 z − 1passa per (x, y, z) e (0, 0, 1), e incontra il piano z =0per t = 1 , quindi la proiezione è1 − z⎡ ⎤ ⎡xx ⎤⎣y⎦ ↦→ ⎣1 − zy ⎦z 1 − zIn coordinate omogenee diventa la funzione lineare[x : y : z : u] ↦→ [x : y : 0 : u − z].(19.32) Esempio. Proviamo a invertire la funzione S 2 → P 1 (C) definita nell’esempio (19.5),(x, y, z) ∈ 2 ↦→ [1 − z : x + iy] =[x − iy : 1 + z] ∈ P 1 (C).

Geometria I 181Se [w 1 : w 2 ] ∈ P 1 (C), con w i ∈ C, se poniamo w = w 2(per w 2 ≠0) si ha [1 : w] = [1 : w 2ww 1] e1quindi basta invertire la proiezione stereografica ed ottenere⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩x = 2R(w)|w| 2 +1y = 2I(w)|w| 2 +1z = |w|2 − 1|w| 2 +1⇐⇒x = 2R(w 2/w 1 )|w 2 /w 1 | 2 +1y = 2I(w 2/w 1 )|w 2 /w 1 | 2 +1z = |w 2/w 1 | 2 − 1|w 2 /w 1 | 2 +1x = 2R(w 2/w 1 )|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2 = 2R(w 2w 1 )|w 2 | 2 + |w 1 | 2y = 2I(w 2/w 1 )|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2 = 2I(w 2w 1 )|w 2 | 2 + |w 1 | 2z = |w 2| 2 −|w 1 | 2|w 2 | 2 + |w 1 | 2Se quindi scriviamo w 1 = a + ib, w 2 = c + id, la mappa si scrive1 (h(a, b, c, d) =2R((c + id)(a − ib)), 2I((c + id)(a − ib)),c 2 + d 2 − a 2 − b 2)a 2 + b 2 + c 2 + d 21 (=2(ac + bd), 2(ad − cb),c 2 + d 2 − a 2 − b 2) .a 2 + b 2 + c 2 + d 2Osserviamo che di fatto è una mappa C 2 {0} che passa al quoziente con l’azione di C ∗ ,equindi si può restringere ad una mappa sulla sfera S 3 ⊂ R 4 definita da a 2 + b 2 + c 2 + d 2 =1comeh: S 3 → S 2 .Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata la mappa di Hopf ,o anche fibrazione di Hopf . Provare a dimostrare che le controimmagini dei punti di S 2 sonocirconferenze disgiunte in S 3 .

Geometria I 182Figura 12: Immersione (non regolare e con auto-intersezioni) del piano proiettivoin E 3 . r := 1; plot3d([r*(1+cos(v))*cos(u), r*(1+cos(v))*sin(u),-tanh(2/3*(u-Pi))*r*sin(v)], u = 0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);

Geometria I 183Figura 13: Immersione (regolare senza auto-intersezioni: superficie di Boy) delpiano proiettivo in E 3 . X := (sqrt(2)*cos(2*u)*cos(v)^2 + cos(u)*sin(2*v))/ (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Y := (sqrt(2)*sin(2*u)*cos(v)^2- sin(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Z :=3*cos(v)^2/(2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); plot3d([X, Y, Z], u = -(1/2)*Pi.. (1/2)*Pi, v = 0 .. Pi);

Geometria I 184Esercizi: foglio 10(10.1) Dimostrare che la definizione (19.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite mediantel’azione del gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemiottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (19.4), cioè P(V ) èl’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .(10.2) Dimostrare che P 1 (R) è omeomorfo alla circonferenza S 1 .*(10.3) Dimostrare che P 1 (C) è omeomorfo alla sfera S 2 .*(10.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi P n (R) e P n (C), per n ≥ 1, sono compatti.(Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di R n+1 {0} conl’azione del gruppo moltiplicativo R ∗ , si può considerare il quoziente solo della sfera S n ⊂ R n+1di equazione x 2 0 +x 2 1 +· · ·+x 2 n, che è compatta. . . e quindi l’immagine di un compatto mediantela mappa (continua) quoziente è . . . )(10.5) Dimostrare che A 2 (R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P 2 (R) si puòscrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito(che, siccome è omeomorfa a P 1 (R), è omeomorfa a una circonferenza S 1 ).(10.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d è omeomorfoallo spazio proiettivo P d (K).(10.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P 2 (R). Dimostrare che nonsono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono puntiimpropri per la carta affine {[1 : x : y] :x, y ∈ R} ⊂ P 2 (R)?(10.8) Si consideri il piano proiettivo P 2 (R) con carta affine A 2 (R) ={[1 : x : y]} comenell’esercizio precedente. Esiste una retta in A 2 (R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e[0 : 0 : 1]?(10.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, inqualsiasi chiusura proiettiva.(10.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P 2 (K) hanno sempre uno e unsolo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).(10.11) Dimostrare che due rette parallele di A 2 (K) hanno lo stesso punto all’infinito inqualsiasi chiusura proiettiva di A 2 (K) (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinitodistinti si devono incontrare).(10.12) Dimostrare che per due punti distinti di P n (K) passa e una sola retta (sottospazioproiettivo di dimensione 1).

Geometria I 185(10.13) Sia S ⊂ P n (K) il sottoinsieme di P n (K) definito come segue: presi in P n (K) d +1punti [p 0 ], [p 1 ], . . . , [p d ], i punti di S sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee)come combinazioni lineari[λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + · · · + λ d p d ]per certi coefficienti λ i ∈ K non tutti nulli. Dimostrare che S è un sottospazio proiettivo eche ogni sottospazio proiettivo di P n (K) si può scrivere in questo modo. (Vedi la definizione(19.22 ))(10.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di P n (K) generato da d +1punti è il piùpiccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i d +1punti.(10.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione d chepassa per d +1punti di P n (K) linearmente indipendenti.(10.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti distinti.(10.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di P n (K) passa per d +1punti, alloraS contiene il sottospazio proiettivo generato dai d +1punti (cioè l’unico spazio proiettivo didimensione d dell’esercizio (10.15)).[ 1(10.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto ∈ A1]2 (R), dalla retta diequazione {(x, y) ∈ A 2 (R) :y =0} alla retta di equazione (x, y) ∈ A 2 (R) :x =0}.(10.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di P 2 (R)dove Q = [0 : 1 : 1], H = {[x 0 : x 1 : x 2 ] ∈ P 2 (R) :x 1 =0} e H ′ = {[x 0 : x 1 : x 2 ] ∈ P 2 (R) :x 2 =0}. È una trasformazione affine di H in H ′ ?(10.20) Determinare le equazioni omogenee (in P 2 (R)) della retta di A 2 (R) di equazionex + y = y − 1. Qual è il suo punto all’infinito?(10.21) Si considerino le rette di A 2 (R) di equazione y = x + b, con b ∈ R. Calcolare, alvariare di b, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.(10.22) Si considerino le rette di A 2 (R) di equazione y = mx, con m ∈ R, m ≠0. Calcolare,al variare di m, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.*(10.23) Determinare le proiettività : P 2 (R) → P 2 (R) che fissano la retta (impropria) {x 0 =0}(cioè ogni punto della retta impropria viene mandato in sé).(10.24) È possibile scrivere una traslazione di A 2 (R) come restrizione ad una carta affine diuna proiettività di P 2 (R)?[ [ [ [ 0 1 0 0(10.25) Esiste una proiettività che manda i punti , , di una carta affine in ,[ [0]0]1]0]1 2e ?0]0]

Geometria I 186*(10.26) Sia A n (K) ⊂ P n (K) una carta affine e T : A n (K) → A n (K) una affinità. Determinare(in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda A n (K) in sé(e quindi l’iperpiano dei punti impropri in sé) e che ristretta a A n (K) sia proprio uguale a T .(Suggerimento: Si scriva T come x ↦→ Ax + b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare lamatrice F corrispondente della proiettività (che sarà una matrice (n + 1) × (n + 1)), si osservache se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di F ha un solo terminenon zero. . . e a meno di moltiplicare F per una costante si può supporre questo termine ugualea 1 . . . poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare cone matrici 3 × 3 all’inizio. )*(10.27) Mostrare che SO(3) ≈ P 3 (R). (utilizzare l’esercizio (6.30 ) a pagina 109)