Le tavole di conto - Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse ...
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QUANDO L’UOMO IMPARÒ A CONTARELaboratori sui sistemi <strong>di</strong> numerazione<strong>Le</strong> <strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong>Il Giar<strong>di</strong>no <strong>di</strong> Archimede.Un Museo per la <strong>Matematica</strong>
<strong>Le</strong> <strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong>IntroduzioneIl nostro modo <strong>di</strong> contare è senz’altro uno dei piùpotenti e completi che siano mai stati sviluppati.Ma è anche uno dei più complessi e più <strong>di</strong>fficili daapprendere. Altre strategie, preliminari o alternative,altri punti <strong>di</strong> vista, più primitivi ma in alcunicasi non meno efficaci, aiutano a comprendere meglioalcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco esuperare certe <strong>di</strong>fficoltà, ad afferrare meglio le potenzialitàdel nostro modo <strong>di</strong> contare, oltre che ascoprirne la sua storia affascinante.In questa prospettiva sono nati i laboratori de IlGiar<strong>di</strong>no <strong>di</strong> Archimede de<strong>di</strong>cati ai sistemi <strong>di</strong> numerazione,pensati per le scuole <strong>di</strong> ogni or<strong>di</strong>ne e gradoe de<strong>di</strong>cati ad alcuni <strong>di</strong> questi antichi mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> contare.Si tratta <strong>di</strong> attività sperimentate con le classidai nostri operatori.Scopo <strong>di</strong> questo opuscolo, de<strong>di</strong>cato alle <strong>tavole</strong><strong>di</strong> <strong>conto</strong>, è fornire agli insegnanti che desiderinoriproporre le attività nelle proprie classi alcuneinformazioni teoriche necessarie per impadronirsidell’argomento e una serie <strong>di</strong> suggerimenti praticiper lo svolgimento dei laboratori stessi.In<strong>di</strong>ce1 Note storiche 32 L’artimetica sulla tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong> 5Rappresentazione e cambi . . . . . . . . . 5Ad<strong>di</strong>zioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 7Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 In<strong>di</strong>cazioni sui laboratori 8Livello 0: 5 anni . . . . . . . . . . . . . . 8Livello 1: 6-8 anni . . . . . . . . . . . . . 9Livello 2: 8-10 anni . . . . . . . . . . . . . 9Livello 3: da 10 anni . . . . . . . . . . . . 102
1 Note storicheUn antichissimo strumento utilizzato un po’ ovunqueper aiutarsi nei conteggi è costituito da semplicisassolini. Non a caso la parola “calcolo” derivadal latino calculus, che significa appunto sassolino.Prendendo un sasso per ogni oggetto da contareviene a formarsi un mucchio che rappresentala quantità degli oggetti. Unendo, spostando, raggruppandosassolini si possono eseguire materialmentealcune operazioni aritmetiche. I sassi dunquepossono servire per rappresentare e registrarealcune quantità e per operare con esse.Quando i numeri in gioco sono piuttosto gran<strong>di</strong>l’utilizzo ru<strong>di</strong>mentale dei sassi <strong>di</strong>viene poco efficace.Un grande mucchio <strong>di</strong> sassi, che non si riesce avalutare ad occhio, non è <strong>di</strong> per sè imme<strong>di</strong>atamentesignificativo: per conoscere la quantità, ad esempio,si deve comunque contare il mucchio. Anchenelle operazioni i sassi troppo numerosi <strong>di</strong>ventano<strong>di</strong>fficilmente gestibili.Il modo con cui usualmente si supera il problemaè quello costruire dei raggruppamenti. Ogni voltache si hanno ad esempio <strong>di</strong>eci sassolini, questi siconsiderano come un’unica nuova enità (la decina,in questo caso) a cui fare riferimento. Quando ledecine <strong>di</strong>ventano troppe, più <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci ad esempio, sicostituisce un nuovo raggruppamento, il centinaio.Così si può proseguire. Se si prosegue <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci in<strong>di</strong>eci si sta usando quello che si chiama sistema <strong>di</strong>numerazione decimale, o a base <strong>di</strong>eci.I vari or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> unità (unità semplici, decine, centinaia,migliaia, ...) devono essere rappresentati inmodo da poter essere riconosciuti. Un modo possibileè quello <strong>di</strong> assegnare a ciascun or<strong>di</strong>ne unaforma <strong>di</strong>versa. Questo accade ad esempio nei calculidegli antichi Sumeri. Un altro modo possibileè quello <strong>di</strong> attribuire ai sassolini o gettoni o altripiccoli oggetti, anche eventualmente appositamentefabbricati allo scopo <strong>di</strong> contare ma comunquetutti in<strong>di</strong>stinti, un <strong>di</strong>verso valore a seconda <strong>di</strong> dovevengono posizionati. Questo è il principio che staalla base delle <strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong>.Nella forma più semplice, come appare in alcuneantiche raffigurazioni, la tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong> è unsupporto su cui sono segnati alcuni simboli: le inizialidei vari or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> unità. I sassolini o gettoniraggruppati vicino ad un simbolo in<strong>di</strong>cano alloratante volte la quantità corrispondente a quel simbolo.Il valore <strong>di</strong> un “calcolo” dunque <strong>di</strong>pende oranon dalla sua forma ma dalla posizione che occupa.Il piano <strong>di</strong> lavoro, cioè la tavola per i conti, vieneora a costituire l’elemento fondamentale, scavalcandol’importanza dei calculi che sono retrocessial livello <strong>di</strong> in<strong>di</strong>stinti sassolini. Questo destino<strong>di</strong>venta para<strong>di</strong>gmatico, come ben si vede dalla seguentecitazione tratta da Polibio, storico greco delII secolo a.C.:Coloro che vivono alla corte dei re sonoesattamente come i gettoni sulla tavolaper contare. È la volontà del calcolatoreche li fa valere un khalkos oppure untalento.Il khalkos e il talento erano rispettivamente l’unità<strong>di</strong> moneta più piccola e più grande della greciaantica e la citazione è tratta da Polibio, storico grecodel II secolo a.C. “<strong>tavole</strong> per contare” erano lostrumento con cui si eseguivano i conti nel mondogreco-latino, come testimoniano anche i nomi grecotrapezites e latino mensarius (dal latino mensa,tavola) con cui si in<strong>di</strong>cavano i contabili e che derivanoda termini che nelle rispettive lingue significavanoappunto “tavola”. Del resto anche il nostro“banca” porta il segno della stessa origine, nellacontinuità <strong>di</strong> questa pratica attraverso il Me<strong>di</strong>oevoe il Rinascimento, epoca in cui le <strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong> venivanocomunemente in<strong>di</strong>cate con il temine abacus,derivato dal greco abákion, altro termine con cui igreci in<strong>di</strong>cavano la tavola (dal greco ábax, tavola).Ben presto lo spazio sulla tavola si organizza estruttura. Non compaiono più solamente i simbolidei valori, ma una regolare sud<strong>di</strong>visione in righeo in colonne, ognuna associata a un simbolo, inor<strong>di</strong>ne crescente.Nel mondo romano la <strong>di</strong>sposizione comune eraper colonne, in corrispondenza dei simboli delle potenze<strong>di</strong> <strong>di</strong>eci, I, X, C, M, ¯X, ¯C o equivalenti, dadestra a sinistra. Nella versione tardo me<strong>di</strong>oevaleprevale invece la versione per righe, dalle unità allepotenze crescenti muovendosi dal basso all’altodella tavola.
Il numero 6408 sarebbe rappresentato con seigettoni nella colonna o sulla riga delle migliaia,quattro in quella delle centinaia, otto in quella delleunità.La tavola si presta bene all’esecuzione <strong>di</strong> alcuniconteggi, me<strong>di</strong>ante opportuni spostamenti dei gettoni.Nell’uso dei contabili particolarmente importanteera l’ad<strong>di</strong>zione. Questa si esegue sulla tavolaposizionando i gettoni corrispondenti al primo numeroe, subito sotto nella colonna o accanto nellariga, altri gettoni che rappresentano il secondo numero,e così via per ogni numero da sommare. Inquesto modo l’ad<strong>di</strong>zione è in un certo senso giàcompiuta; sarà solo necessario qualche spostamentoche sostituisce il cambio dei calcoli con calcoli<strong>di</strong> valore superiore. Se stiamo usando una tavola acolonne, in ogni colonna i gettoni vengono per primacosa riallineati, spingendoli verso l’alto - e forsela parola summa (dal latino summus, il più in alto)ha proprio il ricordo <strong>di</strong> questo spostamento - senza<strong>di</strong>stinguere quelli che appartenenvano al primonumero o al secondo. Occorre ora controllare cheogni colonna non contenga più <strong>di</strong> nove gettoni. Sevi sono gruppi <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci gettoni questi vanno tolti,aggiungendo al contempo un nuovo gettone nellacolonna che sta subito alla loro sinistra. Questaessenziale operazione <strong>di</strong> riduzione era nel me<strong>di</strong>oevodetta purgatio rationis, ossia “purificazione”. Ilrisultato è ora leggibile sulla tavola.Per ridurre il numero <strong>di</strong> gettoni da utilizzare, siprevedeva la possibilità <strong>di</strong> collocare i gettoni nonsolo nelle colonne o sulle righe delle potenze del<strong>di</strong>eci, ma anche in posizione interme<strong>di</strong>a, fra duecolonne o due righe consecutive. Un gettone postofra la riga delle decine e quella delle unità rappresentaad esempio una mezza decina, ossia cinqueunità. Un gettone posto fra la colonna delle migliaiae quella delle centinaia rappresenta mezzamigliaia, ossia il cinquecento.Talvolta sulla tavola comparivano <strong>di</strong>rettamenterighe o colonne per queste posizioni interme<strong>di</strong>e, alpari delle altre. Del resto nel modo <strong>di</strong> rappresentazionedei numeri con il sistema romano si usavanoi simboli I, V, X, L, C, D, M. La tavola con le colonneo righe ausiliarie risulta dunque in qualchemodo più naturale. C’è una <strong>di</strong>retta corrispondenzatra la rappresentazione su tavola e la scritturain simboli: per scrivere un numero si ripete tantevolte un simbolo quanti sono i gettoni della suacolonna o riga.Un <strong>di</strong>scorso analogo vale per il sistema <strong>di</strong> scritturaacrofonico greco. E la cosidetta tavola <strong>di</strong> Salamina,il più antico reperto giuntoci dal mondogreco antico, presenta infatti una sud<strong>di</strong>visione inrighe, in due <strong>di</strong>verse parti della tavola, con la successionedei simboli che rapprentano i valori 1, 5,10, 50, 100, 500, 1000, 5000 dracme, 1 talento oltreche le frazioni della dracma in oboli.Oltre agli abachi a gettoni descritti sopra, pressoi romani si trova anche una interessante variantedella tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong>: una sorta <strong>di</strong> abaco tascabilein metallo, <strong>di</strong> cui sopravvivono pochi esemplari.Qui i gettoni non sono più pezzi liberi e staccabilidalla tavola, ma sono sostituiti da una sorta<strong>di</strong> chio<strong>di</strong>ni (claviculi) con la testa arrotondata chepossono scorrere in apposite scanalature. <strong>Le</strong> scanalature,<strong>di</strong>vise in una parte inferiore e una piùbreve parte superiore separate da una fascia chereca i simboli numerici, giocano il ruolo delle colonnedell’abaco, corrispondenti ai <strong>di</strong>versi or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong>grandezza, con quelle all’estrema destra riservateagli oboli e le frazioni <strong>di</strong> obolo.Corrispondentemente alla versione più semplicedella tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong>, ogni colonna avrebbe dovutocontenere <strong>di</strong>eci, o anche solo nove - poichè con <strong>di</strong>eciinterviene la riduzione, chio<strong>di</strong>ni per ogni colonna.In realtà gli esemplari rinvenuti corrispondonoalla versione della tavola con le colonne interme<strong>di</strong>e.Ogni colonna contiene infatti quattro chio<strong>di</strong>ninella parte inferiore, <strong>di</strong> valore unitario, e un altrochio<strong>di</strong>no nella parte superiore, che vale cinque voltetanto. Per rappresentare un numero, i chio<strong>di</strong>ni,che non si possono ora né estrarre né aggiungere,vengono spinti verso la fascia centrale <strong>di</strong> separazione;dunque solo quelli vicino alla fascia sarannosignificativi, gli altri è come se non ci fossero.Questa variante dell’abaco romano ha una parentelamolto stretta con strumenti analoghi utilizzatiancora oggi in Cina e in Giappone: il suanpan e il soroban. Il nostro pallottoliere poi è inveceispirato allo ščët russo, un’altra variante orienta-
le dell’abaco in cui le asticciole sono orizzontali econtengono <strong>di</strong>eci palline per filaUn’altra interessante mo<strong>di</strong>fica della <strong>tavole</strong> <strong>di</strong><strong>conto</strong> si <strong>di</strong>ffonde in Europa a partire dalla fine delX secolo. È attribuita alla figura <strong>di</strong> Gerberto d’Aurillac(940-1003), <strong>di</strong>venuto papa nel 999 con il nome<strong>di</strong> Silvestro II. Pare che egli si fosse recato aCordova travestito da pellegrino musulmano e quiavesse appreso l’aritmetica degli arabi che a queltempo già utilizzava comunemente il sistema posizionalein<strong>di</strong>ano. Prendendo a prestito non la notazioneposizionale ma solamente i simboli delle cifrearabe, egli ideò una variante della tavola in cui siusano gettoni marcati con le <strong>di</strong>verse cifre. In ognicolonna invece <strong>di</strong> posizionare tanti gettoni ugualisi metterà allora un solo gettone che reca la cifracorrispondente.Con l’abaco <strong>di</strong> Gerberto si riduce notevolmenteil numero <strong>di</strong> gettoni da maneggiare. L’esecuzionedei conti <strong>di</strong>viene però meno automatica. Si pensiad esempio all’ad<strong>di</strong>zione: sia pur colonna per colonnaquesta deve essere eseguita mentalmente dalcalcolatore che dovrà cambiare i gettoni scegliendoquelli con il valore richiesto, laddove nell’abacotra<strong>di</strong>zionale si dovevano solamente introdurre igettoni relativi al secondo numero e, in un certosenso, l’ad<strong>di</strong>zione “si faceva” da sé sulla tavola. Inaltri termini, per eseguire i conti con questi abachisi richiedono già abilità <strong>di</strong> calcolo mentale piùavanzate. La tavola <strong>di</strong> Gerberto, che grazie allaconcisione della rappresentazione dà modo <strong>di</strong> averesulla tavola più numeri insieme (come su un foglio<strong>di</strong> carta), permette <strong>di</strong> eseguire operazioni complessecon algoritmi analoghi a quelli che conosciamo.Ha però, rispetto alla carta, lo svantaggio <strong>di</strong> essereuno strumento ingombrante e poco maneggevole.Come una sorta <strong>di</strong> anello interme<strong>di</strong>o tra le antiche<strong>tavole</strong> e il sistema posizionale indo-arabico, il suouso scomparirà infatti con l’affermarsi delle nuovetecniche <strong>di</strong> calcolo con carta e penna che dal tardoDuecento si <strong>di</strong>ffonderanno in Europa.2 L’artimetica sulla tavola <strong>di</strong><strong>conto</strong><strong>Le</strong> <strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong> utilizzate nel corso dei laboratorisono del tipo a righe orizzontali, cioè la forma cheprevale nel periodo più tardo <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione <strong>di</strong> talestrumento. A seconda del livello <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficoltà dellaboratorio, si prevedono due modalità <strong>di</strong> uso dellatavola stessa, una più semplice e una più avanzata,che saranno descritti più nel dattaglio nei paragrafiche seguono.Rappresentazione e cambiLa tavola a righe possiede un numero variabile <strong>di</strong>righe orizzontali. Maggiore è il numero <strong>di</strong> righe, piùgrande è il valore massimo che si può rappresentaresulla tavola. Ogni riga corrisponde infatti ad un or<strong>di</strong>nedecimale. A partire dal basso troviamo la rigadelle unità, quella delle decine, quella delle centinaia,delle migliaia, e così via. Solitamente ogni trerighe si trova una piccola croce. Escludendo la rigadelle unità, risultano contrassegnate la riga dellemigliaia (la quarta dal basso), la riga del milione(la settima) ed eventualmente poi sulla decima, latre<strong>di</strong>cesima, eccetera. La funzione della crocettacorrisponde a quella del nostro punto che separa lecifre <strong>di</strong> un numero in gruppi <strong>di</strong> tre. Serve dunquea facilitare la lettura, permettendo <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduarea colpo d’occhio alcune righe <strong>di</strong> riferimento.Per rappresentare i valori si <strong>di</strong>spongono sulla tavolaalcuni gettoni, in modo opportuno. Vi sonodue modalità <strong>di</strong> utilizzo della tavola. Nella prima,la più semplice, i gettoni si <strong>di</strong>spongono solamentesulle righe. Ogni gettone posto sulla prima riga apartire dal basso vale 1, sulla seconda vale 10, sullaterza 100, e così via. Il numero complessivo siottiene considerando la somma dei valori.Nell’uso più avanzato si possono utilizzare anchegli spazi interme<strong>di</strong> tra le righe. I gettoni posti neglispazi interme<strong>di</strong> assumono un valore pari a 5 voltequello <strong>di</strong> un gettone posto sulla riga subito sotto(ossia pari a metà del valore <strong>di</strong> un gettone postosulla riga subito sopra); dunque un gettone nellospazio tra la riga delle decine e quella delle unità
vale 5, un gettone nello spazio tra la riga delle centinaiae quella delle decine vale 50, ... e così via.Si no ti l’analogia con il sistema <strong>di</strong> rappresentazioneromano, che prevede simboli speciali anche peri valori interme<strong>di</strong> 5, 50, 500, oltre che per quellifondamentali 1, 10, 100, 1000.L’utilizzo più avanzato della tavola consente<strong>di</strong> poter ridurre il numero <strong>di</strong> gettoni necessari arappresentare un determinato valore.Nell’esempio il numero 208 è rappresentato nellaversione più semplice e nella versione avanzata:gettoni e nello spazio tra le righe al massimo ungettone. Se vi sono cinque gettoni su una riga questivengono sostituiti con un solo gettone da porsinello spazio sopra la riga stessa. Se vi sono duegettoni tra le righe questi vengono sostituiti da unsolo gettone sulla riga superiore.Nella figura è illustrata la riduzione del numero 19nella versione semplice.→XXSegue la riduzione dello stesso numero nellaversione avanzata.Osserviamo che come nel nostro sistema posizionale<strong>di</strong> scrittura numerica il valore <strong>di</strong> una cifra<strong>di</strong>pende dalla posizione occupata, nella rappresentazionesulla tavola il valore dei gettoni è <strong>di</strong>fferenziatodalla posizione rispetto alle righe. Se immaginassimo<strong>di</strong> <strong>di</strong>stinguere i gettoni a seconda dellariga occupata, ad esempio con un colore come accadein alcuni abachi moderni, non ci sarebbe piùbisogno delle righe, ossia il sistema non sarebbe piùposizionale. Avremmo invece un sistema del tuttoanalogo a quello romano, con simboli <strong>di</strong> valore<strong>di</strong>verso che vengono sommati.Un numero rappresentato sulla tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong>è “ben scritto” se i gettoni utilizzati sono il minornumero possibile. Ad esempio un<strong>di</strong>ci gettoni postisulla riga delle unità rappresentano il numeroun<strong>di</strong>ci, ma il numero un<strong>di</strong>ci può essere meglio rappresentatoutilizzando due soli gettoni: uno sullariga delle unità e uno sulla riga delle decine.Nella versione più semplice della tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong>,in cui si va <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci in <strong>di</strong>eci, l’aggiustamento oriduzione o purgatio rationis, prevede che su ogniriga possano stare al massimo nove gettoni. Se vene sono <strong>di</strong> più, ogni gruppo <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci gettoni vienetolto e sostituito - operando quello che si <strong>di</strong>ce un“cambio” - con un solo gettone da porsi nella rigasuccessiva.Nella versione più avanzata la riduzione prevedeche su ogni riga possano stare al massimo quattroAd<strong>di</strong>zioniL’ad<strong>di</strong>zione sulla tavola <strong>di</strong> <strong>conto</strong> risulta particolarmentesemplice. Infatti basta rappresentareda una parte della tavola il primo addendo edall’altra il secondo. Il risultato si ottiene riunendoi gettoni. Ovviamente questi vanno spostatifacendo attenzione a non cambiare la riga su cui sitrova ciascun gettone. Prima <strong>di</strong> leggere il risutatosi controlla che sia scritto “bene”, altrimenti sideve procedere all’aggiustamento o “riduzione”.Nell’esempio: 412+32.X→L’ad<strong>di</strong>zione era una delle operazioni più frequenticompiute dai contabili. Dopo aver preso un minimo<strong>di</strong> confidenza con il posizionamento dei gettoni,con qualche piccolo accorgimento si potrannoeseguire velocemente anche ad<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> più numeripiuttosto gran<strong>di</strong>. Via via che l’addendo vienepronunciato o letto si potranno posizionare i getto-X→
ni <strong>di</strong>rettamente accanto a quelli che si trovano giàsulla tavola, evitando <strong>di</strong> doverli riunire alla fine.Converrà inziare a posizionare i gettoni a partiredal valore più alto, per seguire più facilmente l’or<strong>di</strong>nenaturale in cui il numero viene letto. Se i contisono complessi converrà eseguire i cambi <strong>di</strong> voltain volta, non appena si noti un gruppo <strong>di</strong> gettoniche può essere ridotto, in modo da non trovarsi latavola piena <strong>di</strong> gettoni.SottrazioniLa sottrazione fra due numeri si può eseguire nelseguente modo. Sulla parte sinistra della tavola sipongono i gettoni che rappresentano il minuendo.Servendosi <strong>di</strong> questi gettoni si compone, dall’altraparte della tavola, il sottraendo. Il risultato è datodai gettoni rimasti a sinistra.Così, volendo eseguire 73-12, si rappresenta il73 ponendo nella versione semplice sette gettonisulla riga delle decine e tre sulla riga delle unità.Per comporre poi il 12 a sinistra, si fa scorrere ungettone sulla riga delle decine e due sulla riga delleunità.X→I gettoni rimasti a destra corrispondono alrisultato: 61.Nella versione avanzata cambia la <strong>di</strong>sposizioneiniziale dei gettoni che rappresentano il 73. Si compionogli stessi spostamenti verso sinistra, cioè ungettone sulla riga delle decine e due sulla riga delleunità, e si legge il risultato finale nei gettoni rimastia destra.Xun gettone che sta sopra. Si procede poi fino a chenon si è completato il sottraendo.Se ad esempio avessi dovuto eseguire 73-14,sulla riga delle unità non avrei trovato quattrogettoni da spostare a sinistra, ma solo tre. Percompletare il 14 avrei allora dovuto sostituire ungettone della riga delle decine con <strong>di</strong>eci gettonisulla riga delle unità, e finalmente concludere glislittamenti. Lavorando nella versione avanzata,il gettone delle decine viene sostituito con ungettone posto nello spazio interme<strong>di</strong>o tra decine edunità e cinque gettoni posti sulla riga delle unità:MoltiplicazioniX→La tecnica <strong>di</strong> base per moltiplicare un numero qualsiasiper un numero a una cifra prevede <strong>di</strong> rappresentail primo fattore ponendo i gettoni sulla partesinistra della tavola. Per ognuno <strong>di</strong> questi gettonisi pongono poi sulla stessa riga, ma occupando laparte destra della tavola, tanti gettoni quanto è ilnumero in<strong>di</strong>cato dal secondo fattore. Per non perdereil <strong>conto</strong> ci si aiuta con le mani: l’in<strong>di</strong>ce dellamano sinistra si posa <strong>di</strong> volta in volta sul gettonedel primo fattore che stiamo ripetendo, mentre lamano destra <strong>di</strong>spone i gettoni sull’altra parte dellatavola. Dopo aver posizionato tutti i gettoni, si fal’eventuale riduzione e si legge il risultato.Nell’esempio seguente: il primo passo dellamoltiplicazione <strong>di</strong> 212 per 3:XXXX→Può accadere che i gettoni da togliere in una determinatariga (o tra le righe) siano più <strong>di</strong> quelli a<strong>di</strong>sposizione. Si fa allora un cambio “spicciolando”Se la moltiplicazione è per un numero a più cifresi moltiplica il primo fattore per la cifra delle unitàcome sopra, posizionando i gettoni sulla destra. Sispostano poi tutti i gettoni del primo fattore <strong>di</strong> una
iga più in alto e si moltiplica il numero così ottenutoper la cifra delle decine del secondo fattore.Si sposta il primo fattore ancora <strong>di</strong> una riga più inalto, se il secondo fattore ha anche le centinaia, esi moltiplica per queste. E così via. Il risultato èdato dal totale <strong>di</strong> tutti i gettoni accumulati nellaparte destra.Questa tecnica è molto semplice e automatica.Non richiede <strong>di</strong> conoscere le tabelline della moltiplicazione,riducendo ogni passaggio a somme successive.Lo svantaggio è che il proce<strong>di</strong>mento può risultaremolto lungo. Per guadagnare in rapi<strong>di</strong>tà, unaserie <strong>di</strong> passaggi possono essere condensati e sostituitida moltiplicazioni parziali. Si potrà allora adesempio leggere il valore rappresentato su un’interariga del primo fattore e moltiplicarlo mentalmenteper la cifra del secondo che si sta considerando. Inquesto modo si procede come avviene nell’usualealgoritmo per la moltiplicazione.DivisioniSi può eseguire con un proce<strong>di</strong>mento inverso rispettoa quello della moltiplicazione: dopo aver postosulla sinistra i gettoni che rappresentano il <strong>di</strong>videndo,iniziando dalle righe più alte per ogni gruppocomposto da tanti gettoni quanti il <strong>di</strong>visore, si poneun gettone a destra. Come per la moltiplicazione,la <strong>di</strong>visione sulla tavola può dunque essereeseguita riproducendo effettivamente passo passoil suo significato <strong>di</strong> raggruppamento o sottrazionisuccessive, senza ricorrere a tabelline e <strong>di</strong>visioniparziali. Ma per snellire il proce<strong>di</strong>mento, quandogli esempi si complicano, si rende in generale necessariosostituire una serie <strong>di</strong> passaggi con il calcolomentale.3 In<strong>di</strong>cazioni sui laboratoriMateriale. Il materiale per i laboratori comprendeun CD-rom in cui sono contenute <strong>di</strong>apositive daproiettare durante lo svolgimento del laboratorario.Si tratta <strong>di</strong> <strong>di</strong>apositive con immagini e brevicommenti da usare per le spiegazioni e per le attività.<strong>Le</strong> presentazioni sono <strong>di</strong>vise in quattro livelli:livello 0, 1, 2, 3. Il livello 0, pre-calcolo, è pensatoper i piccolissimi, corrispondentemente alla sezionedei cinque anni della Scuola dell’Infanzia. I livelli1 e 2 sono pensati per il primo e il secondo ciclodella Scuola Primaria. Il livello 3 è infine pensatoper la Secondaria Inferiore (o inizi della SecondariaSuperiore). I livelli costituiscono un’in<strong>di</strong>cazione<strong>di</strong> massima: ogni insegnante potrà valutare se appoggiarsial materiale <strong>di</strong> un altro livello, a secondadella classe.Il materiale per i laboratori comprende inoltre le<strong>tavole</strong> <strong>di</strong> <strong>conto</strong>, su stoffa arrotolabile, e sacchettini<strong>di</strong> gettoni. Si consiglia <strong>di</strong> sud<strong>di</strong>videre i partecipantiin quattro gruppi e dotare ciascun gruppo delmateriale.Qui <strong>di</strong> seguito <strong>di</strong>amo alcune in<strong>di</strong>cazioni su comesvolgere un laboratorio, a seconda del livello scelto,appoggiandosi al materiale fornito.Livello 0: 5 anniL’attività prevista per il livello 0 consiste in un’introduzioneall’uso della tavola. Si richiede che ibambini abbiano una certa confidenza con il conteggiocon le <strong>di</strong>ta delle mani, almeno fino al cinque.Per contare fino a <strong>di</strong>eci si può ripetere il conteggiofino a cinque con l’altra mano. Con le <strong>di</strong>apositiveiniziali si richiama il conteggio con le <strong>di</strong>ta dellemani. Si suggerisce poi la corrispondenza fra <strong>di</strong>tae gettoni. Si passa poi a introdurre la tavola, comespazio per collocare i gettoni. Per aiutare la giustacollocazione spaziale si suggerisce che nella riga piùbassa della tavola ci siano tante casette immaginarie:queste sono le casette dei gettoni delle <strong>di</strong>ta.Contando fino a <strong>di</strong>eci con le <strong>di</strong>ta si mettono i gettoninelle casette. Questo primo obiettivo può esserepreparato da tappe interme<strong>di</strong>e. Si può ad esempiorealizzare su un foglio uno schema con il <strong>conto</strong>rnodelle due mani appaiate e, su una riga, <strong>di</strong>eci casettein corrispondenza <strong>di</strong> ciascuna delle <strong>di</strong>eci <strong>di</strong>ta,sull’esempio della prima scheda che compare tra le<strong>di</strong>apositive. Il conteggio fino a <strong>di</strong>eci con la <strong>di</strong>sposizionedei gettoni sulla prima riga può essere rime<strong>di</strong>tatoattraverso la rappresentazione grafica ripropostada un’altra scheda da riempire: sulle <strong>tavole</strong>si <strong>di</strong>segnano tanti gettoni quante sono le <strong>di</strong>ta delle
mani corripondenti. Si propone anche una schedain cui si dà un certo numero <strong>di</strong> quadratini colorati.Nel <strong>di</strong>segno della mano si devono colorarealtrettante <strong>di</strong>ta (con lo stesso colore) e <strong>di</strong>segnaresulla tavola la configurazione corrispondente (conun unico colore, quello dei gettoni).Con le <strong>di</strong>apositive successive si illustra ciò cheavviene una volta arrivati a <strong>di</strong>eci. Questo viene fattoattraverso un’immagine-gioco (che si può eventualmenteampliare a piacere attraverso narrazionee drammatizzazione): da <strong>di</strong>eci <strong>di</strong>ta <strong>di</strong> bambino nasceun’altra entità che abbiamo raffigurato comeun fantasmino. I fantasmini hanno <strong>di</strong>eci <strong>di</strong>ta, cheperò non si vedono, e una sola testa: un gettone.Anche i gettoni dei fantasmini hanno la loro casasulla tavola. Queste case, anch’esse immaginarie,stanno sulla seconda riga dal basso. Si potrà allorariprendere la scheda con le configurazioni deigettoni sulla tavola e aggiungere (tagliando e incollando)la rappresentazione alternativa del <strong>di</strong>eci:un solo gettone sulla seconda riga invece che <strong>di</strong>ecisulla prima.Ogni bambino che conta impiegando tutte e <strong>di</strong>ecile <strong>di</strong>ta <strong>di</strong>venta un fantasmino. Coinvolgendo piùbambini si può proseguire oltre il <strong>di</strong>eci (anche senzanominare il nome dei numeri) e, facendo attenzionealle trasformazioni in fantasmini, i valori mimatiattraverso le <strong>di</strong>ta si possono tradurre con gettonisulla tavola. Alcune <strong>di</strong>apositive propongono esercizi<strong>di</strong> questo tipo, in cui compaiono mani e <strong>di</strong>tada tradurre in gettoni sulla tavola. Seguono poi lerisposte. Con le ultime <strong>di</strong>apositive si propone l’esercizioinverso: si mostrano alcune configurazionisulla tavola e si chiede ai bambini <strong>di</strong> riprodurleservendosi delle <strong>di</strong>ta e impersonando fantasminicorrispondenti.Livello 1: 6-8 anniNel livello 1, il più semplice in cui si affrontano iprimi ru<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> calcolo sulla tavola, si utilizza latavola esclusivamente secondo la variante più semplicein cui i gettoni si posizionano sulle righe, manon negli spazi interme<strong>di</strong>. Con le prime <strong>di</strong>apositivesi illustra come si rappresentano i primi numerisulla tavola e si propongono facili esercizi sia<strong>di</strong> lettura che <strong>di</strong> rappresentazione (con risposte).Si illustra poi la riduzione, o “cambio”, proponendodegli esercizi. Con le <strong>di</strong>apositive successive siintroduce l’ad<strong>di</strong>zione. Il primo esempio scelto èmolto semplice e mira a evidenziare l’idea del sempliceslittamento dei gettoni, senza far intervenireil cambio. Con un secondo esempio ci si estende alcaso in cui alla fine degli slittamenti è necessarioeseguire il cambio. Come attività si propongonoad<strong>di</strong>zioni con cambio fra numeri a una e due cifre.Nella parte finale si introduce la sottrazione. Ci silimita a esempi ed esercizi in cui non interviene ilcambio e il risultato si ottiene solamente grazie alloslittamento lungo le righe.Livello 2: 8-10 anniNel livello 2 si introduce la modalità avanzata dell’usodella tavola, con la possibilità <strong>di</strong> posizionarei gettoni negli spazi interme<strong>di</strong> tra le righe. Si illustradunque come posizionare i gettoni per contarefino a <strong>di</strong>eci e oltre. Si propongono esercizi <strong>di</strong> letturae, a seguire, <strong>di</strong> rappresentazione <strong>di</strong> alcuni valori,fornendo le risposte per verifica. Si illustra poi l’ad<strong>di</strong>zione.Il primo esempio scelto è molto semplice emira a evidenziare l’idea del semplice slittamentodei gettoni, senza far intervenire il cambio. Con unsecondo esempio ci si estende al caso in cui alla finedegli slittamenti è necessario eseguire gli aggiustamentisulle righe e negli spazi interme<strong>di</strong>. Si propongonoad<strong>di</strong>zioni senza e con cambio fra numeria due e tre cifre.Con le <strong>di</strong>apositive seguenti si illustra la sottrazione.Anche qui il primo esempio e gli esercizi relativinon richiedono lo spicciolamento. In un secondomomento si spiega invece come procedere quandonon è possibile portare avanti imme<strong>di</strong>atamente ilcompletamento del sottraendo.Si passa poi alla moltiplicazione. Si illustra latecnica base <strong>di</strong> moltiplicazione <strong>di</strong> un numero perun numero ad una sola cifra che prevede la ripetizione<strong>di</strong> ogni gettone del primo il numero <strong>di</strong> voltein<strong>di</strong>cato dal secondo, con un eventuale aggiustamentofinale. Anche gli esercizi proposti si limitanoa esempi <strong>di</strong> questo tipo.Si conclude con la <strong>di</strong>visione. Anche questa viene
proposta nella tecnica <strong>di</strong> base che prevede <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduaregruppi <strong>di</strong> gettoni pari al <strong>di</strong>visore. Seguonoesercizi sul modello dell’esempio proposto.Livello 3: da 10 anniÈ il livello più complesso, pensato per le classi dellaScuola Secondaria Inferiore (o inizio della Superiore).Qui si utilizza la tavola nella versione più avanzata,con la possibilità <strong>di</strong> posizionare i gettoni neglispazi interme<strong>di</strong> tra le righe. Come già nel livelloprecedente, dopo aver illustrato come posizionare igettoni per contare fino a <strong>di</strong>eci e oltre, si propongonopoi esercizi <strong>di</strong> lettura e, a seguire, <strong>di</strong> rappresentazione<strong>di</strong> alcuni valori, ora più complessi. Seguonole risposte per verifica.L’ad<strong>di</strong>zione viene illustrata con un primo esempiomolto semplice, che mira a evidenziare l’ideadel semplice slittamento dei gettoni, senza far intervenireil cambio, seguito da un secondo esempioincui alla fine degli slittamenti è necessarioeseguire gli aggiustamenti sulle righe e negli spaziinterme<strong>di</strong>. Gli esercizi coinvolgono numeri a piùcifre, fino a sei, e prevedono il cambio.Anche per la sottrazione si propone un primosempplice esempio, che non richiede lo spicciolamento,seguito da un secondo in cui si spiega invececome procedere quando non è possibile portareavanti imme<strong>di</strong>atamente il completamento del sottraendo.Gli esempi coinvolgono numeri fino a seicifre in or<strong>di</strong>ne crescente <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficoltà.Si passa poi alla moltiplicazione. Si illustra latecnica base <strong>di</strong> moltiplicazione <strong>di</strong> un numero perun numero ad una sola cifra che prevede la ripetizione<strong>di</strong> ogni gettone del primo il numero <strong>di</strong> voltein<strong>di</strong>cato dal secondo, con un eventuale aggiustamentofinale. Seguono alcuni esercizi su questomodello. Si illustra poi come eseguire una moltiplicazioneper un numero a due cifre, eseguendo iparziali e sommando. Gli esercizi propongono moltiplicazioniper numeri a due e anche a tre cifre, aiquali si estende facilmente il proce<strong>di</strong>mento. Infinele <strong>di</strong>visioni. Gli esempi proposti si limitano anchein questo livello alla tecnica <strong>di</strong> base che prevede<strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare gruppi <strong>di</strong> gettoni pari al <strong>di</strong>visore.Seguono semplici esercizi.