Le tavole di conto - Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse ...

QUANDO L’UOMO IMPARÒ A CONTARELaboratori sui sistemi di numerazioneLe tavole di contoIl Giardino di Archimede.Un Museo per la Matematica

Le tavole di contoIntroduzioneIl nostro modo di contare è senz’altro uno dei piùpotenti e completi che siano mai stati sviluppati.Ma è anche uno dei più complessi e più difficili daapprendere. Altre strategie, preliminari o alternative,altri punti di vista, più primitivi ma in alcunicasi non meno efficaci, aiutano a comprendere meglioalcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco esuperare certe difficoltà, ad afferrare meglio le potenzialitàdel nostro modo di contare, oltre che ascoprirne la sua storia affascinante.In questa prospettiva sono nati i laboratori de IlGiardino di Archimede dedicati ai sistemi di numerazione,pensati per le scuole di ogni ordine e gradoe dedicati ad alcuni di questi antichi modi di contare.Si tratta di attività sperimentate con le classidai nostri operatori.Scopo di questo opuscolo, dedicato alle tavoledi conto, è fornire agli insegnanti che desiderinoriproporre le attività nelle proprie classi alcuneinformazioni teoriche necessarie per impadronirsidell’argomento e una serie di suggerimenti praticiper lo svolgimento dei laboratori stessi.Indice1 Note storiche 32 L’artimetica sulla tavola di conto 5Rappresentazione e cambi . . . . . . . . . 5Addizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 7Divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Indicazioni sui laboratori 8Livello 0: 5 anni . . . . . . . . . . . . . . 8Livello 1: 6-8 anni . . . . . . . . . . . . . 9Livello 2: 8-10 anni . . . . . . . . . . . . . 9Livello 3: da 10 anni . . . . . . . . . . . . 102

1 Note storicheUn antichissimo strumento utilizzato un po’ ovunqueper aiutarsi nei conteggi è costituito da semplicisassolini. Non a caso la parola “calcolo” derivadal latino calculus, che significa appunto sassolino.Prendendo un sasso per ogni oggetto da contareviene a formarsi un mucchio che rappresentala quantità degli oggetti. Unendo, spostando, raggruppandosassolini si possono eseguire materialmentealcune operazioni aritmetiche. I sassi dunquepossono servire per rappresentare e registrarealcune quantità e per operare con esse.Quando i numeri in gioco sono piuttosto grandil’utilizzo rudimentale dei sassi diviene poco efficace.Un grande mucchio di sassi, che non si riesce avalutare ad occhio, non è di per sè immediatamentesignificativo: per conoscere la quantità, ad esempio,si deve comunque contare il mucchio. Anchenelle operazioni i sassi troppo numerosi diventanodifficilmente gestibili.Il modo con cui usualmente si supera il problemaè quello costruire dei raggruppamenti. Ogni voltache si hanno ad esempio dieci sassolini, questi siconsiderano come un’unica nuova enità (la decina,in questo caso) a cui fare riferimento. Quando ledecine diventano troppe, più di dieci ad esempio, sicostituisce un nuovo raggruppamento, il centinaio.Così si può proseguire. Se si prosegue di dieci indieci si sta usando quello che si chiama sistema dinumerazione decimale, o a base dieci.I vari ordini di unità (unità semplici, decine, centinaia,migliaia, ...) devono essere rappresentati inmodo da poter essere riconosciuti. Un modo possibileè quello di assegnare a ciascun ordine unaforma diversa. Questo accade ad esempio nei calculidegli antichi Sumeri. Un altro modo possibileè quello di attribuire ai sassolini o gettoni o altripiccoli oggetti, anche eventualmente appositamentefabbricati allo scopo di contare ma comunquetutti indistinti, un diverso valore a seconda di dovevengono posizionati. Questo è il principio che staalla base delle tavole di conto.Nella forma più semplice, come appare in alcuneantiche raffigurazioni, la tavola di conto è unsupporto su cui sono segnati alcuni simboli: le inizialidei vari ordini di unità. I sassolini o gettoniraggruppati vicino ad un simbolo indicano alloratante volte la quantità corrispondente a quel simbolo.Il valore di un “calcolo” dunque dipende oranon dalla sua forma ma dalla posizione che occupa.Il piano di lavoro, cioè la tavola per i conti, vieneora a costituire l’elemento fondamentale, scavalcandol’importanza dei calculi che sono retrocessial livello di indistinti sassolini. Questo destinodiventa paradigmatico, come ben si vede dalla seguentecitazione tratta da Polibio, storico greco delII secolo a.C.:Coloro che vivono alla corte dei re sonoesattamente come i gettoni sulla tavolaper contare. È la volontà del calcolatoreche li fa valere un khalkos oppure untalento.Il khalkos e il talento erano rispettivamente l’unitàdi moneta più piccola e più grande della greciaantica e la citazione è tratta da Polibio, storico grecodel II secolo a.C. “tavole per contare” erano lostrumento con cui si eseguivano i conti nel mondogreco-latino, come testimoniano anche i nomi grecotrapezites e latino mensarius (dal latino mensa,tavola) con cui si indicavano i contabili e che derivanoda termini che nelle rispettive lingue significavanoappunto “tavola”. Del resto anche il nostro“banca” porta il segno della stessa origine, nellacontinuità di questa pratica attraverso il Medioevoe il Rinascimento, epoca in cui le tavole di conto venivanocomunemente indicate con il temine abacus,derivato dal greco abákion, altro termine con cui igreci indicavano la tavola (dal greco ábax, tavola).Ben presto lo spazio sulla tavola si organizza estruttura. Non compaiono più solamente i simbolidei valori, ma una regolare suddivisione in righeo in colonne, ognuna associata a un simbolo, inordine crescente.Nel mondo romano la disposizione comune eraper colonne, in corrispondenza dei simboli delle potenzedi dieci, I, X, C, M, ¯X, ¯C o equivalenti, dadestra a sinistra. Nella versione tardo medioevaleprevale invece la versione per righe, dalle unità allepotenze crescenti muovendosi dal basso all’altodella tavola.

Il numero 6408 sarebbe rappresentato con seigettoni nella colonna o sulla riga delle migliaia,quattro in quella delle centinaia, otto in quella delleunità.La tavola si presta bene all’esecuzione di alcuniconteggi, mediante opportuni spostamenti dei gettoni.Nell’uso dei contabili particolarmente importanteera l’addizione. Questa si esegue sulla tavolaposizionando i gettoni corrispondenti al primo numeroe, subito sotto nella colonna o accanto nellariga, altri gettoni che rappresentano il secondo numero,e così via per ogni numero da sommare. Inquesto modo l’addizione è in un certo senso giàcompiuta; sarà solo necessario qualche spostamentoche sostituisce il cambio dei calcoli con calcolidi valore superiore. Se stiamo usando una tavola acolonne, in ogni colonna i gettoni vengono per primacosa riallineati, spingendoli verso l’alto - e forsela parola summa (dal latino summus, il più in alto)ha proprio il ricordo di questo spostamento - senzadistinguere quelli che appartenenvano al primonumero o al secondo. Occorre ora controllare cheogni colonna non contenga più di nove gettoni. Sevi sono gruppi di dieci gettoni questi vanno tolti,aggiungendo al contempo un nuovo gettone nellacolonna che sta subito alla loro sinistra. Questaessenziale operazione di riduzione era nel medioevodetta purgatio rationis, ossia “purificazione”. Ilrisultato è ora leggibile sulla tavola.Per ridurre il numero di gettoni da utilizzare, siprevedeva la possibilità di collocare i gettoni nonsolo nelle colonne o sulle righe delle potenze deldieci, ma anche in posizione intermedia, fra duecolonne o due righe consecutive. Un gettone postofra la riga delle decine e quella delle unità rappresentaad esempio una mezza decina, ossia cinqueunità. Un gettone posto fra la colonna delle migliaiae quella delle centinaia rappresenta mezzamigliaia, ossia il cinquecento.Talvolta sulla tavola comparivano direttamenterighe o colonne per queste posizioni intermedie, alpari delle altre. Del resto nel modo di rappresentazionedei numeri con il sistema romano si usavanoi simboli I, V, X, L, C, D, M. La tavola con le colonneo righe ausiliarie risulta dunque in qualchemodo più naturale. C’è una diretta corrispondenzatra la rappresentazione su tavola e la scritturain simboli: per scrivere un numero si ripete tantevolte un simbolo quanti sono i gettoni della suacolonna o riga.Un discorso analogo vale per il sistema di scritturaacrofonico greco. E la cosidetta tavola di Salamina,il più antico reperto giuntoci dal mondogreco antico, presenta infatti una suddivisione inrighe, in due diverse parti della tavola, con la successionedei simboli che rapprentano i valori 1, 5,10, 50, 100, 500, 1000, 5000 dracme, 1 talento oltreche le frazioni della dracma in oboli.Oltre agli abachi a gettoni descritti sopra, pressoi romani si trova anche una interessante variantedella tavola di conto: una sorta di abaco tascabilein metallo, di cui sopravvivono pochi esemplari.Qui i gettoni non sono più pezzi liberi e staccabilidalla tavola, ma sono sostituiti da una sortadi chiodini (claviculi) con la testa arrotondata chepossono scorrere in apposite scanalature. Le scanalature,divise in una parte inferiore e una piùbreve parte superiore separate da una fascia chereca i simboli numerici, giocano il ruolo delle colonnedell’abaco, corrispondenti ai diversi ordini digrandezza, con quelle all’estrema destra riservateagli oboli e le frazioni di obolo.Corrispondentemente alla versione più semplicedella tavola di conto, ogni colonna avrebbe dovutocontenere dieci, o anche solo nove - poichè con dieciinterviene la riduzione, chiodini per ogni colonna.In realtà gli esemplari rinvenuti corrispondonoalla versione della tavola con le colonne intermedie.Ogni colonna contiene infatti quattro chiodininella parte inferiore, di valore unitario, e un altrochiodino nella parte superiore, che vale cinque voltetanto. Per rappresentare un numero, i chiodini,che non si possono ora né estrarre né aggiungere,vengono spinti verso la fascia centrale di separazione;dunque solo quelli vicino alla fascia sarannosignificativi, gli altri è come se non ci fossero.Questa variante dell’abaco romano ha una parentelamolto stretta con strumenti analoghi utilizzatiancora oggi in Cina e in Giappone: il suanpan e il soroban. Il nostro pallottoliere poi è inveceispirato allo ščët russo, un’altra variante orienta-

le dell’abaco in cui le asticciole sono orizzontali econtengono dieci palline per filaUn’altra interessante modifica della tavole diconto si diffonde in Europa a partire dalla fine delX secolo. È attribuita alla figura di Gerberto d’Aurillac(940-1003), divenuto papa nel 999 con il nomedi Silvestro II. Pare che egli si fosse recato aCordova travestito da pellegrino musulmano e quiavesse appreso l’aritmetica degli arabi che a queltempo già utilizzava comunemente il sistema posizionaleindiano. Prendendo a prestito non la notazioneposizionale ma solamente i simboli delle cifrearabe, egli ideò una variante della tavola in cui siusano gettoni marcati con le diverse cifre. In ognicolonna invece di posizionare tanti gettoni ugualisi metterà allora un solo gettone che reca la cifracorrispondente.Con l’abaco di Gerberto si riduce notevolmenteil numero di gettoni da maneggiare. L’esecuzionedei conti diviene però meno automatica. Si pensiad esempio all’addizione: sia pur colonna per colonnaquesta deve essere eseguita mentalmente dalcalcolatore che dovrà cambiare i gettoni scegliendoquelli con il valore richiesto, laddove nell’abacotradizionale si dovevano solamente introdurre igettoni relativi al secondo numero e, in un certosenso, l’addizione “si faceva” da sé sulla tavola. Inaltri termini, per eseguire i conti con questi abachisi richiedono già abilità di calcolo mentale piùavanzate. La tavola di Gerberto, che grazie allaconcisione della rappresentazione dà modo di averesulla tavola più numeri insieme (come su un fogliodi carta), permette di eseguire operazioni complessecon algoritmi analoghi a quelli che conosciamo.Ha però, rispetto alla carta, lo svantaggio di essereuno strumento ingombrante e poco maneggevole.Come una sorta di anello intermedio tra le antichetavole e il sistema posizionale indo-arabico, il suouso scomparirà infatti con l’affermarsi delle nuovetecniche di calcolo con carta e penna che dal tardoDuecento si diffonderanno in Europa.2 L’artimetica sulla tavola dicontoLe tavole di conto utilizzate nel corso dei laboratorisono del tipo a righe orizzontali, cioè la forma cheprevale nel periodo più tardo di diffusione di talestrumento. A seconda del livello di difficoltà dellaboratorio, si prevedono due modalità di uso dellatavola stessa, una più semplice e una più avanzata,che saranno descritti più nel dattaglio nei paragrafiche seguono.Rappresentazione e cambiLa tavola a righe possiede un numero variabile dirighe orizzontali. Maggiore è il numero di righe, piùgrande è il valore massimo che si può rappresentaresulla tavola. Ogni riga corrisponde infatti ad un ordinedecimale. A partire dal basso troviamo la rigadelle unità, quella delle decine, quella delle centinaia,delle migliaia, e così via. Solitamente ogni trerighe si trova una piccola croce. Escludendo la rigadelle unità, risultano contrassegnate la riga dellemigliaia (la quarta dal basso), la riga del milione(la settima) ed eventualmente poi sulla decima, latredicesima, eccetera. La funzione della crocettacorrisponde a quella del nostro punto che separa lecifre di un numero in gruppi di tre. Serve dunquea facilitare la lettura, permettendo di individuarea colpo d’occhio alcune righe di riferimento.Per rappresentare i valori si dispongono sulla tavolaalcuni gettoni, in modo opportuno. Vi sonodue modalità di utilizzo della tavola. Nella prima,la più semplice, i gettoni si dispongono solamentesulle righe. Ogni gettone posto sulla prima riga apartire dal basso vale 1, sulla seconda vale 10, sullaterza 100, e così via. Il numero complessivo siottiene considerando la somma dei valori.Nell’uso più avanzato si possono utilizzare anchegli spazi intermedi tra le righe. I gettoni posti neglispazi intermedi assumono un valore pari a 5 voltequello di un gettone posto sulla riga subito sotto(ossia pari a metà del valore di un gettone postosulla riga subito sopra); dunque un gettone nellospazio tra la riga delle decine e quella delle unità

vale 5, un gettone nello spazio tra la riga delle centinaiae quella delle decine vale 50, ... e così via.Si no ti l’analogia con il sistema di rappresentazioneromano, che prevede simboli speciali anche peri valori intermedi 5, 50, 500, oltre che per quellifondamentali 1, 10, 100, 1000.L’utilizzo più avanzato della tavola consentedi poter ridurre il numero di gettoni necessari arappresentare un determinato valore.Nell’esempio il numero 208 è rappresentato nellaversione più semplice e nella versione avanzata:gettoni e nello spazio tra le righe al massimo ungettone. Se vi sono cinque gettoni su una riga questivengono sostituiti con un solo gettone da porsinello spazio sopra la riga stessa. Se vi sono duegettoni tra le righe questi vengono sostituiti da unsolo gettone sulla riga superiore.Nella figura è illustrata la riduzione del numero 19nella versione semplice.→XXSegue la riduzione dello stesso numero nellaversione avanzata.Osserviamo che come nel nostro sistema posizionaledi scrittura numerica il valore di una cifradipende dalla posizione occupata, nella rappresentazionesulla tavola il valore dei gettoni è differenziatodalla posizione rispetto alle righe. Se immaginassimodi distinguere i gettoni a seconda dellariga occupata, ad esempio con un colore come accadein alcuni abachi moderni, non ci sarebbe piùbisogno delle righe, ossia il sistema non sarebbe piùposizionale. Avremmo invece un sistema del tuttoanalogo a quello romano, con simboli di valorediverso che vengono sommati.Un numero rappresentato sulla tavola di contoè “ben scritto” se i gettoni utilizzati sono il minornumero possibile. Ad esempio undici gettoni postisulla riga delle unità rappresentano il numeroundici, ma il numero undici può essere meglio rappresentatoutilizzando due soli gettoni: uno sullariga delle unità e uno sulla riga delle decine.Nella versione più semplice della tavola di conto,in cui si va di dieci in dieci, l’aggiustamento oriduzione o purgatio rationis, prevede che su ogniriga possano stare al massimo nove gettoni. Se vene sono di più, ogni gruppo di dieci gettoni vienetolto e sostituito - operando quello che si dice un“cambio” - con un solo gettone da porsi nella rigasuccessiva.Nella versione più avanzata la riduzione prevedeche su ogni riga possano stare al massimo quattroAddizioniL’addizione sulla tavola di conto risulta particolarmentesemplice. Infatti basta rappresentareda una parte della tavola il primo addendo edall’altra il secondo. Il risultato si ottiene riunendoi gettoni. Ovviamente questi vanno spostatifacendo attenzione a non cambiare la riga su cui sitrova ciascun gettone. Prima di leggere il risutatosi controlla che sia scritto “bene”, altrimenti sideve procedere all’aggiustamento o “riduzione”.Nell’esempio: 412+32.X→L’addizione era una delle operazioni più frequenticompiute dai contabili. Dopo aver preso un minimodi confidenza con il posizionamento dei gettoni,con qualche piccolo accorgimento si potrannoeseguire velocemente anche addizioni di più numeripiuttosto grandi. Via via che l’addendo vienepronunciato o letto si potranno posizionare i getto-X→

ni direttamente accanto a quelli che si trovano giàsulla tavola, evitando di doverli riunire alla fine.Converrà inziare a posizionare i gettoni a partiredal valore più alto, per seguire più facilmente l’ordinenaturale in cui il numero viene letto. Se i contisono complessi converrà eseguire i cambi di voltain volta, non appena si noti un gruppo di gettoniche può essere ridotto, in modo da non trovarsi latavola piena di gettoni.SottrazioniLa sottrazione fra due numeri si può eseguire nelseguente modo. Sulla parte sinistra della tavola sipongono i gettoni che rappresentano il minuendo.Servendosi di questi gettoni si compone, dall’altraparte della tavola, il sottraendo. Il risultato è datodai gettoni rimasti a sinistra.Così, volendo eseguire 73-12, si rappresenta il73 ponendo nella versione semplice sette gettonisulla riga delle decine e tre sulla riga delle unità.Per comporre poi il 12 a sinistra, si fa scorrere ungettone sulla riga delle decine e due sulla riga delleunità.X→I gettoni rimasti a destra corrispondono alrisultato: 61.Nella versione avanzata cambia la disposizioneiniziale dei gettoni che rappresentano il 73. Si compionogli stessi spostamenti verso sinistra, cioè ungettone sulla riga delle decine e due sulla riga delleunità, e si legge il risultato finale nei gettoni rimastia destra.Xun gettone che sta sopra. Si procede poi fino a chenon si è completato il sottraendo.Se ad esempio avessi dovuto eseguire 73-14,sulla riga delle unità non avrei trovato quattrogettoni da spostare a sinistra, ma solo tre. Percompletare il 14 avrei allora dovuto sostituire ungettone della riga delle decine con dieci gettonisulla riga delle unità, e finalmente concludere glislittamenti. Lavorando nella versione avanzata,il gettone delle decine viene sostituito con ungettone posto nello spazio intermedio tra decine edunità e cinque gettoni posti sulla riga delle unità:MoltiplicazioniX→La tecnica di base per moltiplicare un numero qualsiasiper un numero a una cifra prevede di rappresentail primo fattore ponendo i gettoni sulla partesinistra della tavola. Per ognuno di questi gettonisi pongono poi sulla stessa riga, ma occupando laparte destra della tavola, tanti gettoni quanto è ilnumero indicato dal secondo fattore. Per non perdereil conto ci si aiuta con le mani: l’indice dellamano sinistra si posa di volta in volta sul gettonedel primo fattore che stiamo ripetendo, mentre lamano destra dispone i gettoni sull’altra parte dellatavola. Dopo aver posizionato tutti i gettoni, si fal’eventuale riduzione e si legge il risultato.Nell’esempio seguente: il primo passo dellamoltiplicazione di 212 per 3:XXXX→Può accadere che i gettoni da togliere in una determinatariga (o tra le righe) siano più di quelli adisposizione. Si fa allora un cambio “spicciolando”Se la moltiplicazione è per un numero a più cifresi moltiplica il primo fattore per la cifra delle unitàcome sopra, posizionando i gettoni sulla destra. Sispostano poi tutti i gettoni del primo fattore di una

iga più in alto e si moltiplica il numero così ottenutoper la cifra delle decine del secondo fattore.Si sposta il primo fattore ancora di una riga più inalto, se il secondo fattore ha anche le centinaia, esi moltiplica per queste. E così via. Il risultato èdato dal totale di tutti i gettoni accumulati nellaparte destra.Questa tecnica è molto semplice e automatica.Non richiede di conoscere le tabelline della moltiplicazione,riducendo ogni passaggio a somme successive.Lo svantaggio è che il procedimento può risultaremolto lungo. Per guadagnare in rapidità, unaserie di passaggi possono essere condensati e sostituitida moltiplicazioni parziali. Si potrà allora adesempio leggere il valore rappresentato su un’interariga del primo fattore e moltiplicarlo mentalmenteper la cifra del secondo che si sta considerando. Inquesto modo si procede come avviene nell’usualealgoritmo per la moltiplicazione.DivisioniSi può eseguire con un procedimento inverso rispettoa quello della moltiplicazione: dopo aver postosulla sinistra i gettoni che rappresentano il dividendo,iniziando dalle righe più alte per ogni gruppocomposto da tanti gettoni quanti il divisore, si poneun gettone a destra. Come per la moltiplicazione,la divisione sulla tavola può dunque essereeseguita riproducendo effettivamente passo passoil suo significato di raggruppamento o sottrazionisuccessive, senza ricorrere a tabelline e divisioniparziali. Ma per snellire il procedimento, quandogli esempi si complicano, si rende in generale necessariosostituire una serie di passaggi con il calcolomentale.3 Indicazioni sui laboratoriMateriale. Il materiale per i laboratori comprendeun CD-rom in cui sono contenute diapositive daproiettare durante lo svolgimento del laboratorario.Si tratta di diapositive con immagini e brevicommenti da usare per le spiegazioni e per le attività.Le presentazioni sono divise in quattro livelli:livello 0, 1, 2, 3. Il livello 0, pre-calcolo, è pensatoper i piccolissimi, corrispondentemente alla sezionedei cinque anni della Scuola dell’Infanzia. I livelli1 e 2 sono pensati per il primo e il secondo ciclodella Scuola Primaria. Il livello 3 è infine pensatoper la Secondaria Inferiore (o inizi della SecondariaSuperiore). I livelli costituiscono un’indicazionedi massima: ogni insegnante potrà valutare se appoggiarsial materiale di un altro livello, a secondadella classe.Il materiale per i laboratori comprende inoltre letavole di conto, su stoffa arrotolabile, e sacchettinidi gettoni. Si consiglia di suddividere i partecipantiin quattro gruppi e dotare ciascun gruppo delmateriale.Qui di seguito diamo alcune indicazioni su comesvolgere un laboratorio, a seconda del livello scelto,appoggiandosi al materiale fornito.Livello 0: 5 anniL’attività prevista per il livello 0 consiste in un’introduzioneall’uso della tavola. Si richiede che ibambini abbiano una certa confidenza con il conteggiocon le dita delle mani, almeno fino al cinque.Per contare fino a dieci si può ripetere il conteggiofino a cinque con l’altra mano. Con le diapositiveiniziali si richiama il conteggio con le dita dellemani. Si suggerisce poi la corrispondenza fra ditae gettoni. Si passa poi a introdurre la tavola, comespazio per collocare i gettoni. Per aiutare la giustacollocazione spaziale si suggerisce che nella riga piùbassa della tavola ci siano tante casette immaginarie:queste sono le casette dei gettoni delle dita.Contando fino a dieci con le dita si mettono i gettoninelle casette. Questo primo obiettivo può esserepreparato da tappe intermedie. Si può ad esempiorealizzare su un foglio uno schema con il contornodelle due mani appaiate e, su una riga, dieci casettein corrispondenza di ciascuna delle dieci dita,sull’esempio della prima scheda che compare tra lediapositive. Il conteggio fino a dieci con la disposizionedei gettoni sulla prima riga può essere rimeditatoattraverso la rappresentazione grafica ripropostada un’altra scheda da riempire: sulle tavolesi disegnano tanti gettoni quante sono le dita delle

mani corripondenti. Si propone anche una schedain cui si dà un certo numero di quadratini colorati.Nel disegno della mano si devono colorarealtrettante dita (con lo stesso colore) e disegnaresulla tavola la configurazione corrispondente (conun unico colore, quello dei gettoni).Con le diapositive successive si illustra ciò cheavviene una volta arrivati a dieci. Questo viene fattoattraverso un’immagine-gioco (che si può eventualmenteampliare a piacere attraverso narrazionee drammatizzazione): da dieci dita di bambino nasceun’altra entità che abbiamo raffigurato comeun fantasmino. I fantasmini hanno dieci dita, cheperò non si vedono, e una sola testa: un gettone.Anche i gettoni dei fantasmini hanno la loro casasulla tavola. Queste case, anch’esse immaginarie,stanno sulla seconda riga dal basso. Si potrà allorariprendere la scheda con le configurazioni deigettoni sulla tavola e aggiungere (tagliando e incollando)la rappresentazione alternativa del dieci:un solo gettone sulla seconda riga invece che diecisulla prima.Ogni bambino che conta impiegando tutte e diecile dita diventa un fantasmino. Coinvolgendo piùbambini si può proseguire oltre il dieci (anche senzanominare il nome dei numeri) e, facendo attenzionealle trasformazioni in fantasmini, i valori mimatiattraverso le dita si possono tradurre con gettonisulla tavola. Alcune diapositive propongono esercizidi questo tipo, in cui compaiono mani e ditada tradurre in gettoni sulla tavola. Seguono poi lerisposte. Con le ultime diapositive si propone l’esercizioinverso: si mostrano alcune configurazionisulla tavola e si chiede ai bambini di riprodurleservendosi delle dita e impersonando fantasminicorrispondenti.Livello 1: 6-8 anniNel livello 1, il più semplice in cui si affrontano iprimi rudimenti di calcolo sulla tavola, si utilizza latavola esclusivamente secondo la variante più semplicein cui i gettoni si posizionano sulle righe, manon negli spazi intermedi. Con le prime diapositivesi illustra come si rappresentano i primi numerisulla tavola e si propongono facili esercizi siadi lettura che di rappresentazione (con risposte).Si illustra poi la riduzione, o “cambio”, proponendodegli esercizi. Con le diapositive successive siintroduce l’addizione. Il primo esempio scelto èmolto semplice e mira a evidenziare l’idea del sempliceslittamento dei gettoni, senza far intervenireil cambio. Con un secondo esempio ci si estende alcaso in cui alla fine degli slittamenti è necessarioeseguire il cambio. Come attività si propongonoaddizioni con cambio fra numeri a una e due cifre.Nella parte finale si introduce la sottrazione. Ci silimita a esempi ed esercizi in cui non interviene ilcambio e il risultato si ottiene solamente grazie alloslittamento lungo le righe.Livello 2: 8-10 anniNel livello 2 si introduce la modalità avanzata dell’usodella tavola, con la possibilità di posizionarei gettoni negli spazi intermedi tra le righe. Si illustradunque come posizionare i gettoni per contarefino a dieci e oltre. Si propongono esercizi di letturae, a seguire, di rappresentazione di alcuni valori,fornendo le risposte per verifica. Si illustra poi l’addizione.Il primo esempio scelto è molto semplice emira a evidenziare l’idea del semplice slittamentodei gettoni, senza far intervenire il cambio. Con unsecondo esempio ci si estende al caso in cui alla finedegli slittamenti è necessario eseguire gli aggiustamentisulle righe e negli spazi intermedi. Si propongonoaddizioni senza e con cambio fra numeria due e tre cifre.Con le diapositive seguenti si illustra la sottrazione.Anche qui il primo esempio e gli esercizi relativinon richiedono lo spicciolamento. In un secondomomento si spiega invece come procedere quandonon è possibile portare avanti immediatamente ilcompletamento del sottraendo.Si passa poi alla moltiplicazione. Si illustra latecnica base di moltiplicazione di un numero perun numero ad una sola cifra che prevede la ripetizionedi ogni gettone del primo il numero di volteindicato dal secondo, con un eventuale aggiustamentofinale. Anche gli esercizi proposti si limitanoa esempi di questo tipo.Si conclude con la divisione. Anche questa viene

proposta nella tecnica di base che prevede di individuaregruppi di gettoni pari al divisore. Seguonoesercizi sul modello dell’esempio proposto.Livello 3: da 10 anniÈ il livello più complesso, pensato per le classi dellaScuola Secondaria Inferiore (o inizio della Superiore).Qui si utilizza la tavola nella versione più avanzata,con la possibilità di posizionare i gettoni neglispazi intermedi tra le righe. Come già nel livelloprecedente, dopo aver illustrato come posizionare igettoni per contare fino a dieci e oltre, si propongonopoi esercizi di lettura e, a seguire, di rappresentazionedi alcuni valori, ora più complessi. Seguonole risposte per verifica.L’addizione viene illustrata con un primo esempiomolto semplice, che mira a evidenziare l’ideadel semplice slittamento dei gettoni, senza far intervenireil cambio, seguito da un secondo esempioincui alla fine degli slittamenti è necessarioeseguire gli aggiustamenti sulle righe e negli spaziintermedi. Gli esercizi coinvolgono numeri a piùcifre, fino a sei, e prevedono il cambio.Anche per la sottrazione si propone un primosempplice esempio, che non richiede lo spicciolamento,seguito da un secondo in cui si spiega invececome procedere quando non è possibile portareavanti immediatamente il completamento del sottraendo.Gli esempi coinvolgono numeri fino a seicifre in ordine crescente di difficoltà.Si passa poi alla moltiplicazione. Si illustra latecnica base di moltiplicazione di un numero perun numero ad una sola cifra che prevede la ripetizionedi ogni gettone del primo il numero di volteindicato dal secondo, con un eventuale aggiustamentofinale. Seguono alcuni esercizi su questomodello. Si illustra poi come eseguire una moltiplicazioneper un numero a due cifre, eseguendo iparziali e sommando. Gli esercizi propongono moltiplicazioniper numeri a due e anche a tre cifre, aiquali si estende facilmente il procedimento. Infinele divisioni. Gli esempi proposti si limitano anchein questo livello alla tecnica di base che prevededi individuare gruppi di gettoni pari al divisore.Seguono semplici esercizi.