<strong>Esercizi</strong>o 9 Sia G = GL(3, 2) il gruppo delle matrici invertibili <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3 su un campocon due elementi. Si provi che esiste un omomorfismo iniettivo G → S 7 . Sapendo cheA 7 è il solo sottogruppo normale proprio non banale <strong>di</strong> S 7 si provi che G è semplice.<strong>Esercizi</strong>o 10 Sia P un 3-sottogruppo <strong>di</strong> Sylow <strong>di</strong> S 6 . Si provi che N G (P ) ≃ S 3 ≀ C 2 .GRUPPI LIBERI E PRESENTAZIONI<strong>Esercizi</strong>o 11 Sia F un gruppo libero e sia 1 ≠ a ∈ F .1. Si provi che C F (a) è ciclico.2. Si provi che esiste n ≥ 1 tale che <strong>per</strong> ogni m > n non esiste alcun b ∈ F tale cheb m = a.<strong>Esercizi</strong>o 12 Sia F un gruppo libero su X, e sia α ∈ Aut(F ) tale che X α = X. Si proviche se C F (α) ∩ X = ∅, allora C F (α) = 1.<strong>Esercizi</strong>o 13 Siano a, b ∈ N <strong>di</strong>versi da 0 e coprimi, e siaG = 〈x, y | x −1 y −1 xy a+1 = 1, y −1 x −1 yx b+1 = 1〉.Si provi che G = 〈x〉 × 〈y〉 ≃ C b × C a (prodotto <strong>di</strong>retto <strong>di</strong> gruppi ciclici).<strong>Esercizi</strong>o 14 Sia G un gruppo una cui presentazione ha n generatori e s relazioni. Siprovi che se s < n, G è infinito. [sugg.: osservare che se F r è il gruppo libero <strong>di</strong> rango rallora F r /F ′ r ≃ Z r ]<strong>Esercizi</strong>o 15 D = 〈y〉⋊〈x〉, con |y| = ∞, |x| = 2 e y x = y −1 , il gruppo <strong>di</strong>edrale infinito,e poniamo z = xy. Si descriva il grafo <strong>di</strong> Cayley Γ = Γ[D, T ] con T = {x, y}. Sia quin<strong>di</strong>A = Aut(Γ) (quin<strong>di</strong> D ≤ A me<strong>di</strong>ante la rappresentazione <strong>per</strong> moltiplicazione a sinistra).Sia v un vertice <strong>di</strong> Γ, e ia H = {α ∈ A | vα = v} lo stabilizzatore in A <strong>di</strong> v, Si provi che|H| = 2. Si concluda che DH = A, e dunque, in particolare, che D AGRUPPI FINITAMENTE GENERATI E CRESCITA<strong>Esercizi</strong>o 16 Un gruppo G sod<strong>di</strong>sfa la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> massimo sui sottogruppi (abbreviato,Max) se ogni catena H 0 ≤ H 1 ≤ H 2 ≤ . . . <strong>di</strong> sottogruppi <strong>di</strong> G è finita (cioè esisten ≥ 0 tale che H i = H n <strong>per</strong> ogni i ≥ n).(a) Sia G un gruppo, si provi G sod<strong>di</strong>sfa Max se e solo se ogni sottogruppo <strong>di</strong> G èfinitamente generato.(b) Sia G un gruppo e N G. Si provi che G sod<strong>di</strong>sfa Max se e soltanto se N e G/Nsod<strong>di</strong>sfano Max.(c) Sia A un gruppo abeliano. Si provi che A sod<strong>di</strong>sfa Max se e soltanto se è finitamentegenerato.
<strong>Esercizi</strong>o 17 Si provi che un gruppo risolubile finitamente generato e <strong>per</strong>io<strong>di</strong>co è finito.<strong>Esercizi</strong>o 18 Si determini la funzione <strong>di</strong> crescita, rispetto al sistema <strong>di</strong> generatori{x, y}, del gruppo <strong>di</strong>edrale infinito D = 〈x, y | x 2 = y 2 = 1〉.<strong>Esercizi</strong>o 19 Sia G un gruppo f.g. a crescita polinomiale. Si provi che ogni sottogruppofinitamente generato ed ogni quoziente <strong>di</strong> G hanno crescita polinomiale.<strong>Esercizi</strong>o 20 Sia G un gruppo finitamente generato e sia H ≤ G <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce finito: siprovi che se X e Y sono sistemi finiti <strong>di</strong> generatori, rispettivamente, <strong>di</strong> G e <strong>di</strong> H, alloraγGX ∼ γY H(in particolare, se H ha crescita polinomiale, allora anche la crescita <strong>di</strong> G è;polinomiale).<strong>Esercizi</strong>o 21 Si descriva il sottogruppo <strong>di</strong> Aut(T 2 ) generato dagli automorfismi ricorsivamentedefinitiα(α, τ) β = (τ, β)dove τ = (0 1).