Esercizi sui limiti di funzione e continuità

Esercizi sui limiti di funzione e continuità1. Calcolare i seguenti limiti (NB: x 4 − x 2 {+∞, −∞} indica che va calcolato il limite per x → +∞e x → −∞)x 4 − x 2 {+∞, −∞}, x 3 − x 2 {−∞, +∞},x 5 + 3x 2 + xx 6 − 1{+∞, 0, −∞},|x + 2|x 2 − 4{−2},(x + 2) 2|x 2 − 4|{−2},(x + 1) 2x 2 + 1{+∞},x 2 − 4x + 2{−2},11 − x − 31 − x 3 {1},2x 2|x| + 1 + x{−∞},x 3√ x + x 2x 4 − x{0 + },2. Calcolare i seguenti limiti per x → 0sin xx 2 , sin(2x)x 2 ,sin(3x)sin(2x) ,x + cos xx − sin x{+∞}, x 2 + sin x {+∞}.sin(2x)x cos x , sin x log |x|, tan 2 x sin ( )1x1 − cos x ,1 − cos 3 xtan 2 x , 1 + sin x − cos x1 − sin x − cos x , log |x| tan x, 1x log 1 + x1 − x , 1x log 1/23. Calcolare i seguenti limiti per x → +∞[ √1x] √ 9x 2 +3x+1cos, 3x 4 [ log(x 4 + 3) 1/3 − log x 4/3] ,4. Calcolare i seguenti limiti( x 2 + 3x + 2limx→−∞ x 2 + 11limy→1 1 − y − 31 − y 3 , limx→2limx→ π 4) log3 e −x √, lim x 2 + 2x + x,x→−∞3x + 1x 2 + 1 log 3 e −x ,x 3 − 4x 2 + 4xx 2 + x − 6 , limx→−2(2 sin 2 x) 1/ cos(2x) , limx→3(x − 3) −2 log 2 x 3 ,x 2lim−∞ |x| + 1 + xlim(x− x→3 3)−2 log x 3 ,5. Studiare la continuità in x = 0 delle seguenti funzioni⎧sin ⎪⎨2 x cos ( )⎧1xf(x) = e x se x < 0 ⎪⎨− 1f(x) =⎪⎩⎪⎩log(1 + x), se x ≥ 0⎧(tan x) ⎪⎨3 sin 1 xse x > 0f(x) = 1 − cos x⎪⎩cos x se x ≤ 0⎧1 − cos⎪⎨3 xx(ef(x) =x se x < 0− 1)⎪⎩log( √ x + 1) se x ≥ 0(x + √ )1 + x 2 .( x 4 ) x 2 +3+ 1 x 5 +2x.x 4 + 2x − 1( √ )xlimx→ √ log x 2 2 − 12 + x 2 ,− 2(x + 2) 2|x 2 − 4| ,lim (1 − tan x) tan(2x),x→ π 4lim log 2 x + log x − 1.x→ 1 e ±(1 − cos x) cos 2 xlog(1 + x)log 2 x − 1se x > 0sin x se x ≤ 0⎧sin 2 x 2⎪⎨4log(1 + x 2 ) + 3x 2 se x < 0f(x) =⎪⎩ 14 + √ x se x ≥ 0⎧⎨ (cos √ |x|) 1/x se x > 0f(x) =⎩0 se x ≤ 0

6. Studiare la continuità in x = −1 di⎧√ xe−1+x 2se x < −1⎪⎨f(x) = 0 se x = −1⎪⎩e cos(x+1)−1 − e x+1x + 1se x > −17. Disegnare i graci di funzioni denite a tratti, studiandone le proprietà: dominio, immagine,punti di discontinuità, punti di massimo (minimo) assoluti, valori di massimo (minimo) assoluti,punti di massimo (minimo) relativi.⎧⎨ e x−1 se 0 ≤ x < 1f(x) =⎩e −x − e se x ≥ 1⎧|2 − x|⎪⎨se x ≤ 0f(x) = 2 − |x| se 0 < x ≤ 2⎪⎩⎧ 5 − x se 2 < x ≤ 4x + 1se x ∈ (−∞, π) \ {0}|x|⎪⎨f(x) =0 se x = 0⎪⎩sin(2x)se x ≥ πSugg. log 3 (2x) = log(2x)log 3 . 2⎧⎪⎨f(x) =|2x 2 − 1| se x ≤ 01xse 0 < x ≤ 1⎪⎩log(x + 1) se x > 1⎧⎪⎨ arctan |x| se x ≠ 0f(x) =⎪⎩π2se x = 0⎧∣⎪⎨ ∣cos(x + π ∣ ∣∣2 )f(x) =⎪⎩se x ∈ [−π2 , π 2 )e log 3 (2x) se x ≥ π 2