บทที่ 5 ปริพัน ธ

บทที่ 5ปริพันธ์5.1 บทนิยามและทฤษฎีบทพื้นฐานของปริพันธ์5.1.1 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตในทางคณิตศาสตร์มีการดำเนินการที่เป็นผกผัน (inverse operations) ซึ่งกันและกันเป็นจำนวนมาก เช่น การบวกและการลบ การคูณและการหาร การยกกำลังและการถอดราก เป็นต้นในที่นี้เราจะศึกษาการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์บทนิยาม 5.1 ฟังก์ชัน F จะถูกเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) ของ f บนช่วงเปิดI ถ้า F ′ (x) = f(x) สำหรับทุกค่าของ x ∈ Iตัวอย่าง 5.1 จงหาปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = x 2วิธีทำ .........โดยทั่วไปจะสังเกตได้ว่า ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ใดๆของ f และ C เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้วd [ ]F(x)+C = F ′ (x)+0 = f(x)dxดังนั้น F(x)+C เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆคำถาม มีปฏิยานุพันธ์ของ f(x) นอกเหนือจาก F(x)+C หรือไม่?คำตอบ ไม่มีทฤษฎีบท 5.1 ให้ F และ G เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f บนช่วง [a,b] แล้วจะได้ว่าเมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆG(x) = F(x)+C97

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 98หมายเหตุ ทฤษฎีบท 5.1 กล่าวว่า ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้วปฏิยานุพันธ์ใดๆของf สามารถเขียนอยู่ในรูป F(x)+C สำหรับค่าคงตัว C บางค่า และได้มีการกำหนดชื่อให้กับปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชัน ดังบทนิยามต่อไปนี้บทนิยาม 5.2 กำหนดให้ F เป็นปฏิยานุพันธ์ใดๆของ f ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต หรือ อินทิกรัลไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของ f(x) (เทียบกับตัวแปร x) ถูกกำหนดโดย∫f(x)dx = F(x)+Cเมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆ และจะเรียก C ว่า ค่าคงตัวของการอินทิเกรต (constant ofintegration)เราจะเรียกการหาปริพันธ์ว่า การอินทิเกรต (integration) และในที่นี้ f(x) ถูกเรียกว่า ปริพัทธ์ (integrand) หรือเป็นฟังก์ชันที่จะอินทิเกรต สำหรับพจน์ dx จะเป็นตัวกำหนดว่า x คือ ตัวแปรของการอินทิเกรต (variable of integration)∫ตัวอย่าง 5.2 จงหา 4x 3 dxวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.3 จงหาวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.4 จงหาวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.5 จงหาe x dxcosωdωx n dx โดยที่ n ≠ −1วิธีทำ .........จากตัวอย่างข้างต้นจะได้ว่าเราสามารถหาปฏิยานุพันธ์ของกฎอนุพันธ์ทุกกฎได้หรือกล่าวได้ว่ากฎการหาอนุพันธ์ทุกกฎจะมีกฎการหาอินทิกรัลที่สมนัยกันเสมอ ตารางต่อไปนี้จะแสดงกฎการหาอินทิกรัลที่สำคัญ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 99∫∫x n dx = xn+1 1n+1 +C (n ≠ −1) dx = ln|x|+C∫∫xe x dx = e x +C a x dx = ax+C, a > 0, a ≠ 1∫∫lnasinxdx = −cosx+C cosxdx = sinx+C∫∫sec 2 xdx = tanx+C csc 2 xdx = −cotx+C∫∫secxtanxdx = secx+C cscxcotxdx = −cscx+C∫∫1√ dx = 11−x2 sin−1 x+C1+x dx = 2 tan−1 x+C∫= −cos −1 x+C = −cot −1 x+C1|x| √ x 2 −1 dx = sec−1 x+C= −csc −1 x+Cทฤษฎีบทต่อไปจะช่วยให้เราสามารถนำกฎการหาอินทิกรัลมาใช้ร่วมกันได้ทฤษฎีบท 5.2 ให้ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีปฏิยานุพันธ์ แล้วจะได้ว่าสำหรับค่าคงตัวa และ b ใดๆ∫ [af(x)+bg(x) ]dx = a∫∫f(x)dx+bg(x)dxจากทฤษฎีบทนี้จะสังเกตได้ว่า เราสามารถหาอินทิกรัลของผลบวก ผลต่าง และผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับฟังก์ชันได้ อย่างไรก็ตามอินทิกรัลของผลคูณ (หรือผลหาร) ของฟังก์ชัน ไม่เท่ากับผลคูณ (หรือผลหาร) ของอินทิกรัลของฟังก์ชัน∫ตัวอย่าง 5.6 จงหา (3sinx+4x 15 )dxวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.7 จงหา(2e x −3sec 2 x)dxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.8 จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้∫1(a) 3√ dxx2(b) ∫x(1+2x 3 )dx(c)∫ x 4 +3dxx(d)∫ sin2xsinx dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 100วิธีทำ .........นอกจากนี้เราสามารถหาอินทิกรัลของฟังก์ชันต่างๆโดยใช้ตารางของกฎการหาอินทิกรัลข้างต้นเมื่อ x ถูกแทนด้วย ax โดยที่ a เป็นค่าคงตัวใดๆได้ดังนี้ เริ่มด้วยการพิจารณาdsin3x = 3cos3xdxเมื่อค่าคงตัว 3 ได้มาจากการใช้กฎลูกโซ่ และจากการที่กฎอนุพันธ์ทุกกฎ จะนำไปสู่กฎการหาอินทิกรัล เราสังเกตได้ว่าเนื่องจาก∫cos3xdx = 1 3 sin3x+C( )d 1dx 3 sin3x+C = cos3xตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างเฉพาะที่นำไปสู่ทฤษฎีบทต่อไปนี้∫ทฤษฎีบท 5.3 ถ้า f(x)dx = F(x)+C แล้วสำหรับค่าคงตัว a ≠ 0 ใดๆ∫f(ax) dx = 1 a F(ax)+Cตัวอย่าง 5.9 จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้∫∫(a) cos(5x)dx (b)∫∫(c) 7csc 2 (2x)dx (d)3e 4x dx( ) ( ) 3 3sec2 x tan2 x dxวิธีทำ .........5.1.2 ปริพันธ์จำกัดเขตทฤษฎีบท 5.4 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] แล้ว∫ ba] bf(x)dx = F(x) = F(b)−F(a)aเมื่อ F เป็นปฏิยานุพันธ์ใดๆ ของ f นั่นคือ F ′ (x) = f(x) สำหรับทุกค่าของ x ∈ [a,b]ในที่นี้เราเรียก∫ baf(x)dx ว่า ปริพันธ์จำกัดเขต หรือ อินทิกรัลจำกัดเขต (definiteintegral) ของ f จาก a ถึง b และเรียก a และ b ว่า ลิมิตของการอินทิเกรต (limitof integration) โดยที่ a คือ ลิมิตล่างของการอินทิเกรต (lower limit of integration)และ b คือ ลิมิตบนของการอินทิเกรต (upper limit of integration)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 101สมบัติของปริพันธ์จำกัดเขต1.2.∫ ab∫ aaf(x)dx = −f(x)dx = 0∫ baf(x)dxทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นกฎทั่วไปของปริพันธ์จำกัดเขตทฤษฎีบท 5.5 ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง [a,b] และ c และ d เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้ว∫ ba[cf(x)+dg(x)]dx = c∫ ba∫ bf(x)dx+d g(x)dxaทฤษฎีบท 5.6 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง [a,b] และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้ว∫ baf(x)dx =∫ caf(x)dx+∫ bcf(x)dxทฤษฎีบท 5.7 กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วง [a,b] และ g(x) ≤f(x) สำหรับทุกค่าของ x บนช่วง [a,b] ดังนั้น∫ bag(x)dx ≤∫ baf(x)dxตัวอย่าง 5.10 จงหาค่าของ∫ 40(x 2 −4x+2)dxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.11 จงหาค่าของ∫ 10(3+x√ x)dxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.12 จงหาค่าของวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.13 จงหาค่าของ∫ 2ππcosθdθ∫ −e−e 2 1x dxวิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 102แบบฝึกหัด 5.11. จงหาปฏิยานุพันธ์ใดๆในรูปแบบ F(x)+C ของฟังก์ชัน f(x) ต่อไปนี้(a) f(x) = 5 (b) f(x) = x 2 +π(c) f(x) = x 5/4 (d) f(x) = 1/ 3√ x 2(e) f(x) = x 2 −x (f) f(x) = 4x 5 −x 3(g) f(x) = 27x 7 +3x 5 −45x 3 + √ 2x(h) f(x) = 3 x − 2 (i) f(x) = 4x6 +3x 42 x 3x 32. จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้∫(a) 3x 4 dx(b)∫(c) (3x 4 −3x)dx (d)∫(e) 3 √ xdx (f)∫(x 2 +x)dx∫(x+1) 2 dx∫ (3− 1 )dxx 4∫ x 1/3 ∫−3(x 2 +1) 2(g) dx (h) √ dxx 2/3 x∫∫(i) (sinx−cosx)dx (j) 2secxtanxdx∫∫(k) 5sec 2 xdx (l) (3e x −2)dx∫∫(m) (3cosx−1/x)dx (n)(5x− 3 )dxe∫∫x(o) 5sin2xdx (p) 3sec2xtan2xdx(q)∫ e x +3e x dx (r)∫x 1/4 (x 5/4 −4)dx3. จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้(a)(c)(e)∫ 10∫ 51∫ 502xdx(2+3x−x 2 )dx(1+2x 3 )dx(b)(d)(f)∫ 5−1∫ 20∫ 21(1+3x)dx(2−x 2 )dxx 3 dx4. จงใช้ทฤษฎีบท 5.5 และ 5.6 เขียนนิพจน์ต่อไปนี้ในรูปปริพันธ์จำกัดเขตเพียงปริพันธ์

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 103เดียว(a)(c)(e)∫ 20∫ 20∫ 31f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx+∫ 32∫ 12∫ 63f(x)dxf(x)dxf(x)dx+∫ 126(b)(d)f(x)dx∫ 30∫ 2f(x)dx−f(x)dx+∫ 32∫ 3−1 2f(x)dxf(x)dx5. กำหนดให้∫ 82f(x)dx = 1.8 และ∫ 85f(x)dx = 3.2จงหา∫ 52f(x)dx6. กำหนดให้∫ 31f(x)dx∫ 10f(x)dx = 3,∫ 40f(x)dx = −7และ∫ 43f(x)dx = 2 จงหา7. จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)(q)∫ 3−1∫ 40∫ 21∫ 33∫ ππ/2∫ 91∫ 98∫ 1−1∫ 2x 5 dx(b)∫ 20(2x−3)dx∫√ 4xdx (d) ( √ x+3x)dx∫31x dx (f) (x √ x+x −1/2 )dx4 0√∫ π/2x5 +2dx (h) 2sinxdxsecxtanxdx8. จงหาปริพันธ์ต่อไปนี้0(j)00∫ ππ/2(2sinx−cosx)dx∫112x dx (l) (e x −e −x )dx2 x dx (n)0∫ 3(e x +e −x )dx (p)f(x)dx เมื่อ f(x) ={0(3e 2x −x 2 )dx∫ √ 3x 4 ถ้า 0 ≤ x < 1x 5 ถ้า 1 ≤ x ≤ 2161+x 2 dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 104(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)(q)∫∫∫∫ 0−1∫ 21∫ 41∫ 4x −3/4 dx(1−x)(2+x 2 )dx(b)(d)∫∫(x 3 +6x+1)dx(2− √ x) 2 dx∫sinx11−sin 2 x dx (f) (1−2x−3x 2 )dx0∫ 3( 1(2x−e x )dx (h)x − 1 )dx2 x 41∫ 1x 2 +1√ dx (j) x( √ x+ 3√ x)dxx 0√ ∫ 5 3x dx (l) |x 2 −1|dx−21∫ π/3π/6∫ e1( √x− 2 √x)dx (n)csc 2 xdxx 2 +x+1xdx(p)(r)∫ 0−1∫ π/40∫ 2คำตอบแบบฝึกหัด 5.1−1(x+1) 3 dx1+cos 2 xcos 2 x dx(x−2|x|)dx1. (a) 5x+C (b) 1 3 x3 +πx+C (c) 4 9 x9/4 +C (d) 3 3√ x+C(e) 1 3 x3 − 1 2 x2 +C (f) 2 3 x6 − 1 4 x4 +C (g) 27 8 x8 + 1 2 x6 − 454 x4 + √ 22 x2 +C(h) − 3 x + 1x 2 +C (i) x 4 + 3 2 x2 +C2. (a) 3 5 x5 +C (b) 1 3 x3 + 1 2 +C (c) 3 5 x5 − 3 2 x2 +C (d) 1 3 (x+1)3 +C(e) 2x 3/2 +C (f) 3x+ 1 3 x−3 +C (g) 3 2 x2/3 −9x 1/3(h) 2 9 x9/2 + 4 5 x5/2 +2x 1/2 +C (i) −cosx−sinx+C (j) 2secx+C(k) 5tanx+C (l) 3e x −2x+C (m) 3sinx−ln|x|+C(n) 5 2 x2 +3e −x +C (o) − 5 2 cos2x+C (p) 3 2 sec2x+C (q) x−3e−x +C(r) 2 5 x5/2 − 16 5 x5/43. (a) 7,385 (b) −21,980 (c) 323,400 (d) −2,746,200 (e) 2,870(f) 44,520 (g) n(n+1)(2n+1)3−3n (h) 4n(n+1)(2n+1) − n(n+1)6 2

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1054. (a)(e)∫ 30∫ 121f(x)dxf(x)dx(b)∫ 20f(x)dx(c)∫ 10f(x)dx(d)∫ 3−1f(x)dx5. −1.4 6. −127. (a) 3643(b) −2 (c) 16 3(d) 88 3(e) 7 8(f) 12 5(g) 0(h) 2 (i) หาค่าไม่ได้ (j) 3 (k) ln3 (l) e−e −1 −2 (m) 28ln2(n) 3 2 e6 − 21 2(o) 2e−2e −1 (p) π 2(q) 10.78. (a) 4x 1/4 +C (b) 1 4 x4 +3x 2 +x+C (c) 2x−x 2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 +C(d) 4x− 8 3 x3/2 + 1 2 x2 +C (e) secx+C (f) −1 (g) −2+ 1 e(h) 2881(i) 6(3 √ 2−2)/5 (j) 2935(k) 2 √ 5 (l) 283(m) 2 3(n) 1 4(o) 2 √ 3/3 (p) 1+ π 4(q) 1 2 e2 +e− 1 2(r) −3.55.2 เทคนิคการหาปริพันธ์5.2.1 การอินทิเกรตโดยการแทนที่ในหัวข้อนี้เราจะเรียนรู้เทคนิคที่ช่วยในการหาปริพันธ์ที่เราเรียกว่า การอินทิเกรตโดยการแทนที่(integration by substitution) เนื่องจากกฎลูกโซ่ช่วยในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชันซ้อนกัน การอินทิเกรตโดยการแทนที่ จะเป็นวิธีการที่ช่วยทำให้เราเห็นว่า∫ฟังก์ชันที่เป็นปริพัทธ์ของอินทิกรัลเป็นผลที่ได้มาจากกฎลูกโซ่ของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น พิจารณา 2xe x2 dxถ้าให้ F(x) = e x2 แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้ว่าF ′ (x) = e x2 ddx (x2 ) = 2xe x2ซึ่งเป็นปริพัทธ์ของอินทิกรัล ดังนั้น F(x) = e x2 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 2xe x2 และจะได้ว่า∫2xe x2 dx = e x2 +Cในกรณีทั่วไป ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ใดๆของ f แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้d [ ]F(u) = F ′ (u) dudx dx = f(u)du dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 106ดังนั้นจะได้ว่า∫f(u) du ∫ ∫ddx dx = [ ]F(u) dx = F(u)+C =dxf(u)du (5.1)และสมการ (5.1) บ่งชี้ว่าdu = dudx dxบทนิยาม 5.3 (ผลต่างเชิงอนุพันธ์) ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ใดๆ แล้วผลต่างเชิงอนุพันธ์ dy ของ y ถูกกำหนดโดยดังนั้นถ้าเราไม่สามารถหา∫dy = f ′ (x)dx = dydx dxh(x)dx ได้โดยตรง เราสามารถใช้วิธีการแทนที่ หรือการหาตัวแปรใหม่ u และฟังก์ชัน f(u) ที่ทำให้∫ ∫h(x)dx = f ( u(x) ) ∫dudx dx = f(u)duซึ่งจะช่วยให้การอินทิเกรตง่ายขึ้น∫ตัวอย่าง 5.14 จงหา (x 4 −1) 99 (4x 3 )dxวิธีทำ .........ขั้นตอนการอินทิเกรตโดยการแทนที่• เลือกนิพจน์ u โดยทั่วไปเราจะเลือกให้ u เป็นนิพจน์ซึ่งอยู่ส่วนในสุด หรือพจน์ส่วนในของฟังก์ชันประกอบ (composite function) เช่นในตัวอย่าง 5.14 จะได้ว่าx 4 −1 เป็นพจน์ส่วนในของ (x 4 −1) 99• คำนวณ du = dudx dx• แทนที่ทุกพจน์ของปริพัทธ์ ด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร u และผลต่างเชิงอนุพันธ์ du• หาค่าอินทิกรัล ถ้าหากยังหาไม่ได้ อาจจะต้องเลือกนิพจน์ u ใหม่• แทนที่แต่ละ u ในปฏิยานุพันธ์ที่ได้ ด้วยนิพจน์ที่สมนัยกันในรูปของตัวแปรเดิม ซึ่งในที่นี้คือ xตัวอย่าง 5.15 จงหา∫x 2 cos(x 3 −2)dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 107วิธีทำ .........∫ √2sinx+1cosxdxตัวอย่าง 5.16 จงหาวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.17 จงหาx√1−4x2 dxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.18 จงหาวิธีทำ .........∫ cos√ x√ xdxตัวอย่าง 5.19 จงหา∫ √1+x2x 5 dxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.20 จงหาวิธีทำ .........∫tanxdxการแทนที่ในอินทิกรัลจำกัดเขตการหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตโดยการแทนที่มี 2 วิธีที่เป็นไปได้ วิธีแรกคือหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน แล้วใช้ทฤษฎีบท 5.4 หาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต ตัวอย่างเช่น จากตัวอย่าง 5.16 เราได้ว่า∫ π/2√2sinx+1cosxdx =∫ √2sinx+1cosxdx] π/20= 1 3 (2sinx+1)3/2 ] π/2= 1 30(2sin π 2 +1 ) 3/2−13 (2sin0+1)3/2= 1 3 (3)3/2 − 1 3 (1)3/2 = 1 3 (33/2 −1)0อีกวิธีหนึ่งคือ การเปลี่ยนขีดจำกัดของการอินทิเกรต เมื่อตัวแปรเปลี่ยนไปเช่น ถ้าหากตัวแปรตัวใหม่คือ u แล้วเราจะต้องเปลี่ยนขีดจำกัดของการอินทิเกรตจาก x = a และ x = bเป็นขีดจำกัดที่สมนัยกับ u นั่นคือ u = u(a) และ u = u(b) ดังนั้น∫ baf ( u(x) ) u ′ (x)dx =∫ u(b)u(a)f(u)du

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 108ตัวอย่าง 5.21 จงหาค่าของวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.22 จงหาค่าของ∫ 21∫ e1x 3√ x 4 +5dxlnxx dxวิธีทำ .........แบบฝึกหัด 5.2.11. จงหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้โดยการแทนที่ด้วยตัวแปรที่กำหนดให้∫(a) cos3xdx, u = 3x∫(b) x 2 (x 3 +2)dx, u = x 3 +2∫4(c) dx, u = 1+2x(1+2x)3∫ √ ( x+2)3(d) √ dx, u = √ x+2 x2. จงหาค่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต่อไปนี้∫(a) 2x(x 2 +3) 4 dx∫ √x−1dx(c)(e)(g)∫dx5−3x∫1+4x√ dx 1+x+2x2∫(i) cos2xdx∫(k) xsin(x 2 )dx∫(m) cos 4 xsinxdx∫(o) secxtanx √ 1+secxdx(b)∫(d)∫(f)∫(h) ∫(j)(l)(n)(p)∫∫∫∫(2x+1)(x 2 +x) 3 dxx 2√x3 −2 dx2x+1x 2 +x−1 dx1√ √ dx x( x+1)2cosx √ sinx+1dxsinx√ cosxdxsinx(cosx+3) 3/4 dxcosxe sinx dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 109(q)(s)(u)(w)(y)∫e x√ ∫1+e x dx (r) xe x2 +1 dx∫∫dx4(t)xlnxx(lnx+1) dx 2∫ √cotx∫csc 2 xdx (v) sinx(cosx−1) 3 dx∫∫ esec 3 x −e −xxtanxdx (x) dxe x +e−x ∫ ∫ 1+x2x+31+x dx (z) 2 x+7 dx3. จงหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขตต่อไปนี้(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)∫ 20∫ 10∫ 10∫ 41∫ 30∫ π/30∫ 21∫ a0(x−1) 25 dxx 2 (1+2x 3 ) 5 dxcosπxdx√1x 2dx2x+3(b)(d)(f)∫ 20∫ 1−1∫ ππ/2x √ x 2 +1dxx(x 2 +1) 2 dx4cosx(sinx+1) 2 dx1+ 1 ∫ π/2x dx (h) cotxdx(j)π/4∫ 4∫sinx13cos 2 x dx (l)x √ x−1dxx √ x 2 +a 2 dx (a > 0)(n)คำตอบแบบฝึกหัด 5.2.1130∫ e 4ex−1√ xdxdx√(1+2x)2dxx √ lnx1. (a) 1 3 sin3x+C (b) 2 3 (x3 +2) 3/2 +C (c) −1/(1+2x) 2 +C(d) 1 2 (√ x+2) 4 +C2. (a) 1 5 (x2 +3) 5 +C (b) 1 4 (x2 +x) 4 +C (c) 2 3 (x−1)3/2 +C(d) 2 3√x3 −2+C (e) − 1 3 ln|5−3x|+C (f) ln|x2 +x−1|+C(g) 2 √ 1+x+2x 2 +C (h) −2( √ x+1) −1 +C (i) 1 2 sin2x+C(j) 2 3 (sinx+1)3/2 +C (k) − 1 2 cos(x2 )+C (l) −2 √ cosx+C

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 110(m) − 1 5 cos5 x+C (n) − 4 7 (cosx+3)7/4 +C (o) 2 3 (1+secx)3/2 +C(p) e sinx +C (q) 2 3 (1+ex ) 3/2 +C (r) 1 2 ex2 +1 +C (s) ln|lnx|+C(t) −4(lnx+1) −1 +C (u) − 2 3 (cotx)3/2 +C (v) − 1 4 (cosx−1)4 +C(w) 1 3 sec3 x+C (x) ln(e x +e −x )+C (y) tan −1 x+ 1 2 ln(1+x2 )+C(z) 2(x+7)−11ln|x+7|+C3. (a) 0 (b) 5 3√5−13(c) 1829(d) 0 (e) 0 (f) −2(g) 4√ 23− 5√ 512(h) 1 2 ln2 (i) 1 2 ln3 (j) 8 3(k) 1 (l) 3(m) 1615(n) 2 (o) 1 3 (2√ 2−1)a 35.2.2 การอินทิเกรตทีละส่วนตามที่ได้กล่าวมาแล้วว่า กฎการหาอนุพันธ์ทุกกฎจะมีกฎการหาอินทิกรัลที่สมนัยกันเสมอตัวอย่างเช่น กฎการแทนที่ของการหาอินทิกรัลจะสมนัยกับกฎลูกโซ่ของการหาอนุพันธ์ สำหรับกฎการหาอินทิกรัลที่สมนัยกับกฎผลคูณของการหาอนุพันธ์นั้น เราเรียกว่า การอินทิเกรตทีละส่วน (integrationby parts)จากกฎผลคูณเราได้ว่า ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ แล้วd [ ]f(x)g(x) = f(x)g ′ (x)+g(x)f ′ (x)dxอินทิเกรตทั้งสองข้างสมการ จะได้∫ [f(x)g ′ (x)+g(x)f ′ (x) ] dx = f(x)g(x)หรือ∫∫f(x)g ′ (x)dx+g(x)f ′ (x)dx = f(x)g(x)ซึ่งสามารถเขียนอยู่ในรูป∫∫f(x)g ′ (x)dx = f(x)g(x)−g(x)f ′ (x)dx (5.2)เราเรียกรูปแบบนี้ว่า สูตรสำหรับการอินทิเกรตทีละส่วน (formula for integration byparts)ถ้าให้ u = f(x) และ v = g(x) แล้วเราได้ว่า du = f ′ (x)dx และ dv = g ′ (x)dx จากกฎการแทนที่จะได้ว่า รูปแบบสำหรับการอินทิเกรตทีละส่วน (5.2) สามารถเขียนได้ใหม่เป็น∫ ∫udv = uv− vdu (5.3)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 111ดังนั้นในการใช้เทคนิคการอินทิเกรตทีละส่วน เราจะต้องเลือก u และ dv ที่ทำให้เราสามารถหาอินทิกรัลทางขวามือของ (5.3) ได้ง่ายขึ้น∫ตัวอย่าง 5.23 จงหา xcosxdxวิธีทำ .........หมายเหตุ วัตถุประสงค์ของการใช้การอินทิเกรตทีละส่วนคือ เราต้องการที่จะอินทิเกรตฟังก์ชันที่∫ง่ายกว่าที่กำหนดให้ ดังเช่นจากตัวอย่าง 5.23 เราเริ่มต้นด้วย xcosxdx และจากการใช้สูตร∫การอินทิเกรตทีละส่วน เราจะได้อินทิกรัล sinxdx ซึ่งสามารถหาค่าอินทิกรัลได้ง่ายขึ้น แต่ถ้าเราให้ u = cosx และ dv = xdx แล้ว du = −sinxdx และ v = x 2 /2 ดังนั้นจากสูตรการอินทิเกรตทีละส่วน เราได้ว่า∫xcosxdx = (cosx) x22 + 1 ∫x 2 sinxdx2∫ซึ่งการหา x 2 sinxdx นั้นยากกว่าการหาอินทิกรัลที่กำหนดให้เพราะฉะนั้นโดยทั่วไปเรามักเลือกให้ u = f(x) เป็นฟังก์ชันที่เมื่อหาอนุพันธ์แล้วจะได้ฟังก์ชันที่ง่ายกว่าเดิม หรืออย่างน้อยที่สุดก็ไม่ยุ่งยากกว่าเดิม และเลือก dv = g ′ (x)dx ที่เราสามารถจะอินทิเกรตหา v ได้∫ตัวอย่าง 5.24 จงหา lnxdxวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.25 จงหาวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.26 จงหาวิธีทำ .........∫∫x 2 sinxdxe 2x cosxdxสำหรับการใช้การอินทิเกรตทีละส่วนหาค่าอินทิกรัลแบบจำกัดเขตนั้น เราสามารถทำได้ดังนี้ สมมุติให้ f ′ และ g ′ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะได้ว่า∫ baf(x)g ′ (x)dx = f(x)g(x)นั่นคือ ถ้า u = f(x) และ v = g(x) แล้วจะได้∫ ba] ba−∫ b] b∫ budv = uv − vdua aag(x)f ′ (x)dx (5.4)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 112ตัวอย่าง 5.27 จงหาค่าของวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.28 จงหาค่าของ∫ 21∫ 10x 3 lnxdxtan −1 xdxวิธีทำ .........แบบฝึกหัด 5.2.2จงหาอินทิกรัลต่อไปนี้∫∫1. xe 2x dx 2. x 2 lnxdx∫∫3. xsin4xdx 4. x 2 e −3x dx∫∫5. x 2 cos3xdx 6. e x sin4xdx∫∫7. (lnx) 2 dx 8. cosxcos2xdx∫∫9. xsec 2 xdx 10. cosxln(sinx)dx∫∫11. cos(lnx)dx 12. cos −1 xdx∫13. sin √ ∫ 1xdx 14. xsin2xdx15.17.∫ 10∫ 41xe −x dx 16.ln √ xdx 18.0∫ 21∫ 2คำตอบแบบฝึกหัด 5.2.21lnxx 2 dxx 4 (lnx) 2 dx1. 1 2 xe2x − 1 4 e2x +C 2. 1 3 x2 lnx− 1 9 x3 +C 3. − 1 4 xcos4x+ 116 sin4x+C4. − 1 3 x2 e −3x − 2 9 xe−3x − 227 e−3x +C 5. 1 3 x2 cos3x+ 2 9 xcos3x− 2 27 sin3x+C6. 117 ex sin4x− 417 ex cos4x+C 7. x(lnx) 2 −2xlnx+2x+C8. 2 sin2xcosx− 1 cos2xsinx+C 9. xtanx+ln|cosx|+C3 310. sinxln(sinx)−sinx+C 11. 1 2 x[sin(lnx)+cos(lnx)]+C

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 11312. xcos −1 x− √ 1−x 2 +C 13. −2 √ xcos √ x+2sin √ x+C 14. 1 4 sin2− 1 2 cos215. 1− 2 16. 1 − 1 ln2 17. 2ln4− 3 18. 3 e 2 2 2 2 (ln2)2 − 64 62ln2+25 1255.2.3 การอินทิเกรตโดยใช้เศษส่วนย่อยในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ โดยการเขียนฟังก์ชันตรรกยะให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fractions) เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการนี้ จงพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้เนื่องจาก3x+2 − 2x−5 = 3(x−5)−2(x+2) =(x+2)(x−5)x−19x 2 −3x−10(5.5)ถ้าหากเราต้องการหาค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันทางขวามือของสมการ (5.5) จะเห็นว่ายังไม่มีความชัดเจนว่าเราจะใช้วิธีใด แต่ถ้าเราหาค่าดังกล่าว โดยการอินทิเกรตฟังก์ชันทางซ้ายมือของสมการ (5.5) จะพบว่า เราสามารถหาค่าอินทิกรัลได้ง่ายขึ้น ดังนี้∫ ∫ (x−19 3x 2 −3x−10 dx = x+2 − 2 )dxx−5= 3ln|x+2|−2ln|x−5|+Cในที่นี้เราจะเรียกผลบวก (ผลลบ) ของฟังก์ชันตรรกยะ3x+2 − 2x−5ว่า เศษส่วนย่อย (partial fractions decomposition) ของx−19x 2 −3x−10จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ว่าการเขียนฟังก์ชันตรรกยะให้อยู่ในรูปของเศษส่วนย่อยนั้นจะช่วยให้การอินทิเกรตง่ายขึ้นบทนิยาม 5.4 เราเรียกฟังก์ชัน f ว่าเป็น ฟังก์ชันตรรกยะ ถ้า f สามารถเขียนอยู่ในรูปf(x) = P(x)Q(x)(5.6)โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม ในที่นี้จะเรียก P(x) ว่า ตัวเศษ (numerator)และเรียก Q(x) ว่า ตัวส่วน (denominator) ของ f(x)ถ้า P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามที่อยู่ในรูปP(x) = a n x n +a n−1 x n−1 +···+a 1 x+a 0โดยที่ a n ≠ 0 แล้ว ระดับขั้นพหุนาม (degree of the polynomial) ของ P คือ nซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ deg(P) = n

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 114จาก (5.6) โดยทั่วไปถ้า deg(P) < deg(Q) แล้วฟังก์ชัน f อาจเขียนแทนด้วยเศษส่วนย่อย แต่ถ้า deg(P) ≥ deg(Q) แล้วการหารยาวจะทำให้ฟังก์ชัน f สามารถเขียนได้ในรูปf(x) = P(x)Q(x)= S(x)+R(x)Q(x)โดยที่ S(x) และ R(x) ต่างก็เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มี deg(R) < deg(Q)ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เราเห็นว่า บางครั้งการหารยาวเป็นสิ่งจำเป็นเบื้องต้นของการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะตัวอย่าง 5.29 จงหาวิธีทำ .........∫ x 3 +2x 2 −1dxx−2ลำดับต่อไปเราจะกล่าวถึงรายละเอียดของการเขียนฟังก์ชันตรรกยะ R(x)/Q(x) ที่มี deg(R)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 115วิธีทำ .........กรณีที่ 2 Q(x) เป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นที่มีบางพจน์ซ้ำกันถ้าตัวประกอบเชิงเส้น (a 1 x + b 1 ) ของ Q(x) ซ้ำกัน r ตัว นั่นคือ (a 1 x + b 1 ) r เป็นตัวประกอบของ Q(x) แล้วเศษส่วนย่อย A 1 /(a 1 x + b 1 ) ในสมการ (5.7) จะถูกแทนที่ด้วยผลบวกของเศษส่วนย่อยA 11 A 12+a 1 x+b 1 (a 1 x+b 1 ) +···+ A 1r(5.8)2 (a 1 x+b 1 ) rเมื่อ A 11 ,A 12 ,...,A 1r เป็นค่าคงตัวที่เราสามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่นx 2 −5x 2 (x+1) 3 = A x + B x 2 + C(x+1) +D(x+1) 2 +E(x+1) 3ตัวอย่าง 5.32 จงใช้วิธีการแยกเศษส่วนย่อย หาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของวิธีทำ .........ตัวอย่าง 5.33 จงหาค่าของวิธีทำ .........∫f(x) = 5x2 +20x+6x 3 +2x 2 +xx−2x 2 (x−1) 2 dxกรณีที่ 3 Q(x) มีตัวประกอบกำลังสองแบบไม่ซ้ำกันถ้า Q(x) มีตัวประกอบ ax 2 +bx+c โดยที่ b 2 −4ac < 0 แล้วนอกเหนือจากเศษส่วนย่อยในสมการ (5.7) และ (5.8) การแยกเศษส่วนย่อยของ R(x)/Q(x) จะต้องมีพจน์Ax+Bax 2 +bx+cโดยที่ A และ B เป็นค่าคงตัวที่เราสามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีxf(x) =(x+2)(x 2 +1)(x 2 +2)แล้วเราจะได้เศษส่วนย่อยในรูปx(x+2)(x 2 +1)(x 2 +2) = Ax+2 + Bx+Cx 2 +1 + Dx+Ex 2 +2(5.9)พจน์ที่อยู่ในรูปแบบ (5.9) นั้น เราสามารถอินทิเกรตได้ โดยใช้วิธีการเขียนตัวส่วนให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ และใช้สูตร∫1x 2 +a dx = 1 ( x)2 a tan−1 +C (5.10)a

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 116ตัวอย่าง 5.34 จงหาวิธีทำ .........∫ตัวอย่าง 5.35 จงหาวิธีทำ .........∫ 3x 2 −4x+3dxx 3 +x6x 2 −3x+1(4x+1)(x 2 +1) dxกรณีที่ 4 Q(x) มีตัวประกอบกำลังสองแบบซ้ำกันถ้า Q(x) มีตัวประกอบ (ax 2 +bx+c) r โดยที่ b 2 −4ac < 0 แล้วเศษส่วนย่อย (5.9) จะถูกแทนที่ด้วยผลบวกของเศษส่วนย่อยA 1 x+B 1ax 2 +bx+c + A 2x+B 2(ax 2 +bx+c) +···+ A r x+B r(5.11)2 (ax 2 +bx+c) rซึ่งแต่ละพจน์ของ (5.11) นั้น เราสามารถอินทิเกรตได้ โดยการทำให้ตัวส่วนอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ก่อนตัวอย่าง 5.36 จงหาค่าของวิธีทำ .........∫ 6x 2 −15x+22(x+3)(x 2 +2) 2 dxแบบฝึกหัด 5.2.3จงหาอินทิกรัลต่อไปนี้∫ ∫x−51.x 2 −1 dx2. 6xx 2 −x+2 dx∫∫x+13.x 2 −x−6 dx4. −x+5x 3 −x 2 −2x dx∫ x 3 ∫+x+2−3x−15.x 2 +2x−8 dx 6. x 3 −x dx∫ ∫2x+37.(x+2) dx8. x−12 x 3 +4x 2 +4x dx∫∫x+4x+29.x 3 +3x 2 +2x dx 10. x 3 +x dx∫ ∫4x−211.x 4 −1 dx12. 3x 2 −6x 2 −x−2 dx∫∫2x+3x 213.x 2 +2x+1 dx 14. +2x+1dxx 3 +x∫4x 2 ∫+315.x 3 +x 2 +x dx 16. 3x 3 +1x 3 −x 2 +x−1 dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 117คำตอบแบบฝึกหัด 5.2.31. 3ln|x+1|−2ln|x−1|+C 2. 2ln|x+1|+4ln|x−2|+C3. 1 5 ln|x+2|+ 4 5 ln|x−3|+C 4. 2ln|x+1|+ 1 2 ln|x−2|− 5 2 ln|x|+C5. 11ln|x+4|+2ln|x−2|+ 1 2 x2 −2x+C 6. ln|x+1|−2ln|x−1|+ln|x|+C7. 2ln|x+2|−(x+2) −1 +C 8. 1 4 ln|x+2|− 3 2 (x+2)−1 − 1 4 ln|x|+C9. ln|x+2|−3ln|x+1|+2ln|x|+C 10. −ln(x 2 +1)+tan −1 x+2ln|x|+C11. 3 2 ln|x+1|+1 2 ln|x−1|−ln(x2 +1)+tan −1 x+C 12. 3x+ln|x+1|+2ln|x−2|+C13. 2ln|x+1|−(x+1) −1 +C 14. 2tan −1 x+ln|x|+C15. 3ln|x|+ 1 2 ln|x2 +x+1|− 7 √3tan −1 (2x+1√3)+C16. 3x+2ln|x−1|+ 1 2 ln(x2 +1)−2tan −1 x+C

บทที่ 6อนุกรมอนันต์6.1 บทนิยามและอนุกรมอนันต์ชนิดต่างๆบทนิยาม 6.1 อนุกรมอนันต์ (infinite series) เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูปa 1 +a 2 +a 3 +···+a n +··· (6.1)หรือเขียนในรูปสัญลักษณ์∞∑n=1a nหรือ ∑ a nโดยเรียกแต่ละจำนวน a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,... ว่า พจน์ (term) ของอนุกรมโดยทั่วไปการพิจารณาว่าอนุกรมอนันต์ (6.1) หาผลบวกได้หรือไม่นั้น เราพิจารณา ผลบวกย่อย (partial sum)s 1 = a 1s 2 = a 1 +a 2s 3 = a 1 +a 2 +a 3s 4 = a 1 +a 2 +a 3 +a 4.s n = a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =n∑i=1a iซึ่งผลบวกย่อยนี้ก่อให้เกิดลำดับ {s n } ที่อาจจะหาค่าลิมิตได้ ถ้า lim s n = s แล้วเราจะเรียก sn→∞ว่า ผลบวกของอนุกรมอนันต์∑an118

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 119บทนิยาม 6.2 กำหนดอนุกรมอนันต์ย่อยที่ ns n =∞∑a n = a 1 +a 2 +a 3 +··· และให้ s n เป็นผลบวกn=1n∑a i = a 1 +a 2 +a 3 +···+a ni=1ถ้าลำดับ {s n } เป็นลำดับลู่เข้าและ lim s n = s หาค่าได้เป็นจำนวนจริง แล้วอนุกรม ∑ a nn→∞เรียกว่า อนุกรมลู่เข้า (convergent) และจะเขียนแทนด้วย∞∑a 1 +a 2 +a 3 +···+a n +··· = s หรือ a n = sจำนวน s เรียกว่า ผลบวก (sum) ของอนุกรม แต่ถ้าลำดับ {s n } เป็นลำดับลู่ออก แล้วอนุกรม ∑ a n เรียกว่า อนุกรมลู่ออก (divergent) ซึ่งไม่สามารถหาผลบวกได้ตัวอย่าง 6.1 จงพิจารณาว่าอนุกรม 1 2 + 1 2 + 1 +··· เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ ถ้าเป็นอนุกรม2 23 ลู่เข้า จงหาผลบวกวิธีทำ .........บทนิยาม 6.3 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป∞∑a+ar +ar 2 +ar 3 +···+ar n−1 +··· = ar n−1 , a ≠ 0โดยที่ r เรียกว่า อัตราส่วน (ratio) ของอนุกรมตัวอย่างอนุกรมเรขาคณิต• 1+2+4+8+···+2 n−1 +··· ; r = 2n=1n=1• 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 +···+(−1)n+1 1 2 n +··· ; r = −1 2• 3 10 + 310 2 + 310 3 + 310 4 +···+ 310 n +··· ; r = 110ทฤษฎีบท 6.1 อนุกรมเรขาคณิต∞∑ar n−1 = a+ar +ar 2 +ar 3 +···n=1เป็นอนุกรมลู่เข้าถ้า |r| < 1 และมีผลบวกเท่ากับ∞∑ar n−1 = a1−rn=1แต่ถ้า |r| ≥ 1 แล้วอนุกรมเรขาคณิตจะลู่ออก|r| < 1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 120ตัวอย่าง 6.2 จงหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตวิธีทำ .........5− 103 + 209 − 4027 +···ตัวอย่าง 6.3 จงหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้(a) 4 3 + 4 9 + 4 27 + 481 +···(b) 0.515151... = 51100 + 5110,000 + 511,000,000 +···วิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.4 จงพิจารณาว่าอนุกรม∞∑2 2n 3 1−n ลู่เข้าหรือลู่ออกn=1วิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.5 จงแสดงว่าอนุกรมวิธีทำ .........∞∑n=11n(n+1) ลู่เข้าพร้อมทั้งหาผลบวกของอนุกรมบทนิยาม 6.4 อนุกรมฮาโมนิค (Harmonic Series) คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูปซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก∞∑n=11n = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +···ทฤษฎีบท 6.2 ถ้าอนุกรม∞∑n=1a n ลู่เข้าแล้ว limn→∞a n = 0หมายเหตุ บทกลับของทฤษฎีบท 6.2 ไม่จริงเสมอไป นั่นคือถ้า limn→∞a n = 0 เราไม่สามารถสรุปได้ว่า ∑ a n เป็นอนุกรมลู่เข้า ตัวอย่างเช่น จากอนุกรมฮาโมนิค ∑ 1nเราได้ว่า a n =1/n → 0 เมื่อ n → ∞ แต่อนุกรมฮาโมนิคลู่ออกทฤษฎีบท 6.3 (The Test for Divergence) ถ้า lim a n หาค่าไม่ได้ หรือ lim a n ≠n→∞ n→∞∞∑0 แล้วอนุกรม a n ลู่ออกn=1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 121ตัวอย่าง 6.6 จงพิจารณาว่าอนุกรม∞∑n=1n 25n 2 +4 ลู่เข้าหรือลู่ออกวิธีทำ .........ทฤษฎีบท 6.4 ถ้า ∑ a n และ ∑ b n เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว ∑ ca n เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ, ∑ (a n +b n ) และ ∑ (a n −b n ) เป็นอนุกรมลู่เข้า และ(i)(ii)(ii)∞∑ ∞∑ca n = cn=1n=1∞∑(a n +b n ) =n=1∞∑(a n −b n ) =n=1a n∞∑a n +n=1∞∑a n −n=1∞∑n=1∞∑n=1b nb nตัวอย่าง 6.7 จงพิจารณาว่าอนุกรม 7+ 7 2 + 7 3 +···+ 7 +··· ลู่เข้าหรือลู่ออกnวิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.8 จงพิจารณาว่าอนุกรมวิธีทำ .........∞∑n=1ตัวอย่าง 6.9 จงหาผลบวกของอนุกรมวิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.10 จงหาผลบวกของอนุกรมวิธีทำ .........1n+5 ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑(3n(n+1) + 1 )2 nn=1∞∑n=2( 1n 2 −1 − 35 n−1 )แบบฝึกหัด 6.1จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออกถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวก1. 4+ 8 + 16 + 32 +··· 2. −2+ 5 − 255 25 125 2∞∑3. 5 ( 2 n−1∞∑ (−3)3) n−14.n=1n=14 n8 + 12532 −···

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1225.7.9.11.13.15.17.∞∑3 −n 8 n+1 6.n=1∞∑n=1∞∑n=11n(n+2)n√1+n28.10.∞∑arctann 12.n=1∞∑ [ (21) n+3 ( − 1 n ]4 5)n=114.∞∑( 1n − 1 )n−116.∞∑ ( e) n+1π18.n=2n=1∞∑ nn+5∞∑[2(0.1) n +(0.2) n ]n=1n=1∞∑ 3 n +2 nn=1n=1n=16 n∞∑ nlnn+1n=1∞∑ n−5n+2∞∑ n!100 n∞∑(3(n−1) − 3 )2 n 2n=2คำตอบแบบฝึกหัด 6.11. 20 32. ลู่ออก 3. 15 4. 1 75. ลู่ออก 6. ลู่ออก 7. 3 48. 17369. ลู่ออก 10. 3 211. ลู่ออก 12. ลู่ออก 13. 31 614. ลู่ออก15. −1 16. ลู่ออก 17.e 2π(π−e)18. 36.2 การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาวิธีการที่ใช้ในการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์6.2.1 การทดสอบอินทิกรัลทฤษฎีบท 6.5 (The Integral Test) กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง มีค่าเป็นบวก และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [1,∞) และให้ a n = f(n) อนุกรม ∑ ∞n=1 a n ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ∫ ∞f(x)dx ลู่เข้า หรือกล่าวได้ว่า1∫ ∞∞∑(i) ถ้า f(x)dx ลู่เข้า แล้ว a n ลู่เข้า(ii) ถ้า1∫ ∞1f(x)dx ลู่ออก แล้วn=1∞∑a n ลู่ออกn=1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 123ตัวอย่าง 6.11 จงพิจารณาว่าอนุกรม∞∑n=11n 2 +1 ลู่เข้าหรือลู่ออกวิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.12 จงหาค่าของ p ที่ทำให้อนุกรม∞∑n=11n p ลู่เข้าวิธีทำ .........หมายเหตุ อนุกรมในตัวอย่าง 6.12 เรียกว่า อนุกรมพี (p-series) และเราสามารถสรุปผลที่ได้จากตัวอย่าง 6.12 ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบท 6.6 อนุกรมพี∞∑n=11n p จะลู่เข้าถ้า p > 1 และจะลู่ออกถ้า p ≤ 1ตัวอย่าง 6.13 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก(a)∞∑n=11n 3(b)∞∑n=11n 1/3วิธีทำ .........ตัวอย่าง 6.14 จงพิจารณาว่าอนุกรมวิธีทำ .........∞∑n=1lnnnลู่เข้าหรือลู่ออก6.2.2 การทดสอบเปรียบเทียบทฤษฎีบท 6.7 (The Comparison Test) กำหนดให้ที่พจน์แต่ละพจน์มีค่าเป็นบวก∑an และ ∑ b n เป็นอนุกรม(i) ถ้าอนุกรม ∑ b n ลู่เข้า และ a n ≤ b n สำหรับทุกค่า n แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่เข้า(ii) ถ้าอนุกรม ∑ b n ลู่ออก และ a n ≥ b n สำหรับทุกค่า n แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่ออกหมายเหตุ ในการใช้ the Comparison Test เราจำเป็นต้องรู้อนุกรม ∑ b n เพื่อนำมา(∑ใช้ในการเปรียบเทียบ โดยส่วนใหญ่เรามักจะใช้อนุกรมพี 1/n p ลู่เข้าถ้า p > 1 และลู่ออกถ้า p ≤ 1 ) หรืออนุกรมเรขาคณิต (∑ ar n−1 ลู่เข้าถ้า |r| < 1 และลู่ออกถ้า |r| ≥ 1 )

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 124ตัวอย่าง 6.15 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑ 5(a)(b)2n 2 +4n+3(c)n=1∞∑n=1n2 n (n+1)(d)∞∑n=1∞∑n=1n5n 2 −4lnnnวิธีทำ .........6.2.3 การทดสอบเปรียบเทียบโดยลิมิตทฤษฎีบท 6.8 (The Limit Comparison Test) กำหนดให้เป็นอนุกรมที่พจน์แต่ละพจน์มีค่าเป็นบวก ถ้า∑an และ ∑ b na nlim = cn→∞ b nเมื่อ c เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์ แล้วอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกันตัวอย่าง 6.16 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑ 3n−2(a)(b)n 3 −2n 2 +11(c)n=1∞∑n=112 n −1(d)∞∑n=1∞∑n=11√n2 +19n2n 2 +3n√5+n5วิธีทำ .........6.2.4 การทดสอบอัตราส่วนทฤษฎีบท 6.9 (The Ratio Test) กำหนดให้ค่าเป็นบวกและ(i) ถ้า ρ < 1 แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่เข้าρ = limn→∞a n+1a n∑an เป็นอนุกรมที่พจน์แต่ละพจน์มี(ii) ถ้า ρ > 1 หรือ ρ = ∞ แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่ออก(iii) ถ้า ρ = 1 แล้วอนุกรม ∑ a n อาจจะลู่เข้าหรือลู่ออก ต้องทดสอบการลู่เข้าโดยวิธีอื่น

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 125ตัวอย่าง 6.17 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑ 2 n(a)(b)n!(c)n=1∞∑n=12 nn 20วิธีทำ .........(d)∞∑n=1∞∑n=1n 33 nn!n n6.2.5 การทดสอบรากทฤษฎีบท 6.10 (The Root Test) กำหนดให้ค่าเป็นบวกและ(i) ถ้า ρ < 1 แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่เข้าρ = limn→∞n √ a n = limn→∞(a n ) 1/n(ii) ถ้า ρ > 1 หรือ ρ = ∞ แล้วอนุกรม ∑ a n ลู่ออก∑an เป็นอนุกรมที่พจน์แต่ละพจน์มี(iii) ถ้า ρ = 1 แล้วอนุกรม ∑ a n อาจจะลู่เข้าหรือลู่ออก ต้องทดสอบการลู่เข้าโดยวิธีอื่นตัวอย่าง 6.18 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑( ) n 2n+3(a)(b)3n+2n=1วิธีทำ .........∞∑n=2( ) n 1lnnn=2แบบฝึกหัด 6.2จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก∞∑ 1∞∑ 1∞∑1.2.3. ne −nn 4 3n+1n=1n=1n=1∞∑ 14.5. 1+ 1 n 1.0001 8 + 1 27 + 1 64 +··· 6. ∑ ∞5−2 √ nn 3n=5n=1∞∑∞∑ n∞∑ 17. ne −n2 8.9.n 2 +1nlnnn=1n=1n=2∞∑ arctann∞∑ 1∞∑ −210.11.12. √1+n 2 n 2 +2n+2n=1n=1n=1 n+2∞∑ 7∞∑ 3∞∑13.14.15. ne −3n24n+2(4+3n) 7/6n=1n=2

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 126∞∑ 1∞∑ 516.17.n 2 +n+1 2+3 n n=1n=118.∞∑ 3∞∑ 119.20. √ 21.n2 n n=1n=1 n(n+1)(n+2)∞∑ 3+cosn∞∑ n22.23. √3 n n5 +4n=1n=124.∞∑ 1∞∑25.1+ √ n 2 +126.n n 4 +1n=1n=127.∞∑ n+1∞∑ 128.29.n2 n n!n=1n=130.∞∑ n∞∑ 131.32.n 2 +2n+3 n √ n+1n=1n=133.∞∑ n!∞∑ n 334.35.n 100 (2n)!n=1n=136.∞∑ n+3∞∑ n 237.n 2√ 38.nn!n=1n=139.∞∑ 1∞∑ sin2n40.41.(2n)!n 2 n=1n=142.∞∑ 10 n∞∑ n!43.44.45.(n+1)4 2n+1 (−10) n n=1n=1∞∑ n n∞∑( ) n 2 n+146.47.48.3 1+3n 2n 2 +1n=1n=1∞∑ n n∞∑ 4 n +n49.50.(2n)!n!51.52.n=1n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=1n=1n+1n 2n 2 +1n 3 −12 n1+3 n1+n+n 2√1+n2 +n 6( 1sinn)8 nn!nn+2004n 3 +3nn 5 −4n 2 +1n(−3) n4 n−1cos(nπ/3)n!∞∑ 12+sin 2 nn=1∞∑( n3n+211·2 + 12·3 + 13·4 + 14·5 +··· 53. 1 3 + 2 3 2 + 3 3 3 + 4 3 4 +···54. 1+ 12 √ 2 + 13 √ 3 + 14 √ 4 +··· 55. ∞∑56.21·3·4 + 32·4·5 + 43·5·6 + 54·6·7 +···n=12·4·6·····(2n)n!) n

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 127คำตอบแบบฝึกหัด 6.21. ลู่เข้า 2. ลู่ออก 3. ลู่เข้า 4. ลู่เข้า 5. ลู่เข้า 6. ลู่เข้า 7. ลู่เข้า8. ลู่ออก 9. ลู่ออก 10. ลู่เข้า 11. ลู่เข้า 12. ลู่ออก 13. ลู่ออก14. ลู่เข้า 15. ลู่เข้า 16. ลู่เข้า 17. ลู่เข้า 18. ลู่ออก 19. ลู่เข้า20. ลู่เข้า 21. ลู่ออก 22. ลู่เข้า 23. ลู่เข้า 24. ลู่เข้า 25. ลู่ออก26. ลู่เข้า 27. ลู่ออก 28. ลู่เข้า 29. ลู่เข้า 30. ลู่ออก 31. ลู่ออก32. ลู่เข้า 33. ลู่เข้า 34. ลู่ออก 35. ลู่เข้า 36. ลู่ออก 37. ลู่เข้า38. ลู่เข้า 39. ลู่เข้า 40. ลู่เข้า 41. ลู่เข้า 42. ลู่เข้า 43. ลู่เข้า44. ลู่ออก 45. ลู่เข้า 46. ลู่ออก 47. ลู่เข้า 48. ลู่เข้า 49. ลู่เข้า50. ลู่เข้า 51. ลู่เข้า 52. ลู่เข้า 53. ลู่เข้า 54. ลู่เข้า 55. ลู่ออก56. ลู่เข้า

บทที่ 7สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง7.1 บทนิยามและทฤษฎีบทพื้นฐานบทนิยาม 7.1 สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations) คือ สมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว หรือหลายตัวแปรเราสามารถแบ่งสมการเชิงอนุพันธ์ได้ตาม ชนิด อันดับ และ การเป็นเชิงเส้น ดังนี้ชนิดของสมการเชิงอนุพันธ์ แบ่งได้เป็น 2 ชนิดคือ1. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equation หรือเรียกย่อๆว่าODE) คือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว2. สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial Differential Equation หรือเรียกย่อๆว่า PDE)คือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวอันดับของสมการเชิงอนุพันธ์ คือ อันดับสูงสุดของอนุพันธ์หรืออนุพันธ์ย่อยที่ปรากฏอยู่ในสมการนั้น ตัวอย่างเช่น1. dydx= 2xy เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง2. y (4) +x 2 y (3) +x 5 y = sinx เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสี่โดยทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่ n ∈ I + ที่มี x เป็นตัวแปรอิสระและมี y เป็นตัวแปรตาม คือสมการที่เขียนอยู่ในรูปF ( x,y,y ′ ,...,y (n)) = 0 (7.1)128

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 129โดยที่ F เป็นฟังก์ชันค่าจริง (real-valued function) ของตัวแปร n+2 ตัวแปร ซึ่งในที่นี้คือ x,y,y ′ ,...,y (n) และถ้าเราสามารถเขียน y (n) ในรูปของพจน์ที่เหลือได้แล้วสมการ(7.1) จะเปลี่ยนเป็นสมการy (n) = G ( x,y,y ′ ,...,y (n−1)) (7.2)โดยที่ G เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าจริง (real-valued continuous function) ของตัวแปร n+1 ตัวแปรการเป็นเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะกล่าวว่า สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่ n(7.1) เป็น เชิงเส้น ถ้า F เป็นเชิงเส้นในเทอมของ y,y ′ ,...,y (n) นั่นคือสมการ (7.1)เขียนอยู่ในรูปa n (x)y (n) +a n−1 (x)y (n−1) +···+a 1 (x)y ′ +a 0 (x)y = g(x)หรือตัวอย่างเช่นa n (x) dn ydx n +a n−1(x) d(n−1) ydx (n−1) +···+a 1(x) dydx +a 0(x)y = g(x)1. (y −x)dx+4xdy = 0 เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับหนึ่ง2. y ′′ −2y ′ +y = 0 เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสอง3. d3 ydx 3 +xdy dx −5y = ex เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสามสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่เป็นเชิงเส้น จะเรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้น(nonlinear ordinary differential equation) ซึ่งเป็นสมการที่ประกอบด้วยเทอมที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น มีฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของตัวแปรตามหรืออนุพันธ์ของตัวแปรตามดังนั้น(1−y)y ′ +2y = e x ,d 2 ydx 2 +siny = 0, และ d 4 ydx 4 +y2 = 0เป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้นอันดับหนึ่งอันดับสอง และอันดับสี่ ตามลำดับวัตถุประสงค์ของการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ ที่สำคัญคือ1. เพื่อค้นหาสมการเชิงอนุพันธ์ที่จะช่วยในการอธิบายสถานการณ์ทางกายภาพที่เกิดขึ้น2. เพื่อหาผลเฉลยที่แน่นอนหรือค่าประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์3. เพื่อตีความจากผลเฉลยที่หามาได้หมายเหตุ จากนี้เป็นต้นไปเราจะศึกษาเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ดังนั้น ถ้าเขียน สมการเชิงอนุพันธ์ จะหมายถึง สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 130บทนิยาม 7.2 ฟังก์ชัน u = u(x) ที่นิยามบนช่วง I จะเป็น ผลเฉลยชัดแจ้ง (explicitsolution) ของสมการเชิงอนุพันธ์(7.1) บนช่วง I ถ้า u ′ , u ′′ , ..., u (n) หาค่าได้และต่อเนื่องบนช่วง I และF ( x,u,u ′ ,...,u (n)) = 0หรือจะกล่าวได้ว่า u = u(x) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์(7.1) บนช่วง Iตัวอย่าง 7.1 จงแสดงว่า u(x) = Acos3x + Bsin3x เมื่อ A,B เป็นค่าคงตัวใดๆ เป็นผลเฉลยชัดแจ้งของสมการ y ′′ +9y = 0 บนช่วง (−∞,∞)วิธีทำ .........บทนิยาม 7.3 ความสัมพันธ์ G(x,y) = 0 จะเรียกว่า ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution)ของสมการ (7.1) บนช่วง I ถ้าความสัมพันธ์นี้ได้กำหนดผลเฉลยชัดแจ้งของสมการบนช่วง I อย่างน้อยหนึ่งผลเฉลยตัวอย่าง 7.2 จงแสดงว่า x 2 +y 2 = 4 เป็นผลเฉลยโดยปริยายของสมการ x+yy ′ = 0 บนช่วง(−2,2)วิธีทำ .........หมายเหตุ เพื่อความกระทัดรัด เราจะเรียก ผลเฉลยชัดแจ้ง หรือ ผลเฉลยโดยปริยาย ของสมการเชิงอนุพันธ์ว่า ผลเฉลยปัญหาค่าเริ่มต้น (initial value problem) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ n จะประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ nF ( x,y,y ′ ,...,y (n)) = 0และเงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition) n เงื่อนไขคือy(x 0 ) = y 0 , y ′ (x 0 ) = y 1 , ..., y (n−1) (x 0 ) = y n−1โดยที่ x 0 ,y 0 ,y 1 ,...,y n−1 เป็นค่าคงตัวที่กำหนดให้ตัวอย่าง 7.3 กำหนดให้ y(x) = c 1 cos4x + c 2 sin4x เมื่อ c 1 และ c 2 เป็นค่าคงตัวใดๆเป็นผลเฉลยของสมการ y ′′ +16y = 0 จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้น( π( π)y ′′ +16y = 0, y = −2, y2)′ = 12วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 131บทนิยาม 7.4 ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์คือ ผลเฉลยที่มีค่าคงตัวใดๆปรากฏอยู่ในผลเฉลยนั้นบทนิยาม 7.5 ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์คือ ผลเฉลยที่ได้จากผลเฉลยทั่วไป โดยกำหนดค่าที่เจาะจงให้กับค่าคงตัวใดๆที่ปรากฏอยู่ในผลเฉลยทั่วไปโดยทั่วไปจะกำหนดค่าที่เจาะจงให้สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่โจทย์กำหนดให้การมีจริงและเป็นไปได้อย่างเดียวของผลเฉลยทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงเงื่อนไขเพียงพอ (sufficient condition) สำหรับการมีจริงและเป็นไปได้อย่างเดียวของผลเฉลยทฤษฎีบท 7.1 กำหนดให้ฟังก์ชันค่าจริง f(x,y) มีความต่อเนื่องในบริเวณสี่เหลี่ยมมุมฉากบางบริเวณของระนาบ xy ซึ่งบรรจุจุด (x 0 ,y 0 ) แล้วจะได้ว่าปัญหาค่าเริ่มต้นy ′ = f(x,y), y(x 0 ) = y 0จะมีผลเฉลยอย่างน้อยหนึ่งผลเฉลยบนช่วงเปิด J บางช่วงที่มีจุด x = x 0 อยู่นอกจากนี้ ถ้า ∂f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในบริเวณสี่เหลี่ยมมุมฉากดังกล่าว แล้วข้อปัญหาค่า∂yเริ่มต้นที่กำหนดให้จะมีผลเฉลยเป็นไปได้อย่างเดียวบนช่วงเปิด J 0 บางช่วงที่มีจุด x = x 0ตัวอย่าง 7.4 จงพิจารณาว่าปัญหาค่าเริ่มต้น y ′ = y2, y(1) = 0 มีผลเฉลยเป็นไปได้x−3อย่างเดียวหรือไม่?วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.5 จงพิจารณาว่าปัญหาค่าเริ่มต้น y ′ = 3y 2/3 , y(2) = 0 มีผลเฉลยเป็นไปได้อย่างเดียวหรือไม่?วิธีทำ .........แบบฝึกหัด 7.11. จงพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นหรือสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้นพร้อมทั้งบอกอันดับของสมการด้วย(a) (1−x)y ′ −4xy = cosx (b) d2 y+sin(t+y) = sintdt2 √( ) 2(c) d2 y dydx = 1+(d) d3 y2 dxdt +tdy 3 dt +cost )y = t 3(e) (sinθ)y ′′′ −(cosθ)y ′ = 2e y(f) d4 ydt 4 + d3 ydt 3 + d2 ydt 2 + dydt +y = 1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1322. จงแสดงว่าฟังก์ชัน u = u(x) ที่กำหนดให้เป็นผลเฉลยชัดแจ้งของสมการเชิงอนุพันธ์(a) (y −x)y ′ = y −x+8; u = x+4 √ x+2(b) y ′ = 25+y 2 ;(c) y (4) +4y ′′′ +3y = t;u = 5tan5x(d) y ′ = 2xy 2 ; u = 1/(4−x 2 )u = e −t +t/3(e) 2y ′ = y 3 cosx; u = (1−sinx) −1/2(f) t 2 y ′′ +5ty ′ +4y = 0;u = t −2 lnt3. จงแสดงว่า x 3 −3xy 2 = 1 เป็นผลเฉลยโดยปริยายของสมการ2xy dydx +x2 +y 2 = 0 บนช่วง (0,1)4. จงแสดงว่า 5x 2 y 2 −2x 3 y 2 = 1 เป็นผลเฉลยโดยปริยายของสมการ5. จงแสดงว่า lnx dydx +y = x3 y 3 บนช่วง (0, 5 2 )( ) 2y −1= x เป็นผลเฉลยโดยปริยายของสมการy −1dydx= (y −1)(1−2y) บนช่วง (−∞,ln2) หรือ (ln2,∞)6. จงหาค่าของ r ที่ทำให้ฟังก์ชัน y = e rx เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้(a) 3y ′ = 2y(b) 4y ′′ = y(c) y ′′ +y ′ −2y = 0 (d) 3y ′′ +3y ′ −4y = 07. จงหาค่าของ r ที่ทำให้ฟังก์ชัน y = x r เมื่อ x > 0 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้(a) x 2 y ′′ +4xy ′ +2y = 0 (b) x 2 y ′′ −4xy ′ +4y = 08. จงพิจารณาว่าปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้มีผลเฉลยเป็นไปได้อย่างเดียวหรือไม่(a) dydx = 2x2 y 2 ; y(1) = −1(c) dydx = √ x−y; y(2) = 2(e) dydx = ln(1+y2 ); y(0) = 0(b) dydx = 3√ y; y(0) = 1(d) y dy = x−1; y(1) = 0dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1339. กำหนดให้ u(x) = C 1 e −x + C 2 e 2x เมื่อ C 1 และ C 2 เป็นค่าคงตัวใดๆ เป็นผลเฉลยของสมการ d2 ydx − dy2 dx −2y = 0 จงหาค่าของ C 1 และ C 2 ที่ทำให้ u(x) สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นในแต่ละข้อต่อไปนี้(a) y(0) = 2, y ′ (0) = 1 (b) y(1) = 1, y ′ (1) = 0คำตอบแบบฝึกหัด 7.11. (a) สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง (b) สมการไม่เชิงเส้นอันดับสอง(c) สมการไม่เชิงเส้นอันดับสอง(d) สมการเชิงเส้นอันดับสาม(e) สมการไม่เชิงเส้นอันดับสาม (f) สมการเชิงเส้นอันดับสี่6. (a) r = 2 3(b) r = ± 1 2(c) r = −2,1 (d) r = − 1 2 ± √ 5767. (a) r = −1,−2 (b) r = 1,48. (a) มี (b) มี (c) ไม่มี (d) ไม่มี (e) มี9. (a) c 1 = 1, c 2 = 1 (b) c 1 = 2e3 , c 2 = 13e 27.2 สมการแยกตัวแปรได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งdydx= H(x,y) (7.3)เรียกว่า สมการแยกตัวแปรได้ (separable equation) ถ้า H(x,y) สามารถเขียนในรูปของผลคูณของฟังก์ชันของ x เพียงอย่างเดียว กับฟังก์ชันของ y เพียงอย่างเดียว นั่นคือdy g(x)= g(x)h(y) =dx f(y)โดยที่ h(y) = 1 และในกรณีนี้ฟังก์ชันของ x และฟังก์ชันของ y สามารถแยกกันอยู่คนf(y)ละด้านของสมการได้ดังนี้f(y)dy = g(x)dxเพื่อความเข้าใจในการใช้สัญลักษณ์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะเขียนในรูปf(y) dy = g(x) (7.4)dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 134การหาผลเฉลยของสมการ (7.4) สามารถทำได้โดยอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการ (7.4)เทียบกับตัวแปร x ดังนี้∫f(y) dydx dx = ∫g(x)dx+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆซึ่งเทียบได้กับสมการ ∫∫f(y)dy =g(x)dx+c (7.5)นั่นคือ∫โดยที่ F(y) =F(y) = G(x)+c (7.6)∫f(y)dy และ G(x) = g(x)dx เป็นผลเฉลยของสมการ (7.4)ตัวอย่าง 7.6 จงหาผลเฉลยของสมการdydx = 4−2x3y 2 −5วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.7 จงหาผลเฉลยของสมการ (1+x)dy −ydx = 0วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.8 จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.9 จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีทำ .........dydx = 6e2x−y , y(0) = 02 √ x dydx = cos2 y, y(4) = π 4

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 135แบบฝึกหัด 7.21. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้(a) dydx +2xy = 0(c) 2 √ x dydx = √ 1−y 2dy(b)dx = ysinx(d) dydx = (64xy)1/3(e) (1−x 2 ) dydx = 2y (f) y′ = xy 3(g) y 3dydx = (y4 +1)cosx(i) y ′ = 1+x+y +xy(k) cscydx+sec 2 xdy = 0(m) (e y +1) 2 e −y dx+(e x +1) 3 e −x dy = 02. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้(a) y ′ = (1−2x)y 2 , y(0) = −1/6(b) dxdt = 4(x2 +1), x(π/4) = 1(c) x 2dydx= y −xy, y(−1) = −1(d) y ′ = 3x2 −e x2y −5 , y(0) = 1(e) √ 1−y 2 dx− √ 1−x 2 dy = 0, y(0) =(f) y 2 (1−x 2 ) 1/2 dy = arcsinxdx, y(0) = 1(h) dydx = (x−1)y5x 2 (2y 3 −y)(j) ylnx dx ( y +1dy = x(l) dydx√32) 2=xy +3x−y −3xy −2x+4y −8คำตอบแบบฝึกหัด 7.21. (a) y(x) = ce −x2 (b) y(x) = ce −cosx (c) y(x) = sin(c+ √ x)(d) y(x) = (2x 4/3 +c) 3/2(e) y(x) = c(1+x)·(1−x)(f) y(x) = (c−x 2 ) −1/2 (g) ln(y 4 +1) = c+4sinx(h) 13y − 2 3 y = 1 x +ln|x|+c (i) ln|1+y| = x+ 1 2 x2 +c(j) 1 3 x3 lnx− 1 9 x3 = 1 2 y2 +2y +lny +c(l) (y +3) 5 e x = c(x+4) 5 e y(k) 4cosy = 2x+sin2x+c(m) (e x +1) −2 +2(e y +1) −1 = c

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1362. (a) y = 1/(x 2 −x−6) (b) x = tan(4t− 3 e−(1+1/x)π) (c) y =4x√(d) y = 5 − x2 3 −e x + 13 (e) y = 1 x+ √ √ 14 2 2 3 1−x2(f) y = [ 32 (arcsinx)2 +1 ] 1/37.3 สมการแบบแม่นตรงโดยทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง(differential) ดังนี้dydx= f(x,y) สามารถเขียนในรูปผลต่างเชิงอนุพันธ์M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (7.7)และจะเรียกสมการที่อยู่ในรูป (7.7) ว่า รูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ตัวอย่างเช่นสมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็นdydx = 2x+xyy 2 +1dy = 2x+xyy 2 +1 dx(y 2 +1)dy = (2x+xy)dx(2x+xy)dx+[−(y 2 +1)]dy = 0ดังนั้นถ้าให้ M(x,y) = 2x + xy และ N(x,y) = −(y 2 + 1) แล้วจะได้ว่าสมการในบรรทัดสุดท้ายเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (7.7)บทนิยาม 7.6 ผลต่างเชิงอนุพันธ์รวม (total differential) dF(x,y) ของฟังก์ชัน 2ตัวแปร F(x,y) คือdF(x,y) = ∂F(x,y)∂xdx+ ∂F(x,y) dy∂yถ้าหากทราบว่านิพจน์ทางซ้ายมือของสมการ (7.7) เป็นผลต่างเชิงอนุพันธ์รวมของฟังก์ชัน2 ตัวแปร F(x,y) แล้วการหาผลเฉลยของสมการ (7.7) จะง่ายขึ้น ซึ่งจะศึกษาเป็นลำดับต่อไปบทนิยาม 7.7 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เขียนอยู่ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0จะเรียกว่า สมการแบบแม่นตรง (exact equation) ในบริเวณเปิดที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากR : a < x < b, c < y < d ถ้ามีฟังก์ชัน F(x,y) ที่ทำให้∂F(x,y)∂x= M(x,y) และ ∂F(x,y)∂y= N(x,y)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 137สำหรับทุก (x,y) ใน R นั่นคือ ผลต่างเชิงอนุพันธ์รวมของ F(x,y) จะสอดคล้องกับความสัมพันธ์dF(x,y) = M(x,y)dx+N(x,y)dyคำถาม1. จะทดสอบว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นสมการแบบแม่นตรงได้อย่างไร?2. ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นสมการแบบแม่นตรง แล้วจะหาฟังก์ชัน F ที่ทำให้F x = M และ F y = N โดยวิธีใด?ทฤษฏีบทต่อไปนี้จะตอบคำถามแรกทฤษฎีบท 7.2 สมมติว่าอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของ M(x,y) และ N(x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในบริเวณสี่เหลี่ยมมุมฉาก R แล้วสมการM(x,y)dx+N(x,y)dy = 0จะเป็นสมการแบบแม่นตรงใน R ก็ต่อเมื่อ∂M(x,y)∂y= ∂N(x,y)∂xสำหรับทุก (x,y) ใน Rสำหรับคำตอบของคำถามข้อที่ 2 คือวิธีการหาผลเฉลย F(x,y) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ ของสมการแบบแม่นตรงมีขั้นตอนดังนี้1. จากการที่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นสมการแบบแม่นตรง จะได้ว่า∂F(x,y)∂x= M(x,y)อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x จะได้∫F(x,y) = M(x,y)dx+g(y) (7.8)2. g(y) สามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับ y ทั้งสองข้างของสมการ (7.8) แล้วแทนค่า ∂F(x,y) ∂F(x,y)ลงในความสัมพันธ์ = N(x,y) แล้วเราจะได้ g ′ (y)∂y∂y3. อินทิเกรต g ′ (y) จะได้ g(y) แทน g(y) ลงในสมการ (7.8) จะได้ F(x,y)หมายเหตุ ในทำนองเดียวกัน เราอาจจะเริ่มด้วย ∂F(x,y) = N(x,y) แล้วอินทิเกรตเทียบกับ∂yy ก็จะหาผลเฉลยได้เช่นกัน

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 138ตัวอย่าง 7.10 สมการ (e 2y −ycosxy)dx+(2xe 2y −xcosxy +2y)dy = 0 เป็นสมการแบบแม่นตรงหรือไม่?วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.11 จงหาผลเฉลยของสมการวิธีทำ .........(e 2y −ycosxy)dx+(2xe 2y −xcosxy +2y)dy = 0ตัวอย่าง 7.12 จงหาผลเฉลยของสมการ (y +2xy 3 )dx+(1+3x 2 y 2 +x)dy = 0วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.13 จงหาผลเฉลยของสมการ dydxวิธีทำ .........= −2xy+1x 2 +2yการแปลงเป็นสมการแบบแม่นตรงโดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์บทนิยาม 7.8 ถ้าสมการM(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (7.9)ไม่เป็นสมการแบบแม่นตรง แต่สมการρ(x,y)M(x,y)dx+ρ(x,y)N(x,y)dy = 0 (7.10)ซึ่งได้จากการคูณสมการ (7.9) ด้วย ρ(x,y) เป็นสมการแบบแม่นตรง แล้วเราจะเรียก ρ(x,y)ว่า ตัวประกอบปริพันธ์ (integrating factor) ของสมการ (7.9)ลำดับต่อไปเราจะศึกษาวิธีการหา ρ(x,y) ถ้า ρ(x,y) เป็นตัวประกอบปริพันธ์ของสมการ(7.9) โดยที่อนุพันธ์ย่อยอันดับที่หนึ่งของ ρ(x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะได้ว่าสมการ(7.10) เป็นสมการแบบแม่นตรงเมื่อ∂ [ ] ∂ [ ]ρ(x,y)M(x,y) = ρ(x,y)N(x,y)∂y ∂xρ ∂M∂y +M∂ρ ∂y= ρ ∂N∂x +N∂ρ ∂xM ∂ρ ( ∂N∂y −N∂ρ ∂x = ρ ∂x − ∂M∂y)(7.11)ในที่นี้สมการ (7.11) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งการหาผลเฉลย ρ ยากยิ่งกว่าการหาผลเฉลยของสมการ (7.9) ดังนั้นเราจะสมมติว่าสมการ (7.9) มีตัวประกอบปริพันธ์ที่มีตัวแปร x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 139เพียงตัวแปรเดียว นั่นคือ ρ = ρ(x) ฉะนั้นสมการ (7.11) จะเป็นสมการแยกตัวแปรได้ และสามารถหา ρ(x) ได้ดังนี้−N ∂ρ ( ∂N∂x = ρ ∂x − ∂M )∂y( )∂N1∂ρ− ∂Mρ∂x = ∂x ∂y−N( )∂M1 − ∂Nρ dρ = ∂y ∂xdxN∫ ∫ ( )∂M1 − ∂Nρ dρ = ∂y ∂xdxN∫ ( )∂M− ∂N∂y ∂xlnρ(x) = dxN∫ ( )∂M− ∂N∂y ∂xdxρ(x) = e Nหมายเหตุ ถ้าสมการ (7.9) มีตัวประกอบปริพันธ์ที่ขึ้นกับ y เพียงตัวแปรเดียว นั่นคือ ρ =ρ(y) ก็จะหา ρ(y) ได้ในทำนองเดียวกัน( )∂M− ∂N∂y ∂xทฤษฎีบท 7.3 ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีตัวแปร x เพียงตัวแปรเดียว แล้วNตัวประกอบปริพันธ์ของสมการ (7.9) คือρ(x) = e∫ ( )∂M− ∂N∂y ∂x( )∂N− ∂M∂x ∂yถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีตัวแปร y เพียงตัวแปรเดียว แล้วตัวประกอบปริMพันธ์ของสมการ (7.9) คือNdx∫ ( )∂N− ∂M∂x ∂ydyρ(y) = e Mตัวอย่าง 7.14 จงหาผลเฉลยของสมการ y ′ 3xy +y2= −x 2 +xy , x > 0วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 140แบบฝึกหัด 7.31. จงพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้เป็นสมการแบบแม่นตรงหรือไม่? ถ้าหากเป็นสมการแบบแม่นตรง แล้วจงหาผลเฉลย(a) (2x+3y)dx+(3x+2y)dy = 0(b) (5x+6y)dx+(8y 3 −6x)dy = 0(c) (3x 2 +2y 2 )dx+(4xy +6y 2 )dy = 0(d) (3x 2 −2xy +2)dx+(6y 2 −x 2 +3)dy = 0((e) x 3 + y )dx+(y 2 +lnx)dy = 0x(f) (e x siny +3y)dx−(3x−e x siny)dy = 0( ) 1(g) (ylny −e −xy )dx+y +xlny dy = 0(h) (cosx+lny)dx+( xy +ey )dy = 0(i) (3x 2 y 3 +y 4 )dx+(3x 3 y 2 +y 4 +4xy 3 )dy = 0(j) (e x siny −2ysinx)dx+(e x cosy +2cosx)dy = 0(k) (x−y 3 +y 2 sinx)dx = (3xy 2 +2ycosx)dy(l) (xlny +xy)dx+(ylnx+xy)dy = 0; x > 0, y > 0(m) x dydx = 2xex −y +6x 2(n) (tanx−sinxsiny)dx+(cosxcosy)dy = 0(o)(p)(x 2 y 3 −11+9x 2 ) dxdy +x3 y 2 = 0xdx(x 2 +y 2 ) + ydy3/2 (x 2 +y 2 ) = 0 3/22. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้(a) (2x−y)dx+(2y −x)dy = 0, y(1) = 3(b) (x+y) 2 dx+(2xy +x 2 −1)dy = 0, y(1) = 1(c) (9x 2 +y −1)dx−(4y −x)dy = 0, y(1) = 0(d) (4y +2t−5)dt+(6y +4t−1)dy = 0, y(−1) = 2(e) (y 2 cosx−3x 2 y −2x)dx+(2ysinx−x 3 +lny)dy = 0, y(0) = e

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1413. จงหาค่าของ k ที่ทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้เป็นสมการแบบแม่นตรง(a) (xy 2 +kx 2 y)dx+(x+y)x 2 dy = 0(b) (y 3 +kxy 4 −2x)dx+(3xy 2 +20x 2 y 3 )dy = 0(c) (ye 2xy +x)dx+kxe 2xy dy = 0(d) (x 2 +3xy)dx+(kx 2 +4y)dy = 0( 1(e)x + 1 ) ( ) kx+1dx+ dy = 02 y 2 y 34. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้โดยการแปลงเป็นสมการแบบแม่นตรง(a) (2y 2 +3x)dx+2xydy = 0(b) 6xydx+(4y +9x 2 )dy = 0(c) y ′ = e 2x +y −1(d) ydx+(2xy −e −2y )dy = 0(e) (10−6y +e −3x )dx−2dy = 0( ) x(f) dx+y −siny dy = 0คำตอบแบบฝึกหัด 7.31. (a) x 2 +3xy+y 2 = c (b) ไม่เป็นสมการแบบแม่นตรง (c) x 3 +2xy 2 +2y 3 = c(d) x 3 −x 2 y +2x+2y 3 +3y = c (e) 3x 4 +4y 3 +12ylnx = c(f) ไม่เป็นสมการแบบแม่นตรง (g) ไม่เป็นสมการแบบแม่นตรง(h) sinx+xlny+e y = c (i) 5x 3 y 3 +5xy 4 +y 5 = c (j) e x siny+2ycosx = c(k) xy 3 +y 2 cosx− 1 2 x2 = c (l) ไม่เป็นสมการแบบแม่นตรง(m) xy −2xe x +2e x −2x 3 = c (n) −ln|cosx|+cosxsiny = c(o) x 3 y 3 −tan −1 3x = c (p) x 2 +y 2 = c2. (a) y = [ x+ √ 28−3x 2] /2 (b) 1 3 x3 +x 2 y +xy 2 −y = 4 3(c) y = [ x−(24x 3 +x 2 −8x−16) 1/2] /4 (d) 4ty +t 2 −5t+3y 2 −y = 8(e) y 2 sinx−x 3 y −x 2 +ylny −y = 03. (a) k = 3 (b) k = 10 (c) k = 1 (d) k = 3 (e) k = −224. (a) x 2 y 2 +x 3 = c (b) 3x 2 y 3 +y 4 = c (c) y = ce x +1+e x(d) xe 2y −ln|y| = c (e) −2ye 3x + 10 3 e3x +x = c (f) xy+ycosy−siny = 0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1427.4 สมการเชิงเส้นในหัวข้อนี้เราจะศึกษาถึงวิธีการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ที่เขียนอยู่ในรูปdy+P(x)y = Q(x) (7.12)dxบนช่วงใดช่วงหนึ่งที่ฟังก์ชัน P(x) และ Q(x) มีความต่อเนื่อง ซึ่งสมการ (7.12) สามารถเขียนในรูปผลต่างเชิงอนุพันธ์ดังนี้[P(x)y −Q(x)]dx+dy = 0 (7.13)หมายเหตุ สมการ (7.13) จะเป็นสมการแบบแม่นตรง ถ้า P(x) = 0 คูณสมการ (7.13)ด้วยฟังก์ชัน ρ(x) จะได้[ρ(x)P(x)y −ρ(x)Q(x)]dx+ρ(x)dy = 0 (7.14)ดังนั้นสมการ (7.14) จะเป็นสมการแบบแม่นตรงถ้า ρ(x) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์dρ(x)dx= P(x)ρ(x) (7.15)ซึ่งสมการ (7.15) เป็นสมการแยกกันได้ ดังนั้นสามารถหาผลเฉลยได้ดังนี้∫1dρ(x) = P(x)dxρ(x)∫1ρ(x) dρ(x) = P(x)dx∫lnρ(x) = P(x)dxρ(x) = e ∫ P(x)dx(∫= exp)P(x)dxในที่นี้จะเรียกฟังก์ชัน ρ(x) ว่า ตัวประกอบปริพันธ์ คูณสมการ (7.12) ด้วยฟังก์ชัน ρ(x)จะได้จากสมการ (7.15) และ (7.16) จะได้ρ(x) dy +P(x)ρ(x)y = ρ(x)Q(x) (7.16)dxρ(x) dydx + dρ(x)dx y = ρ(x)Q(x)d [ ρ(x)y ]= ρ(x)Q(x)dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 143อินทิเกรตทั้งสองข้างเทียบกับ x จะได้∫ρ(x)y = ρ(x)Q(x)dx+c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆนั่นคือจะได้ว่าy = 1 [∫ρ(x)]ρ(x)Q(x)dx+cเมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆเป็นผลเฉลยทั่วไปของสมการ (7.12)ตัวอย่าง 7.15 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ x dydx −4y = 3x7 +5, x > 0วิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.16 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ xy ′ −4y = x 6 e xวิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.17 จงหาผลเฉลยของข้อปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีทำ .........(x 2 +1) dy +3xy = 6x, y(0) = 1dxแบบฝึกหัด 7.41. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้(a) y ′ +3y = 2xe −3x(c) x dydx +4y = x3 −x(e) x 2 y ′ +x(x+2)y = e x(g) dr +rsecθ = cosθdθ(i) (x+1) dy +(x+2)y = 2xe−xdx(b) x dydx −y = x2 sinx(d) xy ′ = 2y +x 3 cosx(f) cosx dydx +(sinx)y = 1(h) xdy +(3x+1)y = e−3xdx2. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้(a) xy ′ +5y = 7x 2 , y(2) = 5(b) xy ′ −y = x, y(1) = 7

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 144(c) xy ′ +3y = 2x 5 , y(2) = 1(d) y ′ +2xy = x, y(0) = −2(e) xy ′ = 3y +x 4 cosx, y(2π) = 0(f) (x 2 +4)y ′ +3xy = x, y(0) = 1คำตอบแบบฝึกหัด 7.41. (a) y(x) = (x 2 +c)e −3x (b) y = cx−xcosx (c) y = 1 7 x3 − 1 5 x+cx−4(d) y(x) = x 2 (sinx+c) (e) y = 1 2 x−2 e x +cx −2 e −x (f) y = sinx+ccosx(g) (secθ +tanθ)r = θ −cosθ +c (h)y = e −3x +cx −1 e −3x(i) (x+1)e x y = x 2 +c2. (a) y(x) = x 2 +32/x 5 (b) y(x) = xlnx+7x (c) y(x) = 1 4 x5 −56x −3(d) y(x) = 1 − 5 2 2 e−x2 (e) y(x) = x 3 sinx (f) y(x) = 1 + 16 3 3 (x2 +4) −3/27.5 สมการเอกพันธุ์บทนิยาม 7.9 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง dy = f(x,y) จะกล่าวว่าเป็น สมการเอกพันธุ์dx(homogeneous equation) ถ้า f(x,y) สามารถเขียนในรูปฟังก์ชันของ y x เพียงอย่างเดียวนั่นคือdy( y)dx = F xตัวอย่าง 7.18 จงพิจารณาว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งต่อไปนี้เป็นสมการเอกพันธุ์หรือไม่1. dydx = 2x+y2xy2. (y −x)dx+xdy = 03. (x−2y +1)dx+(x−y)dy = 0วิธีทำ .........(7.17)วิธีตรวจสอบอีกแบบหนึ่งว่าสมการ dy = f(x,y) เป็นสมการเอกพันธุ์หรือไม่นั้น สามารถdxทำได้โดยการแทน x ด้วย tx และแทน y ด้วย ty ลงใน f(x,y) ถ้า f(tx,ty) = f(x,y)แล้วจะได้ว่าสมการ dy = f(x,y) เป็นสมการเอกพันธุ์dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 145ตัวอย่าง 7.19 จงพิจารณาว่าสมการ y ′ = 2xyx 2 −y 2 เป็นสมการเอกพันธุ์หรือไม่?วิธีทำ .........ถ้าเราให้ u = y x หรือ y = ux แล้วจะได้ dydx = u + xdu dxเปลี่ยนรูปเป็นสมการแยกตัวแปรได้หรือu+x dudx = F(u)x dudx = F(u)−uและสามารถใช้วิธีการในหัวข้อ 7.2 หาผลเฉลยได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่าง 7.20 จงหาผลเฉลยของสมการวิธีทำ .........ตัวอย่าง 7.21 จงหาผลเฉลยของสมการวิธีทำ .........(x+y)y ′ = x−y(x 2 +y 2 )dx+(x 2 −xy)dy = 0ตัวอย่าง 7.22 จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีทำ .........x dydx = y +√ x 2 −y 2 , y(x 0 ) = 0 เมื่อ x 0 > 0แบบฝึกหัด 7.51. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้ดังนั้นสมการ (7.17) จะ(a) xy ′ = y +2 √ xy (b) (x+y)dx+xdy = 0(c) (x+2y)y ′ = y(d) ydx = 2(x+y)dy(e) x 2 y ′ = xy +y 2 (f) (y 2 +yx)dx+x 2 dy = 0(g) xyy ′ = y 2 +x √ 4x 2 +y 2(h) dydx = x+3y3x+y(i) x(x+y)y ′ +y(3x+y) = 0 (j) −ydx+(x+ √ xy)dy = 0(k) y ′ =2xy(x 2 −y 2 )(l) y ′ = y −xx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 1462. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นต่อไปนี้(a) (16x+5y)dx+(3x+y)dy = 0, y(1) = −3(b) xydx+2(x 2 +2y 2 )dy = 0, y(0) = 1(c) xy 2dy = xy, y(1) = 3dx(d)(y − √ )x 2 +y 2 dx = xdy, y (√ 3 ) = 1(e) dydx = y x + y2x2, y(1) = 1(f) (x+ye y/x )dx−xe y/x dy = 0, y(1) = 0คำตอบแบบฝึกหัด 7.51. (a) y = x(lnx+c) 2 (b) x 2 +2xy = c (c) 2ylny = x+cy(d) x+2y = cy 2 (e) x = y(c−lnx) (f) x 2 y = c(y +2x)(g) x 2 sin(2lnx+c) (h) (y −x)2 = c(y +x) (i) x 2 (4xy +2y 2 ) = c(j) 4x = y(ln|y|−c) 2(k) ln∣ y ∣∣− y ∣ ∣∣x x = ln|x|+c (l) y = xln c∣x2. (a) y +3x = (y +4x)ln(y +4x) (b) y 4 (3x 2 +4y 2 ) = 4(c) y 3 +3x 3 ln|x| = 27x 3 (d) x 2 +6y = 9 (e) x = y −ylnx(f) ln|x| = e y/x −1