LA PROPAGAZIONE DELL'ERRORE - Circe

Passando alla forma matriciale si ottiene[( ) ( ( ))]t( ) ( )⎤[ ] ( )⎡( )Cxx = Cik = M xi− M xi⋅ xk − M xkt= M X − M X ⋅( X − M X ) M[ x x⎣⎢⎦⎥ = δ ⋅δ[24]]Cxx è la matrice di varianza-covarianza della variabile casuale X.3.3. Covarianza-varianza di una variabile stocastica funzione di una variabile stocasticaNel caso di una funzione lineareY = AX + b[25]Dato che M( Y ) = AM( X ) + b , sottraendo all’equazione l’equazione media, si ottiene( )( ) ( )Y − M Y = A X − M X[26]che è lo scarto della variabile Y.Per la covarianza CYY si ha:( ( )) ( )t( )⎤ ⎡( ( ))( ( ))C M Y M Y Y M Y M A X M X X M X tYYA t= ⎡ − −⎣⎢⎦⎥ = ⎣⎢− − ⎤⎦⎥[27]e per la linearità della media( ( )) ( )( )C AM X M X X M X tA tYYAC XXA t= ⎡ − − ⎤ = [28]⎣⎢⎦⎥ovvero legge di propagazione della varianza-covarianza per funzioni lineari.Si noti che se Y è uno scalare si ha:Y = a1X1 + a2X 2+ ... .. + a nXn+ l[29]in questo caso A è un vettore e CYY è uno scalare.tCYY = σ( 2 )= AC A a a CY XX= ∑ ik i k ik[30]Se Cik = 0 per i ≠ k, le componenti Xi sono indipendenti:∑ ∑ [31]2 2 2 2σ( )= a σY ii iCii= aii i ( X i )La propagazione dell’errore 7La formula appena vista fornisce il grado di dispersione di una grandezza Y funzione lineare di altre grandezze Ximisurate in modo indipendente.E’ infine possibile, come fatto per la media, generalizzare la legge di propagazione della covarianza nel caso incui Y non sia lineare nelle componenti Xi . Si ha:( )g XY = g( X ) → ≅ g( M ( X ))+ ⎡ ⎣ ⎢ ∂Y⎢ ∂X⎤⎥⎦⎥M X( )⋅( X − M ( X ))[32]