Metodo volt-amperometrico - Docente.unicas.it
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2 Voltmetro a monte dell’amperometroSi realizza il circu<strong>it</strong>o collegando in serie all’utilizzatore R l’amperometro e poi, inderivazione a tutto, il <strong>volt</strong>metro; si alimenta quindi il circu<strong>it</strong>o con una tensione di valoreopportuno come da schema figura 2Fig.2- Misura di resistenza con <strong>volt</strong>metro a monte dell’amperometro-Posto:V m la tensione misurataI m la corrente misurataNon tenendo conto degli effetti degli strumenti, il valore della resistenza misurata R mviene ottenuta dal rapporto tra tensione e corrente:VRm=Imm(1)In realtà la resistenza incogn<strong>it</strong>a R x è percorsa effettivamente da una correntecoincidente con quella indicata dall’amperometro:Im= I x(2)La tensione misurata dal <strong>volt</strong>metro e V xinvece quella ai capi della resistenza è :V = V + V(3)mxa3
sost<strong>it</strong>uendo questi valori nella (1) si ha:V+ Vx a x aRm= = + = Rx+IxIxIxVVRa(4)Quindi si può definire l’errore di consumo:E = R − R = R + R − R = R(5)RmxxaxaQuindi l’errore di consumo (cioè l’errore nella misura della resistenza dovuto alconsumo dell’amperometro) è pari esattamente alla resistenza internadell’amperometro. L’errore relativo⎛ errore assoluto E ⎞R⎜e ==⎟ è invece pari a:r⎝ grandezza misurata Rx⎠Raer= (6)RxDalla (6) si evince, nel collegamento con <strong>volt</strong>metro a monte dell’amperometro, il valoredi resistenza calcolato dall’indicatore degli strumenti risulta affetto da un errorerelativo dato dal rapporto fra resistenza dell’amperometro e quella del carico. Questoerrore sarà tanto minore quanto minore sarà la resistenza dell’amperometro neiriguardi del carico. Per questo motivo si desume che l’inserzione con <strong>volt</strong>metro a montedell’amperometro è consigliabile quando la resistenza da misurare ha valori elevati,mentre è da ev<strong>it</strong>are se la resistenza di carico ha valori bassi, rispetto alla resistenzainterna dell’amperometro.4
3 Voltmetro a valle dell’amperometroSi realizza il circu<strong>it</strong>o collegando il <strong>volt</strong>metro direttamente in parallelo al carico Rx epoi, in serie al parallelo, come da figura:Fig.3 –misura di resistenza con <strong>volt</strong>metro a valle dell’amperometro-Posto:Vmla tensione misurataImla corrente misurataNon tenendo conto degli effetti degli strumenti, il valore di resistenza misuratoR mancora può essere calcolato da:VRm=ImmIn questo caso la tensione misurata coincide con quella a cui è sottoposta la resistenzaincogn<strong>it</strong>a,V m = V x (12)Viceversa la corrente è data dalla somma delle correnti assorb<strong>it</strong>a dalla resistenza equella assorb<strong>it</strong>a dal <strong>volt</strong>metro:6
I = I + I(13)mxvSost<strong>it</strong>uendo la (12) e la (13) nella (1) si ha:RmV=Imm=VxI + IxV=IVxx1 1 Rx* Rv(14)= =Iv1 1+ +Rx+ RvV R Rxxvquindi la resistenza misurata risulta essere uguale al parallelo di R e R .In questo caso l’errore assoluto che si commette è pari a:xvER= Rm− Rx=RRxx2* RvR(15)x− Rx= −+ R R + Rvxvl’errore relativo èerERR= − :xerRx= −R + Rxv(16)In defin<strong>it</strong>iva dalla (16) si evidenza che, nel collegamento con <strong>volt</strong>metro a valledell’amperometro, calcolando la resistenza mediante il rapporto fra le indicazioni deidue strumenti, si compie un errore relativo dato dal rapporto fra resistenza del carico equella interna al <strong>volt</strong>metro. Quindi, per poter commettere errori di piccola ent<strong>it</strong>à ènecessario che la resistenza da misurare abbia valori piccoli in rapporto al valore diquella interna del <strong>volt</strong>metro, oppure il che è lo stesso, che la resistenza interna del<strong>volt</strong>metro sia sufficientemente grande in confronto a quella da misurare. Quindi,l’inserzione con <strong>volt</strong>metro a valle dell’amperometro va scelta per misure di resistenze dibasso valore.7
Valutazione dell’ incertezzaSe si vogliono correggere gli effetti sistematici bisogna considerare l’equazione (14)Rm=Rxc* RvR + Rxcv⇒Rxc * Rm+ Rv* Rm= Rxc* Rvxc( Rv− Rm) = RvRmR **di conseguenzaRxcRv* Rm= .R − Rvm(17)Se si applica la correzione l’incertezza sul dato corretto può essere valutato applicandola legge di propagazione dell’incertezza all’ equazione (17).u2Rxc⎛ ∂R=⎜⎝ ∂Rxcv⎞⎟⎠2u⎛ ∂R+⎜⎝ ∂R⎞⎟⎠2xc 2*Rv* uRmm2=⎡ R= ⎢⎣m*( Rv− Rm) −( R − R )vR* R⎤⎥⎦2⎡ R+ ⎢⎣*( Rv− Rm) +( R − R )* Rv m 2 vv m* u*2 Rv2mv mR⎤⎥⎦2u2Rm==44m2v2* u + * u4 4 Rmmv mRv( R − R ) ( R − R )vRR.L’incertezza di Rv deve essere forn<strong>it</strong>a dal costruttore mentre l’incertezza di Rm ècalcolata come combinazione delle incertezze delle misure di tensione e corrente.8
4 Considerazioni sulla scelta della configurazioneSe non si intende correggere gli errori di consumo, la scelta della configurazione piùadatta dipende dal valore della resistenza incogn<strong>it</strong>a: se Rx è piccola si preferiscel’inserzione con il <strong>volt</strong>metro a valle altrimenti l’inserzione con il <strong>volt</strong>metro a monte. Peravere un’indicazione quant<strong>it</strong>ativa sulla configurazione da impiegare si considerano glierrori relativi:R- per il <strong>volt</strong>metro a monte, e monte =Rax- per il <strong>volt</strong>metro, a valle, e valle =R xRx+ R vA questo punto si può valutare quella resistenza R x * tale che i due errori si equivalgano:se Rx risulta maggiore di questa resistenza va impiegata l’inserzione a monte altrimentiva scelta quella a valle.*R < RVoltometro a valle*R > RVoltometro a monteFig. 4 - Diagramma di determinazione tra resistenze grandi e piccole -9
Infine, per resistenze di valore prossimo a R * la configurazione da utilizzare è quella perla quale la correzione richiede la conoscenza della resistenza il cui valore è noto conincertezza minore.Per il calcolo di questo valore di soglia R*, basta porre:*R Rax=*R R *+ Rx x*Rx⋅ Ra+ Ra⋅ Rv=da cui:R * ≅ R * R .xavv*( R ) 2xSi conclude che la media geometrica delle resistenze interne dei due strumenti cost<strong>it</strong>uisceun valore di separazione fra la zona delle resistenze di piccolo valore e quella delleresistenze di elevato valore ( figura 4).10