Metodo volt-amperometrico - Docente.unicas.it

2 Voltmetro a monte dell’amperometroSi realizza il circuito collegando in serie all’utilizzatore R l’amperometro e poi, inderivazione a tutto, il voltmetro; si alimenta quindi il circuito con una tensione di valoreopportuno come da schema figura 2Fig.2- Misura di resistenza con voltmetro a monte dell’amperometro-Posto:V m la tensione misurataI m la corrente misurataNon tenendo conto degli effetti degli strumenti, il valore della resistenza misurata R mviene ottenuta dal rapporto tra tensione e corrente:VRm=Imm(1)In realtà la resistenza incognita R x è percorsa effettivamente da una correntecoincidente con quella indicata dall’amperometro:Im= I x(2)La tensione misurata dal voltmetro e V xinvece quella ai capi della resistenza è :V = V + V(3)mxa3

sostituendo questi valori nella (1) si ha:V+ Vx a x aRm= = + = Rx+IxIxIxVVRa(4)Quindi si può definire l’errore di consumo:E = R − R = R + R − R = R(5)RmxxaxaQuindi l’errore di consumo (cioè l’errore nella misura della resistenza dovuto alconsumo dell’amperometro) è pari esattamente alla resistenza internadell’amperometro. L’errore relativo⎛ errore assoluto E ⎞R⎜e ==⎟ è invece pari a:r⎝ grandezza misurata Rx⎠Raer= (6)RxDalla (6) si evince, nel collegamento con voltmetro a monte dell’amperometro, il valoredi resistenza calcolato dall’indicatore degli strumenti risulta affetto da un errorerelativo dato dal rapporto fra resistenza dell’amperometro e quella del carico. Questoerrore sarà tanto minore quanto minore sarà la resistenza dell’amperometro neiriguardi del carico. Per questo motivo si desume che l’inserzione con voltmetro a montedell’amperometro è consigliabile quando la resistenza da misurare ha valori elevati,mentre è da evitare se la resistenza di carico ha valori bassi, rispetto alla resistenzainterna dell’amperometro.4

3 Voltmetro a valle dell’amperometroSi realizza il circuito collegando il voltmetro direttamente in parallelo al carico Rx epoi, in serie al parallelo, come da figura:Fig.3 –misura di resistenza con voltmetro a valle dell’amperometro-Posto:Vmla tensione misurataImla corrente misurataNon tenendo conto degli effetti degli strumenti, il valore di resistenza misuratoR mancora può essere calcolato da:VRm=ImmIn questo caso la tensione misurata coincide con quella a cui è sottoposta la resistenzaincognita,V m = V x (12)Viceversa la corrente è data dalla somma delle correnti assorbita dalla resistenza equella assorbita dal voltmetro:6

I = I + I(13)mxvSostituendo la (12) e la (13) nella (1) si ha:RmV=Imm=VxI + IxV=IVxx1 1 Rx* Rv(14)= =Iv1 1+ +Rx+ RvV R Rxxvquindi la resistenza misurata risulta essere uguale al parallelo di R e R .In questo caso l’errore assoluto che si commette è pari a:xvER= Rm− Rx=RRxx2* RvR(15)x− Rx= −+ R R + Rvxvl’errore relativo èerERR= − :xerRx= −R + Rxv(16)In definitiva dalla (16) si evidenza che, nel collegamento con voltmetro a valledell’amperometro, calcolando la resistenza mediante il rapporto fra le indicazioni deidue strumenti, si compie un errore relativo dato dal rapporto fra resistenza del carico equella interna al voltmetro. Quindi, per poter commettere errori di piccola entità ènecessario che la resistenza da misurare abbia valori piccoli in rapporto al valore diquella interna del voltmetro, oppure il che è lo stesso, che la resistenza interna delvoltmetro sia sufficientemente grande in confronto a quella da misurare. Quindi,l’inserzione con voltmetro a valle dell’amperometro va scelta per misure di resistenze dibasso valore.7

Valutazione dell’ incertezzaSe si vogliono correggere gli effetti sistematici bisogna considerare l’equazione (14)Rm=Rxc* RvR + Rxcv⇒Rxc * Rm+ Rv* Rm= Rxc* Rvxc( Rv− Rm) = RvRmR **di conseguenzaRxcRv* Rm= .R − Rvm(17)Se si applica la correzione l’incertezza sul dato corretto può essere valutato applicandola legge di propagazione dell’incertezza all’ equazione (17).u2Rxc⎛ ∂R=⎜⎝ ∂Rxcv⎞⎟⎠2u⎛ ∂R+⎜⎝ ∂R⎞⎟⎠2xc 2*Rv* uRmm2=⎡ R= ⎢⎣m*( Rv− Rm) −( R − R )vR* R⎤⎥⎦2⎡ R+ ⎢⎣*( Rv− Rm) +( R − R )* Rv m 2 vv m* u*2 Rv2mv mR⎤⎥⎦2u2Rm==44m2v2* u + * u4 4 Rmmv mRv( R − R ) ( R − R )vRR.L’incertezza di Rv deve essere fornita dal costruttore mentre l’incertezza di Rm ècalcolata come combinazione delle incertezze delle misure di tensione e corrente.8

4 Considerazioni sulla scelta della configurazioneSe non si intende correggere gli errori di consumo, la scelta della configurazione piùadatta dipende dal valore della resistenza incognita: se Rx è piccola si preferiscel’inserzione con il voltmetro a valle altrimenti l’inserzione con il voltmetro a monte. Peravere un’indicazione quantitativa sulla configurazione da impiegare si considerano glierrori relativi:R- per il voltmetro a monte, e monte =Rax- per il voltmetro, a valle, e valle =R xRx+ R vA questo punto si può valutare quella resistenza R x * tale che i due errori si equivalgano:se Rx risulta maggiore di questa resistenza va impiegata l’inserzione a monte altrimentiva scelta quella a valle.*R < RVoltometro a valle*R > RVoltometro a monteFig. 4 - Diagramma di determinazione tra resistenze grandi e piccole -9

Infine, per resistenze di valore prossimo a R * la configurazione da utilizzare è quella perla quale la correzione richiede la conoscenza della resistenza il cui valore è noto conincertezza minore.Per il calcolo di questo valore di soglia R*, basta porre:*R Rax=*R R *+ Rx x*Rx⋅ Ra+ Ra⋅ Rv=da cui:R * ≅ R * R .xavv*( R ) 2xSi conclude che la media geometrica delle resistenze interne dei due strumenti costituisceun valore di separazione fra la zona delle resistenze di piccolo valore e quella delleresistenze di elevato valore ( figura 4).10