Note sui processi stocastici di prezzi e rendimenti

Note sui processi stocastici di prezzi e rendimentiMarco Bee29 febbraio 2008Formula di Itô. Sia X t un processo di Itô, vale a dire un processo del tipo∫ ∫∫dX t = a(X t , t)dt + b(X t , t)dW t ⇔ dX t = a(X t , t)dt + b(X t , t)dW t ,dove W t è un moto browniano standard; sia Y t = f t (X t ). Allora la formula diItô garantisce che l’equazione differenziale stocastica che descrive il processoY t è la seguente:dY t =( ∂ft∂X a + ∂f t∂t + 1 2∂ 2 )f t∂X 2 b2dt + ∂f t∂X bdW t.Si noti che se la funzione f non dipende dal tempo, cioè se Y t = f(X t )∀t ∈ (0, T ), la formula si semplifica come segue:( ∂fdY t =∂X a + 1 ∂ 2 )f2 ∂X 2 b2 dt + ∂f∂X bdW t. (1)Applicazione. Sia X t = log(S t ) il moto browniano generalizzato, di parametriν e σ 2 , che descrive l’evoluzione temporale del logaritmo del prezzo:dX t = νdt + σdW t ,la cui soluzione, ottenuta per integrazione, èX t − X 0 = νt + σW t , (2)dove W t ∼ N(0, t). Si noti che X t − X 0 = log(S t ) − log(S 0 ) = r t , vale a direil rendimento logaritmico sull’orizzonte temporale (0, t).Il processo S t costruito applicando la funzione esponenziale ad un motobrowniano generalizzato è definito moto browniano geometrico. Si vuole1

icavare l’equazione differenziale stocastica che descrive l’evoluzione temporaledi S t , nell’ipotesi che S t sia un moto browniano geometrico S t = e Xte X t un moto browniano generalizzato di parametri ν e σ 2 . La funzione fnell’enunciato della formula di Itô è dunque la funzione esponenziale; inoltresi ha a(X t , t) = ν, b(X t , t) = σ, ∂f/∂X = ∂ 2 f/∂X 2 = e X . Ne segue che( ∂fdS t =∂X a + 1 ∂ 2 )f2 ∂X 2 b2 dt + ∂f∂X bdW t ⇔⇔ dS t =(νe Xt + 1 )2 σ2 e Xt dt + σe Xt dW t ⇔⇔ dS t =(ν + 1 )2 σ2 S t dt + σS t dW t ⇔⇔ dS t=(ν + 1 )S t 2 σ2 dt + σdW t . (3)I parametri del moto browniano geometrico sono dunque µ = (ν + σ 2 /2) eσ 2 .Si consideri che dalla (2), fissato t ∗ ∈ (0, T ), si ha:log(S t ∗) − log(S 0 ) = νt ∗ + σW t ∗ ⇔⇔ log(S t ∗) = log(S 0 ) + νt ∗ + σW t ∗ ⇔ (4)( )St ∗⇔ log = r t ∗ = νt ∗ + σW t ∗, W t ∗ ∼ N(0, t ∗ ).S 0Si noti che la parte a destra dell’uguale nella (4) è una v.c.parametri log(S 0 ) + ν e σ 2 t ∗ . Dunquenormale dielog(S t ∗) ∼ N ( log(S 0 ) + νt ∗ , σ 2 t ∗) .( )St ∗log(S t ∗) − log(S 0 ) = log = r t ∗ ∼ N ( νt ∗ , σ 2 t ∗) .S 0Dunque dall’ipotesi di moto browniano geometrico dei prezzi segue la normalitàdei rendimenti logaritmici su qualsiasi orizzonte temporale.Qual è la distribuzione di S t per t fisso, quando S t è definito dalla (3)?Per trovarla, si osservi che, per definizione, S t = e Xt . Sia t ∗ ∈ (0, T ),ν + σ 2 /2 = µ, Z ∼ N(0, 1) e supponiamo che S 0 sia una costante nota. Perla definizione di v.c. Lognormale, S t ∗ha distribuzione lognormale e il suo2

valore atteso è dato daDunque S t ∗E(S t ∗) = S 0 E(e νt∗ +σW t∗) == S 0 e (µ− 1 2 σ2 )t ∗ E(e σW t ∗ ) == S 0 e (µ− 1 2 σ2 )t ∗ E(e σ√ t ∗Z ) == S 0 e (µ− 1 2 σ2 )t ∗ e 1 2 σ2 t ∗ == S 0 e µt∗ = e log(S 0)+µt ∗ .ha distribuzione lognormale di valore atteso e log(S 0)+ ν+ σ22 t ∗ .In maniera analoga si può dimostrare chevar(S t ∗) = e 2(log(S 0)+νt ∗ )+σ 2 t ∗ (e σ2 t ∗ − 1).In conclusione, si ha che S t ∗ ∼ Logn(log(S 0 ) + νt ∗ , σ 2 t ∗ ).Osservazione 1. Si supponga di conoscere la (3) e di voler determinare, apartire da essa, l’equazione differenziale stocastica soddisfatta dal processoX t = log(S t ). Nella (3), si ponga ν + σ 2 /2 = µ e si applichi la formula di Itôper determinare l’equazione che descrive il processo X t = log(S t ) (dunqueora la funzione f è la funzione logaritmo). Si verifica che si ottiene)dX t =(µ − σ2dt + σdW t = νdt + σdW t ,2ovvero, come deve essere, la (1).Osservazione 2. Nelle procedure di simulazione del moto browniano geometrico,generalmente si conoscono i parametri µ (definito nell’osservazioneprecedente) e σ 2 che caratterizzano il moto browniano geometrico del prezzo,S t .D’altra parte, la metodologia standard di simulazione del motobrowniano geometrico S t si basa sui seguenti passi:1. simulare il moto browniano generalizzato del logaritmo del prezzo,X t = log(S t );2. calcolare S t = e X t.Bisogna dunque prestare attenzione, nella simulazione del moto brownianogeneralizzato X t , a non utilizzare il parametro µ, ma i parametri ν = µ−σ 2 /2e σ 2 .3